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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    30,00 €
  2. ●40
    In der Mensa kosten 5 Mittagessen zusammen 22,50 €. Wie viele Mittagessen bekommt man für 36,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Mittagessen€
    2. 5 Mittagessen→22,50 €
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Mittagessen→22,50 € : 5 = 4,50 €
    5. ↓ · 8↓ · 836,00 € : 4,50 € = 8
    6. 8 Mittagessen→36,00 €
    Ergebnis:
    8 Mittagessen

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 6 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 3 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe6 von 12zweite Gruppe3 von 5
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 612 = 12
  2. Herr Ott: 35
  3. Gleicher Nenner 60: 3060 und 3660
  4. 3660 ist mehr: Herr Ott.
  1. Frau Kaya: 612 = 12
  2. Herr Ott: 35
  3. Gleicher Nenner 60: 3060 und 3660
  4. 3660 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 2 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 2 von 4 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 20zweite Gruppe2 von 4
    So fängst du an:
    Klasse A: 220 = 110
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 220 = 110
    2. Klasse B: 24 = 12
    3. Gleicher Nenner 20: 220 und 1020
    4. 1020 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    In Tüte A sind 6 von 12 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe6 von 12zweite Gruppe3 von 5
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 612 = 12
    2. Tüte B: 35
    3. Gleicher Nenner 60: 3060 und 3660
    4. 3660 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  3. ★3
    In Tüte A sind 4 von 24 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 18 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe4 von 24zweite Gruppe3 von 18
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 424 = 16
    2. Tüte B: 318 = 16
    3. Gleicher Nenner 72: 1272 und 1272
    4. Beide Anteile sind gleich groß.
    Ergebnis:
    gleich groß

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Himbeerlimonade rührt Can 15 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 15 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 5 : 4
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 15 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 5 : 4
Ergebnis:
5 : 4

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 12
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 12
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 6
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 6
    Ergebnis:
    5 : 6
  2. ●5
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Sirup zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 1
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 1
    Ergebnis:
    3 : 1
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 12 Becher gelbe Farbe mit 8 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Blau zu Gelb so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Blau, dann Gelb: 8 : 12
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Blau zu Gelb: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 23 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Schritt für Schritt
  1. 2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 2 + 3 = 5 Teile.
  3. Saft: 2 von 5 Teilen, also 25
  4. Ali hat nicht recht.
  1. 2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 2 + 3 = 5 Teile.
  3. Saft: 2 von 5 Teilen, also 25
  4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 25

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    So fängst du an:
    2 : 5 heißt: 2 Teile Gelb, 5 Teile Blau.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 5 heißt: 2 Teile Gelb, 5 Teile Blau.
    2. Zusammen: 2 + 5 = 7 Teile
    3. Gelb: 2 von 7 Teilen, also 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3 heißt: 5 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 3 = 8 Teile
    3. Wasser: 3 von 8 Teilen, also 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★9
    38 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 8 Teilen sind 3 rot.
    2. Blau: 8 − 3 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig nimmt man 50 g Mehl auf 100 ml Milch. Tim nimmt 200 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. 200 : 50 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 100 · 4 = 400
  1. 200 : 50 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 100 · 4 = 400
Ergebnis:
400 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel nimmt man 2 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 6 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    So fängst du an:
    6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Eimer
  2. ●11
    Für ein zartes Rosa: 2 Liter weiße Farbe und 3 Liter rote Farbe. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel rote Farbe braucht man?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Liter
  3. ★12
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 2 Becher Saft und 3 Becher Wasser. Lea hat 6 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. 6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Becher

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mia und Can teilen 32 € im Verhältnis 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
MiaCan
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 32 : 4 = 8
  3. Mia: 1 · 8 = 8
  4. Can: 3 · 8 = 24
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 32 : 4 = 8
  3. Mia: 1 · 8 = 8
  4. Can: 3 · 8 = 24
Ergebnis:
Mia 8 €, Can 24 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    132 Murmeln werden im Verhältnis 5 : 6 an Ina und Ole verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 5 + 6 = 11
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 6 = 11
    2. Ein Teil: 132 : 11 = 12
    3. Ina: 5 · 12 = 60
    4. Ole: 6 · 12 = 72
    Ergebnis:
    Ina 60 Murmeln, Ole 72 Murmeln
  2. ●14
    27 Murmeln werden im Verhältnis 4 : 5 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 5 = 9
    2. Ein Teil: 27 : 9 = 3
    3. Ada: 4 · 3 = 12
    4. Ben: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    Ada 12 Murmeln, Ben 15 Murmeln
  3. ★15
    Drei Freunde teilen 65 € Gewinn aus dem Flohmarkt im Verhältnis 4 : 3 : 6. Wie viel bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil3. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 3 + 6 = 13
    2. Ein Teil: 65 : 13 = 5
    3. 4 · 5 = 20, 3 · 5 = 15, 6 · 5 = 30
    Ergebnis:
    20 €, 15 €, 30 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Krug A enthält 3 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser, Krug B enthält 1 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 3 von 6 Teilen sind Saft, also 3/6.
  2. Krug B: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
  3. Gleicher Nenner 12: 612 und 312
  4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
  1. Krug A: 3 von 6 Teilen sind Saft, also 3/6.
  2. Krug B: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
  3. Gleicher Nenner 12: 612 und 312
  4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
Ergebnis:
Krug A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 1 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 2 Becher rote Farbe auf 2 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    2. Eimer B: 2 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 2/4.
    3. Gleicher Nenner 4: 14 und 24
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  2. ●17
    Zwei Mischungen: Krug A enthält 2 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser, Krug B enthält 2 Gläser Saft auf 2 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 2 von 5 Teilen sind Saft, also 2/5.
    2. Krug B: 2 von 4 Teilen sind Saft, also 2/4.
    3. Gleicher Nenner 20: 820 und 1020
    4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
    Ergebnis:
    Krug B
  3. ★18
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 3 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 2 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 3/6.
    2. Eimer B: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
    3. Gleicher Nenner 30: 1530 und 1230
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 7. In der Gruppe sind 21 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 5 : 7: auf 7 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 21 : 7 = 3
  3. Jungen: 5 · 3 = 15
  1. 5 : 7: auf 7 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 21 : 7 = 3
  3. Jungen: 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 4 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___ → 1,33
So richtig
Welche Zahl fehlt? 4 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___ → 3

