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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis5,00 €10,00 €?50,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 5 · 5,00 € = 25,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis5,00 €10,00 €? 25,00 €50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 5 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    25,00 €
  2. ●40
    Für 2 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 20,00 €. Wie viel bekommt sie für 10 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 2 Stunden→20,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 Stunde→20,00 € : 2 = 10,00 €
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Stunden→10,00 € · 10 = 100,00 €
    Ergebnis:
    100,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 7 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 2 von 10 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe7 von 8zweite Gruppe2 von 10
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 78
  2. Tüte B: 210 = 15
  3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 840
  4. 3540 ist mehr: Tüte A.
  1. Tüte A: 78
  2. Tüte B: 210 = 15
  3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 840
  4. 3540 ist mehr: Tüte A.
Ergebnis:
Tüte A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 7 von 12 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 8 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe7 von 12zweite Gruppe8 von 20
    So fängst du an:
    Klasse A: 712
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 712
    2. Klasse B: 820 = 25
    3. Gleicher Nenner 60: 3560 und 2460
    4. 3560 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 2 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 9 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe9 von 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 25
    2. Klasse B: 912 = 34
    3. Gleicher Nenner 60: 2460 und 4560
    4. 4560 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  3. ★3
    In Tüte A sind 8 von 15 Bonbons rot, in Tüte B 11 von 20 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe8 von 15zweite Gruppe11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 815
    2. Tüte B: 1120
    3. Gleicher Nenner 60: 3260 und 3360
    4. 3360 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 8 Schaufeln Zement und 10 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 8 : 10
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 4 : 5
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 5
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 8 : 10
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 4 : 5
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 5
Ergebnis:
4 : 5

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für ein helles Grün mischt Pia 6 Becher gelbe Farbe mit 8 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Gelb, dann Blau: 6 : 8
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 6 : 8
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 4
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 4
    Ergebnis:
    3 : 4
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 6 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 6
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 2 : 3
    Ergebnis:
    2 : 3
  3. ★6
    Für Himbeerlimonade rührt Can 3 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 3 : 12
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 4
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 1 : 4
    Ergebnis:
    1 : 4

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

511 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
Schritt für Schritt
  1. Von 11 Teilen sind 5 rot.
  2. Blau: 11 − 5 = 6 Teile
  3. Rot zu Blau: 5 : 6
  1. Von 11 Teilen sind 5 rot.
  2. Blau: 11 − 5 = 6 Teile
  3. Rot zu Blau: 5 : 6
Ergebnis:
5 : 6

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 23 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    So fängst du an:
    2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 2 + 3 = 5 Teile.
    3. Saft: 2 von 5 Teilen, also 25
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 25
  2. ●8
    Zement und Sand werden im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 2 : 5 heißt: 2 Teile Zement, 5 Teile Sand.
    2. Zusammen: 2 + 5 = 7 Teile
    3. Zement: 2 von 7 Teilen, also 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★9
    35 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 5 Teilen sind 3 rot.
    2. Blau: 5 − 3 = 2 Teile
    3. Rot zu Blau: 3 : 2
    Ergebnis:
    3 : 2

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 1 Liter weiße Farbe und 2 Liter rote Farbe. Lea hat 5 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
weiße Farberote Farbe
Schritt für Schritt
  1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 5 = 10
  1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 5 = 10
Ergebnis:
10 Liter

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel nimmt man 4 Eimer Zement auf 1 Eimer Sand. Tim nimmt 20 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    So fängst du an:
    20 : 4 = 5 – also 5-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5 Eimer
  2. ●11
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 1 Liter weiße Farbe und 4 Liter rote Farbe. Lea hat 3 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 3 : 1 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12 Liter
  3. ★12
    Für Mörtel: 5 Eimer Zement und 3 Eimer Sand. Die Menge soll 1,5-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 1,5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 1,5 = 4,5
    Ergebnis:
    4,5 Eimer

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Lea und Max teilen 48 € im Verhältnis 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
LeaMax
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 48 : 4 = 12
  3. Lea: 1 · 12 = 12
  4. Max: 3 · 12 = 36
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 48 : 4 = 12
  3. Lea: 1 · 12 = 12
  4. Max: 3 · 12 = 36
Ergebnis:
Lea 12 €, Max 36 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    30 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 2 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 30 : 3 = 10
    3. Mia: 1 · 10 = 10
    4. Can: 2 · 10 = 20
    Ergebnis:
    Mia 10 Murmeln, Can 20 Murmeln
  2. ●14
    Ein Band von 14 cm wird im Verhältnis 1 : 6 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 6 = 7
    2. Ein Teil: 14 : 7 = 2
    3. erstes Stück: 1 · 2 = 2
    4. zweites Stück: 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    2 cm und 12 cm
  3. ★15
    Ada und Ben teilen 96 € im Verhältnis 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    AdaBen
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 96 : 4 = 24
    3. Ada: 1 · 24 = 24
    4. Ben: 3 · 24 = 72
    Ergebnis:
    Ada 24 €, Ben 72 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Krug A enthält 1 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser, Krug B enthält 5 Gläser Saft auf 3 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
  2. Krug B: 5 von 8 Teilen sind Saft, also 5/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 28 und 58
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
  2. Krug B: 5 von 8 Teilen sind Saft, also 5/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 28 und 58
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 3 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 4 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    So fängst du an:
    Krug A: 3 von 5 Teilen sind Saft, also 3/5.
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 3 von 5 Teilen sind Saft, also 3/5.
    2. Krug B: 3 von 7 Teilen sind Saft, also 3/7.
    3. Gleicher Nenner 35: 2135 und 1535
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A
  2. ●17
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 6 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 3 Becher rote Farbe auf 2 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 3/9.
    2. Eimer B: 3 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 3/5.
    3. Gleicher Nenner 45: 1545 und 2745
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 1 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser, Kanne B hat 1 Löffel Himbeersirup und 5 Löffel Wasser.
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 1 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 1/4.
    2. Kanne B: 1 von 6 Teilen sind Himbeersirup, also 1/6.
    3. Gleicher Nenner 12: 312 und 212
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 4 : 5. In der Gruppe sind 15 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 4 : 5: auf 5 Mädchen kommen 4 Jungen.
  2. 15 : 5 = 3
  3. Jungen: 4 · 3 = 12
  1. 4 : 5: auf 5 Mädchen kommen 4 Jungen.
  2. 15 : 5 = 3
  3. Jungen: 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 12 zu 16 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 12 : 16 wird zu 3 : 4
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 12 : 16 wird zu 3 : 4
    2. 9 ist 3-mal 3.
    3. Also 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 12 zu 15 soll dasselbe Verhältnis sein wie 24 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 12 : 15 wird zu 4 : 5
    2. 24 ist 6-mal 4.
    3. Also 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 7. In der Gruppe sind 35 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7: auf 7 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 35 : 7 = 5
    3. Jungen: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 72 € ein. Ada hat 4 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 5
  2. Teile: 4 + 5 = 9
  3. Ein Teil: 72 : 9 = 8
  4. Ada: 4 · 8 = 32
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 4 : 5
  2. Teile: 4 + 5 = 9
  3. Ein Teil: 72 : 9 = 8
  4. Ada: 4 · 8 = 32
Ergebnis:
32 €

