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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €?20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 5 · 2,00 € = 10,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €? 10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 5 Minuten 600 Schritte. Wie viele Schritte sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenSchritte
    2. 5 Minuten→600 Schritte
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Minute→600 Schritte : 5 = 120 Schritte
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→120 Schritte · 6 = 720 Schritte
    Ergebnis:
    720 Schritte

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In der Klasse A kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 5 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
erste Gruppe6 von 10zweite Gruppe5 von 12
Schritt für Schritt
  1. Klasse A: 610 = 35
  2. Klasse B: 512
  3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 2560
  4. 3660 ist mehr: Klasse A.
  1. Klasse A: 610 = 35
  2. Klasse B: 512
  3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 2560
  4. 3660 ist mehr: Klasse A.
Ergebnis:
Klasse A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 2 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe4 von 20
    So fängst du an:
    Klasse A: 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 25
    2. Klasse B: 420 = 15
    3. Gleicher Nenner 20: 820 und 420
    4. 820 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 3 von 4 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 2 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 4zweite Gruppe2 von 5
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 34
    2. Klasse B: 25
    3. Gleicher Nenner 20: 1520 und 820
    4. 1520 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 17 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 25 von 30 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe17 von 20zweite Gruppe25 von 30
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 1720
    2. Klasse B: 2530 = 56
    3. Gleicher Nenner 60: 5160 und 5060
    4. 5160 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für ein helles Grün mischt Pia 9 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 9 : 6
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 2
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 2
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 9 : 6
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 2
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 2
Ergebnis:
3 : 2

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Mörtel nimmt der Maurer 10 Schaufeln Zement und 4 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    So fängst du an:
    Zuerst Zement, dann Sand: 10 : 4
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 10 : 4
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 2
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  2. ●5
    Für Saftschorle mischt Emil 8 Gläser Saft mit 6 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 8 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 4 : 3
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 4 : 3
    Ergebnis:
    4 : 3
  3. ★6
    Für Mörtel nimmt der Maurer 4 Schaufeln Zement und 8 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 4 : 8
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 1 : 2
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 1 : 2
    Ergebnis:
    1 : 2

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

49 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
Schritt für Schritt
  1. Von 9 Teilen sind 4 rot.
  2. Blau: 9 − 4 = 5 Teile
  3. Rot zu Blau: 4 : 5
  1. Von 9 Teilen sind 4 rot.
  2. Blau: 9 − 4 = 5 Teile
  3. Rot zu Blau: 4 : 5
Ergebnis:
4 : 5

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 2 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    So fängst du an:
    3 : 2 heißt: 3 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 2 heißt: 3 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 3 + 2 = 5 Teile
    3. Wasser: 2 von 5 Teilen, also 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●8
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    Lösung zeigen
    1. 4 : 7 heißt: 4 Teile Sirup, 7 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 4 + 7 = 11 Teile
    3. Sirup: 4 von 11 Teilen, also 411
    Ergebnis:
    411
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 1 : 4 : 2. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 1 + 4 + 2 = 7
    2. Sand sind 4 von 7 Teilen.
    3. Anteil: 47
    Ergebnis:
    47

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig nimmt man 300 g Mehl auf 750 ml Milch. Tim nimmt 1200 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. 1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 750 · 4 = 3000
  1. 1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 750 · 4 = 3000
Ergebnis:
3000 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Pfannkuchenteig: 150 g Mehl und 600 ml Milch. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    So fängst du an:
    Faktor: 3
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 600 · 3 = 1800
    Ergebnis:
    1800 ml
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig: 100 g Mehl und 300 ml Milch. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 300 · 5 = 1500
    Ergebnis:
    1500 ml
  3. ★12
    Für Mörtel nimmt man 5 Eimer Zement auf 2 Eimer Sand. Tim nimmt 12,5 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 12,5 : 5 = 2,5 – also 2,5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 2,5 = 5
    Ergebnis:
    5 Eimer

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

50 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 4 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10
  3. Ada: 1 · 10 = 10
  4. Ben: 4 · 10 = 40
  1. Teile: 1 + 4 = 5
  2. Ein Teil: 50 : 5 = 10
  3. Ada: 1 · 10 = 10
  4. Ben: 4 · 10 = 40
Ergebnis:
Ada 10 Murmeln, Ben 40 Murmeln

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 60 cm wird im Verhältnis 3 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 2 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 2 = 5
    2. Ein Teil: 60 : 5 = 12
    3. erstes Stück: 3 · 12 = 36
    4. zweites Stück: 2 · 12 = 24
    Ergebnis:
    36 cm und 24 cm
  2. ●14
    Ein Band von 108 cm wird im Verhältnis 4 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 5 = 9
    2. Ein Teil: 108 : 9 = 12
    3. erstes Stück: 4 · 12 = 48
    4. zweites Stück: 5 · 12 = 60
    Ergebnis:
    48 cm und 60 cm
  3. ★15
    Ein Band von 40 cm wird im Verhältnis 3 : 1 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 1 = 4
    2. Ein Teil: 40 : 4 = 10
    3. erstes Stück: 3 · 10 = 30
    4. zweites Stück: 1 · 10 = 10
    Ergebnis:
    30 cm und 10 cm

