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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis3,00 €6,00 €?30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis3,00 €6,00 €? 15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    15,00 €
  2. ●40
    Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 5 Minuten 500 Schritte. Wie viele Schritte sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenSchritte
    2. 5 Minuten→500 Schritte
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Minute→500 Schritte : 5 = 100 Schritte
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→100 Schritte · 6 = 600 Schritte
    Ergebnis:
    600 Schritte

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 3 von 5 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 4 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe1 von 4
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 35
  2. Tüte B: 14
  3. Gleicher Nenner 20: 1220 und 520
  4. 1220 ist mehr: Tüte A.
  1. Tüte A: 35
  2. Tüte B: 14
  3. Gleicher Nenner 20: 1220 und 520
  4. 1220 ist mehr: Tüte A.
Ergebnis:
Tüte A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In Tüte A sind 1 von 5 Bonbons rot, in Tüte B 7 von 25 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe1 von 5zweite Gruppe7 von 25
    So fängst du an:
    Tüte A: 15
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 15
    2. Tüte B: 725
    3. Gleicher Nenner 25: 525 und 725
    4. 725 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  2. ●2
    In Tüte A sind 6 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 2 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe6 von 10zweite Gruppe2 von 5
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 610 = 35
    2. Tüte B: 25
    3. Gleicher Nenner 10: 610 und 410
    4. 610 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  3. ★3
    In Tüte A sind 20 von 30 Bonbons rot, in Tüte B 15 von 24 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe20 von 30zweite Gruppe15 von 24
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 2030 = 23
    2. Tüte B: 1524 = 58
    3. Gleicher Nenner 120: 80120 und 75120
    4. 80120 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 15 Schaufeln Zement und 3 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 15 : 3
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 1
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 1
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 15 : 3
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 1
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 1
Ergebnis:
5 : 1

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für ein helles Grün mischt Pia 1 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    So fängst du an:
    Zuerst Gelb, dann Blau: 1 : 6
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 1 : 6
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 6
    Ergebnis:
    1 : 6
  2. ●5
    Für Saftschorle mischt Emil 15 Gläser Saft mit 6 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 15 : 6
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 2
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 8 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 8 : 12
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 57 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Schritt für Schritt
  1. 5 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 5 + 7 = 12 Teile.
  3. Saft: 5 von 12 Teilen, also 512
  4. Ali hat nicht recht.
  1. 5 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 5 + 7 = 12 Teile.
  3. Saft: 5 von 12 Teilen, also 512
  4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 512

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    So fängst du an:
    3 : 7 heißt: 3 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7 heißt: 3 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
    2. Zusammen: 3 + 7 = 10 Teile
    3. Gelb: 3 von 10 Teilen, also 310
    Ergebnis:
    310
  2. ●8
    Zement und Sand werden im Verhältnis 3 : 4 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 3 : 4 heißt: 3 Teile Zement, 4 Teile Sand.
    2. Zusammen: 3 + 4 = 7 Teile
    3. Zement: 3 von 7 Teilen, also 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★9
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    Lösung zeigen
    1. 2 : 3 heißt: 2 Teile Sirup, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 2 + 3 = 5 Teile
    3. Sirup: 2 von 5 Teilen, also 25
    Ergebnis:
    25

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Mörtel steht im Rezept: 2 Eimer Zement und 1 Eimer Sand. Lea hat 8 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. 8 : 2 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 4 = 4
  1. 8 : 2 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 4 = 4
Ergebnis:
4 Eimer

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 450 g Mehl auf 300 ml Milch. Tim nimmt 900 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    So fängst du an:
    900 : 450 = 2 – also 2-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 900 : 450 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 300 · 2 = 600
    Ergebnis:
    600 ml
  2. ●11
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 3 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Lea hat 15 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Liter
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 400 g Mehl und 100 ml Milch. Lea hat 1200 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 1200 : 400 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

96 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 5 an Ina und Ole verteilt. Wie viele bekommt jeder?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 96 : 8 = 12
  3. Ina: 3 · 12 = 36
  4. Ole: 5 · 12 = 60
  1. Teile: 3 + 5 = 8
  2. Ein Teil: 96 : 8 = 12
  3. Ina: 3 · 12 = 36
  4. Ole: 5 · 12 = 60
Ergebnis:
Ina 36 Murmeln, Ole 60 Murmeln

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 14 cm wird im Verhältnis 5 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 5 + 2 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 2 = 7
    2. Ein Teil: 14 : 7 = 2
    3. erstes Stück: 5 · 2 = 10
    4. zweites Stück: 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    10 cm und 4 cm
  2. ●14
    Ein Band von 60 cm wird im Verhältnis 3 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 2 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12
    3. erstes Stück: 3 · 12 = 36
    4. zweites Stück: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    36 cm und 24 cm
  3. ★15
    133 Murmeln werden im Verhältnis 5 : 2 an Sara und Tim verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 2 = 7
    2. Ein Teil: 133 : 7 = 19
    3. Sara: 5 · 19 = 95
    4. Tim: 2 · 19 = 38
    Ergebnis:
    Sara 95 Murmeln, Tim 38 Murmeln