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Beim Schulfest werden 20 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Schorle: 20 · 0,2 = 4
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 20 · 0,2 = 4
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 4 : 4 = 1
    4. Saft: 1 · 1 = 1
    Ergebnis:
    1 Liter
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 40 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 3
    2. Teile: 2 + 3 = 5
    3. Ein Teil: 40 : 5 = 8
    4. Ada: 2 · 8 = 16
    Ergebnis:
    16 €
  3. ★24
    Beim Schulfest werden 29 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 29 · 0,2 = 5,8
    2. Teile: 1 + 4 = 5
    3. Ein Teil: 5,8 : 5 = 1,16
    4. Saft: 1 · 1,16 = 1,16
    Ergebnis:
    1,16 Liter

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Im Beet von Frau Kaya sind 4 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 2 von 4 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe4 von 12zweite Gruppe2 von 4
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 412 = 13
    2. Herr Ott: 24 = 12
    3. Gleicher Nenner 12: 412 und 612
    4. 612 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●26
    Team A trifft 2-mal bei 4 Würfen, Team B 5-mal bei 12 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A2 von 4Team B5 von 12
    Lösung zeigen
    1. Team A: 24 = 12
    2. Team B: 512
    3. Gleicher Nenner 12: 612 und 512
    4. 612 ist mehr: Team A.
    5. Ben hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Team A
  3. ●27
    Für Saftschorle mischt Emil 2 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 2 : 12
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 6
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 6
    Ergebnis:
    1 : 6
  4. ●28
    Zähle die Perlen im Bild. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau, so einfach wie möglich geschrieben?
    Lösung zeigen
    1. Rot: 12 Perlen, Blau: 9 Perlen
    2. Rot zu Blau: 12 : 9
    3. Durch 3 teilen: 4 : 3
    Ergebnis:
    4 : 3
  5. ●29
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 1 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    Lösung zeigen
    1. 1 : 7 heißt: 1 Teile Sirup, 7 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 1 + 7 = 8 Teile
    3. Sirup: 1 von 8 Teilen, also 18
    Ergebnis:
    18
  6. ●30
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 450 g Mehl auf 300 ml Milch. Tim nimmt 1350 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 1350 : 450 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 300 · 3 = 900
    Ergebnis:
    900 ml

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    Im Beet von Frau Kaya sind 4 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 4 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe4 von 12zweite Gruppe4 von 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Herr Ott

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 3 Löffel Sirup in 18 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 6

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    47 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 : 3

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Pfannkuchenteig steht im Rezept: 600 g Mehl und 750 ml Milch. Lea hat 1200 g Mehl. Wie viel Milch muss dazu?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1500 ml

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Lea und Max teilen 14 € im Verhältnis 1 : 6. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lea 2 €, Max 12 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Krug A: 1 Gläser Saft und 6 Gläser Wasser. Krug B: 1 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Krug B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 15 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 10 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 45 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse A
  2. Klasse B
  3. Tüte B
  4. 3 : 4
  5. 2 : 3
  6. 1 : 4
  7. nein, 25
  8. 27
  9. 3 : 2
  10. 5 Eimer
  11. 12 Liter
  12. 4,5 Eimer
  13. Mia 10 Murmeln, Can 20 Murmeln
  14. 2 cm und 12 cm
  15. Ada 24 €, Ben 72 €
  16. Krug A
  17. Eimer B
  18. Kanne A
  19. 12
  20. 30
  21. 15 Jungen
  22. 1 Liter
  23. 16 €
  24. 1,16 Liter
  25. Herr Ott
  26. nein, Team A
  27. 1 : 6
  28. 4 : 3
  29. 18
  30. 900 ml
  31. Herr Ott
  32. 1 : 6
  33. 4 : 3
  34. 1500 ml
  35. Lea 2 €, Max 12 €
  36. Krug B
  37. 6
  38. 36,00 €
  39. 25,00 €
  40. 100,00 €