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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis4,00 €8,00 €20,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
    2. Lücke: 10 · 4,00 € = 40,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis4,00 €8,00 €20,00 €? 40,00 €
      y : x4444

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 4,00 €.

    Ergebnis:
    40,00 €
  2. ●40
    Beim Fußballtraining dauern 4 Trainingseinheiten zusammen 300 Minuten. Wie lange dauern 10 Trainingseinheiten?
    Lösung zeigen
    1. TrainingseinheitenMinuten
    2. 4 Trainingseinheiten→300 Minuten
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 Trainingseinheit→300 Minuten : 4 = 75 Minuten
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Trainingseinheiten→75 Minuten · 10 = 750 Minuten
    Ergebnis:
    750 Minuten

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 7 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 4 von 8 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe7 von 12zweite Gruppe4 von 8
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 712
  2. Herr Ott: 48 = 12
  3. Gleicher Nenner 24: 1424 und 1224
  4. 1424 ist mehr: Frau Kaya.
  1. Frau Kaya: 712
  2. Herr Ott: 48 = 12
  3. Gleicher Nenner 24: 1424 und 1224
  4. 1424 ist mehr: Frau Kaya.
Ergebnis:
Frau Kaya

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 1 von 4 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 10 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe1 von 4zweite Gruppe10 von 12
    So fängst du an:
    Klasse A: 14
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 14
    2. Klasse B: 1012 = 56
    3. Gleicher Nenner 12: 312 und 1012
    4. 1012 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 4 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 1 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe4 von 10zweite Gruppe1 von 5
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 410 = 25
    2. Klasse B: 15
    3. Gleicher Nenner 10: 410 und 210
    4. 410 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 7 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe13 von 20zweite Gruppe7 von 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 1320
    2. Klasse B: 712
    3. Gleicher Nenner 60: 3960 und 3560
    4. 3960 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 12 Schaufeln Zement und 9 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 12 : 9
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 4 : 3
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 3
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 12 : 9
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 4 : 3
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 3
Ergebnis:
4 : 3

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Saftschorle mischt Emil 6 Gläser Saft mit 8 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    So fängst du an:
    Zuerst Saft, dann Wasser: 6 : 8
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 6 : 8
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 4
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 3 : 4
    Ergebnis:
    3 : 4
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 10 Becher gelbe Farbe mit 8 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 10 : 8
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 4
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 4
    Ergebnis:
    5 : 4
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 12 Gläser Saft mit 3 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Wasser zu Saft so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Saft: 3 : 12
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 4
    3. Verhältnis Wasser zu Saft: 1 : 4
    Ergebnis:
    1 : 4

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Sirup und Wasser werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
Schritt für Schritt
  1. 3 : 7 heißt: 3 Teile Sirup, 7 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 3 + 7 = 10 Teile
  3. Sirup: 3 von 10 Teilen, also 310
  1. 3 : 7 heißt: 3 Teile Sirup, 7 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 3 + 7 = 10 Teile
  3. Sirup: 3 von 10 Teilen, also 310
Ergebnis:
310

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Zement und Sand werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    So fängst du an:
    5 : 6 heißt: 5 Teile Zement, 6 Teile Sand.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Zement, 6 Teile Sand.
    2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
    3. Zement: 5 von 11 Teilen, also 511
    Ergebnis:
    511
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 57 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 5 + 7 = 12 Teile.
    3. Saft: 5 von 12 Teilen, also 512
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 512
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 3 : 4. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 2 + 3 + 4 = 9
    2. Sand sind 3 von 9 Teilen.
    3. Anteil: 39 = 13
    Ergebnis:
    13

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 2 Liter weiße Farbe und 1 Liter rote Farbe. Lea hat 10 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
weiße Farberote Farbe
Schritt für Schritt
  1. 10 : 2 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 5 = 5
  1. 10 : 2 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 1 · 5 = 5
Ergebnis:
5 Liter