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 3 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 1 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe.
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 3 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 3/6.
  2. Eimer B: 1 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 1/5.
  3. Gleicher Nenner 30: 1530 und 630
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
  1. Eimer A: 3 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 3/6.
  2. Eimer B: 1 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 1/5.
  3. Gleicher Nenner 30: 1530 und 630
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
Ergebnis:
Eimer A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 1 Becher rote Farbe auf 2 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 3 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 3/4.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 3/4.
    2. Eimer B: 1 von 3 Teilen sind rote Farbe, also 1/3.
    3. Gleicher Nenner 12: 912 und 412
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  2. ●17
    Eimer A: 4 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 4 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
    2. Eimer B: 4 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 4/5.
    3. Gleicher Nenner 35: 2035 und 2835
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Eimer A: 1 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Eimer B: 4 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
    2. Eimer B: 4 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 4/9.
    3. Gleicher Nenner 18: 918 und 818
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 2. In der Gruppe sind 8 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 8 : 2 = 4
  3. Jungen: 5 · 4 = 20
  1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 8 : 2 = 4
  3. Jungen: 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 4 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 24
So richtig
Welche Zahl fehlt? 4 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 6

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 4 : 12 wird zu 1 : 3
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 4 : 12 wird zu 1 : 3
    2. 2 ist 2-mal 1.
    3. Also 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●20
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 4 : 1 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 2 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    1. 4 : 1: auf 1 Liter Blau kommen 4 Liter Gelb.
    2. 2 : 1 = 2
    3. Gelb: 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Liter
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 2 zu 6 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 2 : 6 wird zu 1 : 3
    2. 5 ist 5-mal 1.
    3. Also 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Für eine Gartenmauer braucht man 16 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 16 : 4 = 4 Eimer
  3. Zement: 1 · 4 = 4 Eimer
  4. 4 · 3,5 = 14
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 16 : 4 = 4 Eimer
  3. Zement: 1 · 4 = 4 Eimer
  4. 4 · 3,5 = 14
Ergebnis:
14,00 €

AchtungNoch einmal: Durch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 45 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 3 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 45 : 5 = 9 Eimer
    3. Zement: 2 · 9 = 18 Eimer
    4. 18 · 3 = 54
    Ergebnis:
    54,00 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 24 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 3
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 24 : 4 = 6
    4. Ada: 1 · 6 = 6
    Ergebnis:
    6 €
  3. ★24
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 77 € ein. Ada hat 5 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 5 : 2
    2. Teile: 5 + 2 = 7
    3. Ein Teil: 77 : 7 = 11
    4. Ada: 5 · 11 = 55
    Ergebnis:
    55 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 4 von 8 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 1 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe4 von 8zweite Gruppe1 von 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 48 = 12
    2. Klasse B: 112
    3. Gleicher Nenner 24: 1224 und 224
    4. 1224 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 8 von 12 Dosen, Ali 10 von 20. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A8 von 12B10 von 20
    Lösung zeigen
    1. Tom: 812 = 23
    2. Ali: 1020 = 12
    3. Gleicher Nenner 60: 4060 und 3060
    4. 4060 ist mehr: Tom.
    5. Ali hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Tom
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 6 Becher gelbe Farbe mit 4 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 6 : 4
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 2
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 2
    Ergebnis:
    3 : 2
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 8 Perlen, Blau: 10 Perlen
    2. Blau zu Rot: 10 : 8
    3. Durch 2 teilen: 5 : 4
    Ergebnis:
    5 : 4
  5. ●29
    310 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 10 Teilen sind 3 rot.
    2. Blau: 10 − 3 = 7 Teile
    3. Rot zu Blau: 3 : 7
    Ergebnis:
    3 : 7
  6. ●30
    Für Mörtel: 1 Eimer Zement und 3 Eimer Sand. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 3 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 8 von 10 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe3 von 8zweite Gruppe8 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Saftschorle mischt Emil 1 Gläser Saft mit 4 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 4

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    17 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 6

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle: 3 Becher Saft und 2 Becher Wasser. Die Menge soll 2-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    44 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 1 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mia 33 Murmeln, Can 11 Murmeln

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 1 Löffel Himbeersirup auf 2 Löffel Wasser, Kanne B enthält 4 Löffel Himbeersirup auf 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 6 : 7. In der Gruppe sind 21 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 48 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 4 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse A
  2. Klasse A
  3. Klasse A
  4. 5 : 2
  5. 4 : 3
  6. 1 : 2
  7. 25
  8. 411
  9. 47
  10. 1800 ml
  11. 1500 ml
  12. 5 Eimer
  13. 36 cm und 24 cm
  14. 48 cm und 60 cm
  15. 30 cm und 10 cm
  16. Eimer A
  17. Eimer B
  18. Eimer A
  19. 6
  20. 8 Liter
  21. 15
  22. 54,00 €
  23. 6 €
  24. 55 €
  25. Klasse A
  26. nein, Tom
  27. 3 : 2
  28. 5 : 4
  29. 3 : 7
  30. 9 Eimer
  31. Tüte B
  32. 1 : 4
  33. 1 : 6
  34. 4 Becher
  35. Mia 33 Murmeln, Can 11 Murmeln
  36. Kanne B
  37. 18 Jungen
  38. 16 €
  39. 10,00 €
  40. 720 Schritte