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Kanne A enthält 1 Löffel Himbeersirup auf 2 Löffel Wasser, Kanne B enthält 2 Löffel Himbeersirup auf 6 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
Kanne AKanne B?
Schritt für Schritt
  1. Kanne A: 1 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 1/3.
  2. Kanne B: 2 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 2/8.
  3. Gleicher Nenner 24: 824 und 624
  4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
  1. Kanne A: 1 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 1/3.
  2. Kanne B: 2 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 2/8.
  3. Gleicher Nenner 24: 824 und 624
  4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
Ergebnis:
Kanne A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 1 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 3 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 1 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 1/7.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 1/7.
    2. Eimer B: 3 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 3/7.
    3. Gleicher Nenner 7: 17 und 37
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  2. ●17
    Zwei Mischungen: Krug A enthält 3 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser, Krug B enthält 4 Gläser Saft auf 2 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 3 von 9 Teilen sind Saft, also 3/9.
    2. Krug B: 4 von 6 Teilen sind Saft, also 4/6.
    3. Gleicher Nenner 18: 618 und 1218
    4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
    Ergebnis:
    Krug B
  3. ★18
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 4 Gläser Saft und 4 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 4 von 8 Teilen sind Saft, also 4/8.
    2. Krug B: 3 von 5 Teilen sind Saft, also 3/5.
    3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 2440
    4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
    Ergebnis:
    Krug B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 10 Liter Blau?
GelbBlau
Schritt für Schritt
  1. 5 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
  2. 10 : 2 = 5
  3. Gelb: 5 · 5 = 25
  1. 5 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
  2. 10 : 2 = 5
  3. Gelb: 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Liter

AchtungPlus statt mal

So nicht
Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 5
So richtig
Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 6

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 3 : 9 wird zu 1 : 3
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 3 : 9 wird zu 1 : 3
    2. 2 ist 2-mal 1.
    3. Also 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 4. In der Gruppe sind 8 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 4: auf 4 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 8 : 4 = 2
    3. Jungen: 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Jungen
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 9 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 12 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 9 : 12 wird zu 3 : 4
    2. 12 ist 4-mal 3.
    3. Also 4 · 4 = 16
    Ergebnis:
    16

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Für eine Gartenmauer braucht man 25 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5 Eimer
  3. Zement: 1 · 5 = 5 Eimer
  4. 5 · 3,5 = 17,5
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 25 : 5 = 5 Eimer
  3. Zement: 1 · 5 = 5 Eimer
  4. 5 · 3,5 = 17,5
Ergebnis:
17,50 €

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 25 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 4
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 4
    2. Teile: 1 + 4 = 5
    3. Ein Teil: 25 : 5 = 5
    4. Ada: 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 49 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 4
    2. Teile: 3 + 4 = 7
    3. Ein Teil: 49 : 7 = 7
    4. Ada: 3 · 7 = 21
    Ergebnis:
    21 €
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 4 : 1. Sie braucht 20 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 1,5 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 = 5
    2. Ein Teil: 20 : 5 = 4 Liter
    3. Blau: 4 · 4 = 16 Liter
    4. 16 : 1,5 ist mehr als 10, also 11 Dosen
    Ergebnis:
    11 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 4 von 8 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 5 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe4 von 8zweite Gruppe5 von 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 48 = 12
    2. Herr Ott: 512
    3. Gleicher Nenner 24: 1224 und 1024
    4. 1224 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●26
    Team A trifft 2-mal bei 4 Würfen, Team B 3-mal bei 8 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A2 von 4Team B3 von 8
    Lösung zeigen
    1. Team A: 24 = 12
    2. Team B: 38
    3. Gleicher Nenner 8: 48 und 38
    4. 48 ist mehr: Team A.
    5. Ben hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Team A
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 15 Becher gelbe Farbe mit 12 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 15 : 12
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 4
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 4
    Ergebnis:
    5 : 4
  4. ●28
    Lena fädelt die Perlen aus dem Bild auf eine Kette. Welches Verhältnis Blau zu Rot hat ihre Kette? Kürze.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 15 Perlen
    2. Blau zu Rot: 15 : 3
    3. Durch 3 teilen: 5 : 1
    Ergebnis:
    5 : 1
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 47 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
    3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 411
  6. ●30
    Für Mörtel nimmt man 1 Eimer Zement auf 3 Eimer Sand. Tim nimmt 4 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 4 : 1 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 1 von 25 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 10zweite Gruppe1 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Frau Kaya

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 1 Becher gelbe Farbe mit 5 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 5

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 15 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, 16

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 1 Becher Saft und 6 Becher Wasser. Lea hat 4 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ein Band von 28 cm wird im Verhältnis 2 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 cm und 20 cm

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Eimer A: 3 Becher rote Farbe und 2 Becher weiße Farbe. Eimer B: 3 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 6 : 5. In der Gruppe sind 20 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Liter

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Tüte B
  2. Tüte A
  3. Tüte A
  4. 1 : 6
  5. 5 : 2
  6. 2 : 3
  7. 310
  8. 37
  9. 25
  10. 600 ml
  11. 25 Liter
  12. 300 ml
  13. 10 cm und 4 cm
  14. 36 cm und 24 cm
  15. Sara 95 Murmeln, Tim 38 Murmeln
  16. Eimer B
  17. Krug B
  18. Krug B
  19. 6
  20. 6 Jungen
  21. 16
  22. 5 €
  23. 21 €
  24. 11 Dosen
  25. Frau Kaya
  26. nein, Team A
  27. 5 : 4
  28. 5 : 1
  29. nein, 411
  30. 12 Eimer
  31. Frau Kaya
  32. 1 : 5
  33. nein, 16
  34. 24 Becher
  35. 8 cm und 20 cm
  36. Eimer B
  37. 24 Jungen
  38. 2 Liter
  39. 15,00 €
  40. 600 Schritte