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für ein zartes Rosa nimmt man 2 Liter weiße Farbe auf 3 Liter rote Farbe. Tim nimmt 6 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    So fängst du an:
    6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 6 : 2 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Liter
  2. ●11
    Für Orangenschorle: 2 Becher Saft und 3 Becher Wasser. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Becher
  3. ★12
    Für ein zartes Rosa nimmt man 6 Liter weiße Farbe auf 15 Liter rote Farbe. Tim macht weniger und nimmt nur 2 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 6 : 15 wird zu 2 : 5
    2. 2 : 2 = 1
    3. 5 · 1 = 5
    Ergebnis:
    5 Liter

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 40 cm wird im Verhältnis 4 : 1 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 4 + 1 = 5
  2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
  3. erstes Stück: 4 · 8 = 32
  4. zweites Stück: 1 · 8 = 8
  1. Teile: 4 + 1 = 5
  2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
  3. erstes Stück: 4 · 8 = 32
  4. zweites Stück: 1 · 8 = 8
Ergebnis:
32 cm und 8 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lea und Max teilen 77 € im Verhältnis 4 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    So fängst du an:
    Teile: 4 + 3 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 3 = 7
    2. Ein Teil: 77 : 7 = 11
    3. Lea: 4 · 11 = 44
    4. Max: 3 · 11 = 33
    Ergebnis:
    Lea 44 €, Max 33 €
  2. ●14
    Mia und Can teilen 28 € im Verhältnis 3 : 1. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 1 = 4
    2. Ein Teil: 28 : 4 = 7
    3. Mia: 3 · 7 = 21
    4. Can: 1 · 7 = 7
    Ergebnis:
    Mia 21 €, Can 7 €
  3. ★15
    Lea und Max teilen Sticker im Verhältnis 5 : 6. Max bekommt 16 Sticker mehr als Lea. Wie viele bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 6 − 5 = 1 Teile
    2. Ein Teil: 16 : 1 = 16
    3. Lea: 5 · 16 = 80, Max: 6 · 16 = 96
    Ergebnis:
    Lea 80, Max 96

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Krug A enthält 1 Gläser Saft auf 4 Gläser Wasser, Krug B enthält 1 Gläser Saft auf 1 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 1 von 5 Teilen sind Saft, also 1/5.
  2. Krug B: 1 von 2 Teilen sind Saft, also 1/2.
  3. Gleicher Nenner 10: 210 und 510
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 1 von 5 Teilen sind Saft, also 1/5.
  2. Krug B: 1 von 2 Teilen sind Saft, also 1/2.
  3. Gleicher Nenner 10: 210 und 510
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eimer A: 5 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 1 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
    2. Eimer B: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
    3. Gleicher Nenner 8: 58 und 48
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  2. ●17
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 1 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 2 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
    2. Eimer B: 2 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 2/7.
    3. Gleicher Nenner 14: 714 und 414
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  3. ★18
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 4 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 3 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 4/9.
    2. Eimer B: 3 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 3/8.
    3. Gleicher Nenner 72: 3272 und 2772
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 2. In der Gruppe sind 4 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 4 : 2 = 2
  3. Jungen: 5 · 2 = 10
  1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
  2. 4 : 2 = 2
  3. Jungen: 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 2 zu 14 soll dasselbe Verhältnis sein wie 4 zu ___ → 7
So richtig
Welche Zahl fehlt? 2 zu 14 soll dasselbe Verhältnis sein wie 4 zu ___ → 28

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 18 zu 21 soll dasselbe Verhältnis sein wie 12 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 18 : 21 wird zu 6 : 7
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 18 : 21 wird zu 6 : 7
    2. 12 ist 2-mal 6.
    3. Also 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●20
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 35 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7: auf 7 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
    2. 35 : 7 = 5
    3. Gelb: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Liter
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 2 zu 14 soll dasselbe Verhältnis sein wie 4 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 2 : 14 wird zu 1 : 7
    2. 4 ist 4-mal 1.
    3. Also 7 · 4 = 28
    Ergebnis:
    28