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 4 : 2 wird zu 2 : 1
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 4 : 2 wird zu 2 : 1
    2. 6 ist 3-mal 2.
    3. Also 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 6 : 5. In der Gruppe sind 10 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 6 : 5: auf 5 Mädchen kommen 6 Jungen.
    2. 10 : 5 = 2
    3. Jungen: 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Jungen
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 4. In der Gruppe sind 20 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4: auf 4 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 20 : 4 = 5
    3. Jungen: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 42 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 4, gekürzt 1 : 2
  2. Teile: 2 + 4 = 6
  3. Ein Teil: 42 : 6 = 7
  4. Ada: 2 · 7 = 14
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 4, gekürzt 1 : 2
  2. Teile: 2 + 4 = 6
  3. Ein Teil: 42 : 6 = 7
  4. Ada: 2 · 7 = 14
Ergebnis:
14 €

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 € und 15 €
So richtig
20 € im Verhältnis 1 : 4 → 5 Teile, 4 € und 16 €

Leg die Teile hin: 1 Teil und 4 Teile. Zähl sie zusammen, bevor du teilst.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 3 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 35 : 5 = 7 Eimer
    3. Zement: 2 · 7 = 14 Eimer
    4. 14 · 4,5 = 63
    Ergebnis:
    63,00 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 63 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 4
    2. Teile: 3 + 4 = 7
    3. Ein Teil: 63 : 7 = 9
    4. Ada: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    27 €
  3. ★24
    Beim Schulfest werden 49 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 49 · 0,2 = 9,8
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 9,8 : 4 = 2,45
    4. Saft: 1 · 2,45 = 2,45
    Ergebnis:
    2,45 Liter

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In Tüte A sind 1 von 5 Bonbons rot, in Tüte B 7 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe1 von 5zweite Gruppe7 von 8
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 15
    2. Tüte B: 78
    3. Gleicher Nenner 40: 840 und 3540
    4. 3540 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 2 von 8 Dosen, Ali 8 von 12. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A2 von 8B8 von 12
    Lösung zeigen
    1. Tom: 28 = 14
    2. Ali: 812 = 23
    3. Gleicher Nenner 24: 624 und 1624
    4. 1624 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 2 Becher gelbe Farbe mit 10 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 2 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 5
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 5
    Ergebnis:
    1 : 5
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 2 Perlen, Blau: 10 Perlen
    2. Blau zu Rot: 10 : 2
    3. Durch 2 teilen: 5 : 1
    Ergebnis:
    5 : 1
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 56 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 5 + 6 = 11 Teile.
    3. Saft: 5 von 11 Teilen, also 511
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 511
  6. ●30
    Für Mörtel nimmt man 5 Eimer Zement auf 1 Eimer Sand. Tim nimmt 15 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 15 : 5 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 7 von 12 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe7 von 12zweite Gruppe1 von 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 3 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Sirup zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 4

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    512 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 7

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Mörtel steht im Rezept: 5 Eimer Zement und 3 Eimer Sand. Lea hat 15 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Eimer

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ina und Ole teilen 25 € im Verhältnis 4 : 1. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ina 20 €, Ole 5 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 4 Löffel Himbeersirup auf 4 Löffel Wasser, Kanne B enthält 2 Löffel Himbeersirup auf 5 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne A

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 6 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 2 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Liter

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Tüte B
  3. gleich groß
  4. 5 : 6
  5. 3 : 1
  6. 2 : 3
  7. 27
  8. 38
  9. 3 : 5
  10. 9 Eimer
  11. 15 Liter
  12. 9 Becher
  13. Ina 60 Murmeln, Ole 72 Murmeln
  14. Ada 12 Murmeln, Ben 15 Murmeln
  15. 20 €, 15 €, 30 €
  16. Eimer B
  17. Krug B
  18. Eimer A
  19. 3
  20. 12 Jungen
  21. 25 Jungen
  22. 63,00 €
  23. 27 €
  24. 2,45 Liter
  25. Tüte B
  26. ja, Ali
  27. 1 : 5
  28. 5 : 1
  29. nein, 511
  30. 3 Eimer
  31. Tüte A
  32. 1 : 4
  33. 5 : 7
  34. 9 Eimer
  35. Ina 20 €, Ole 5 €
  36. Kanne A
  37. 3
  38. 4 Liter
  39. 30,00 €
  40. 8 Mittagessen