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 60 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 60 · 0,2 = 12
  2. Teile: 1 + 3 = 4
  3. Ein Teil: 12 : 4 = 3
  4. Saft: 1 · 3 = 3
  1. Schorle: 60 · 0,2 = 12
  2. Teile: 1 + 3 = 4
  3. Ein Teil: 12 : 4 = 3
  4. Saft: 1 · 3 = 3
Ergebnis:
3 Liter

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 15 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 2
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 1 : 2
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 15 : 3 = 5
    4. Ada: 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 24 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 1 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 1
    2. Teile: 3 + 1 = 4
    3. Ein Teil: 24 : 4 = 6
    4. Ada: 3 · 6 = 18
    Ergebnis:
    18 €
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 3 : 1. Sie braucht 12 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 1,5 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 1 = 4
    2. Ein Teil: 12 : 4 = 3 Liter
    3. Blau: 3 · 3 = 9 Liter
    4. 9 : 1,5 = 6
    Ergebnis:
    6 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 3 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 3 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe3 von 4zweite Gruppe3 von 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 34
    2. Herr Ott: 312 = 14
    3. Gleicher Nenner 12: 912 und 312
    4. 912 ist mehr: Frau Kaya.
    Ergebnis:
    Frau Kaya
  2. ●26
    In Schule A essen 9 von 12 Kindern mittags in der Mensa, in Schule B 13 von 20. Nina sagt: „In Schule B ist die Mensa beliebter, dort essen mehr Kinder.“ Hat sie recht?
    A9 von 12B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule A: 912 = 34
    2. Schule B: 1320
    3. Gleicher Nenner 60: 4560 und 3960
    4. 4560 ist mehr: Schule A.
    5. Nina hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Schule A
  3. ●27
    Für Mörtel nimmt der Maurer 5 Schaufeln Zement und 1 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 5 : 1
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 1
    Ergebnis:
    5 : 1
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 9 Perlen
    2. Blau zu Rot: 9 : 3
    3. Durch 3 teilen: 3 : 1
    Ergebnis:
    3 : 1
  5. ●29
    Zement und Sand werden im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 1 : 2 heißt: 1 Teile Zement, 2 Teile Sand.
    2. Zusammen: 1 + 2 = 3 Teile
    3. Zement: 1 von 3 Teilen, also 13
    Ergebnis:
    13
  6. ●30
    Für Mörtel: 5 Eimer Zement und 2 Eimer Sand. Die Menge soll 2-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 2
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 2 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 6 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 10zweite Gruppe6 von 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Mörtel nimmt der Maurer 10 Schaufeln Zement und 2 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 56 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, 511

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 50 g Mehl und 200 ml Milch. Lea hat 100 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400 ml

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Sara und Tim teilen 45 € im Verhältnis 4 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    SaraTim
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Sara 20 €, Tim 25 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Kanne A: 3 Löffel Himbeersirup und 6 Löffel Wasser. Kanne B: 5 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 7. In der Gruppe sind 35 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 56 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Klasse A
  3. Klasse A
  4. 3 : 4
  5. 5 : 4
  6. 1 : 4
  7. 511
  8. nein, 512
  9. 13
  10. 9 Liter
  11. 9 Becher
  12. 5 Liter
  13. Lea 44 €, Max 33 €
  14. Mia 21 €, Can 7 €
  15. Lea 80, Max 96
  16. Eimer A
  17. Eimer A
  18. Eimer A
  19. 14
  20. 15 Liter
  21. 28
  22. 5 €
  23. 18 €
  24. 6 Dosen
  25. Frau Kaya
  26. nein, Schule A
  27. 5 : 1
  28. 3 : 1
  29. 13
  30. 4 Eimer
  31. Tüte B
  32. 5 : 1
  33. nein, 511
  34. 400 ml
  35. Sara 20 €, Tim 25 €
  36. Kanne B
  37. 15 Jungen
  38. 64,00 €
  39. 40,00 €
  40. 750 Minuten