Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

●39
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
GB Datenvolumen 1 2 5 10
Preis 4,00 € 8,00 € ? 40,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
2. Lücke: 5 · 4,00 € = 20,00 €
3. GB Datenvolumen 1 2 5 10
  Preis 4,00 € 8,00 € ? 20,00 € 40,00 €
  y : x 4 4 4 4
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 5 · 4,00 €.
Ergebnis:
20,00 €
●40
Ein Wasserhahn füllt in 2 Minuten 12 Liter in die Wanne. Wie viel Liter sind es nach 8 Minuten?
Lösung zeigen
1. Minuten Liter
2. 2 Minuten → 12 Liter
3. ↓ : 2 ↓ : 2
4. 1 Minute → 12 Liter : 2 = 6 Liter
5. ↓ · 8 ↓ · 8
6. 8 Minuten → 6 Liter · 8 = 48 Liter
Ergebnis:
48 Liter

GB Datenvolumen	1	2	5	10
Preis	4,00 €	8,00 €	?	40,00 €

GB Datenvolumen	1	2	5	10
Preis	4,00 €	8,00 €	? 20,00 €	40,00 €
y : x	4	4	4	4

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 1 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 4 von 12 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?

Schritt für Schritt

Tüte A: 18
Tüte B: 412 = 13
Gleicher Nenner 24: 324 und 824
824 ist mehr: Tüte B.

Tüte A: 18
Tüte B: 412 = 13
Gleicher Nenner 24: 324 und 824
824 ist mehr: Tüte B.

Ergebnis:

Tüte B

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht

Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9

So richtig

9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

○1
In der Klasse A kommen 6 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 3 von 4 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
So fängst du an:
Klasse A: 620 = 310
Lösung zeigen
1. Klasse A: 620 = 310
2. Klasse B: 34
3. Gleicher Nenner 20: 620 und 1520
4. 1520 ist mehr: Klasse B.
Ergebnis:
Klasse B
●2
Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 8 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
Lösung zeigen
1. Frau Kaya: 24 = 12
2. Herr Ott: 810 = 45
3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 1620
4. 1620 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott
★3
In der Klasse A kommen 18 von 30 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 7 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
Lösung zeigen
1. Klasse A: 1830 = 35
2. Klasse B: 712
3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 3560
4. 3660 ist mehr: Klasse A.
Ergebnis:
Klasse A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 9 Schaufeln Zement und 6 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.

Schritt für Schritt

Zuerst Zement, dann Sand: 9 : 6
Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 2
Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 2

Zuerst Zement, dann Sand: 9 : 6
Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 2
Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 2

Ergebnis:

3 : 2

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht

2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1

So richtig

2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

○4
Für Saftschorle mischt Emil 4 Gläser Saft mit 3 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Saft zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
So fängst du an:
Zuerst Saft, dann Wasser: 4 : 3
Lösung zeigen
1. Zuerst Saft, dann Wasser: 4 : 3
2. Kürzen geht nicht.
3. Verhältnis Saft zu Wasser: 4 : 3
Ergebnis:
4 : 3
●5
Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 2
2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 1
3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 1
Ergebnis:
5 : 1
★6
Für Himbeerlimonade rührt Can 8 Löffel Sirup in 6 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Wasser zu Sirup so einfach wie möglich an.
Lösung zeigen
1. Zuerst Wasser, dann Sirup: 6 : 8
2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 4
3. Verhältnis Wasser zu Sirup: 3 : 4
Ergebnis:
3 : 4

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?

Schritt für Schritt

2 : 3 heißt: 2 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
Zusammen: 2 + 3 = 5 Teile
Saft: 2 von 5 Teilen, also 25

2 : 3 heißt: 2 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
Zusammen: 2 + 3 = 5 Teile
Saft: 2 von 5 Teilen, also 25

Ergebnis:

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht

Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4

So richtig

1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

○7
Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?
So fängst du an:
4 : 7 heißt: 4 Teile Saft, 7 Teile Wasser.
Lösung zeigen
1. 4 : 7 heißt: 4 Teile Saft, 7 Teile Wasser.
2. Zusammen: 4 + 7 = 11 Teile
3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
Ergebnis:
411
●8
Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 25 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Lösung zeigen
1. 2 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
2. Die ganze Schorle hat 2 + 5 = 7 Teile.
3. Saft: 2 von 7 Teilen, also 27
4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 27
★9
Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 23 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Lösung zeigen
1. 2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
2. Die ganze Schorle hat 2 + 3 = 5 Teile.
3. Saft: 2 von 5 Teilen, also 25
4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 25

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 2 Liter weiße Farbe und 3 Liter rote Farbe. Lea hat 8 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?

Schritt für Schritt

8 : 2 = 4 – also 4-mal so viel
Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3 · 4 = 12

8 : 2 = 4 – also 4-mal so viel
Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3 · 4 = 12

Ergebnis:

12 Liter

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht

2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7

So richtig

2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

○10
Für Mörtel: 4 Eimer Zement und 5 Eimer Sand. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
So fängst du an:
Faktor: 4
Lösung zeigen
1. Faktor: 4
2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Eimer
●11
Für Mörtel nimmt man 2 Eimer Zement auf 1 Eimer Sand. Tim nimmt 10 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
Lösung zeigen
1. 10 : 2 = 5 – also 5-mal so viel
2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3. 1 · 5 = 5
Ergebnis:
5 Eimer
★12
Für Orangenschorle nimmt man 3 Becher Saft auf 2 Becher Wasser. Tim nimmt 9 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
Lösung zeigen
1. 9 : 3 = 3 – also 3-mal so viel
2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3. 2 · 3 = 6
Ergebnis:
6 Becher

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

21 Murmeln werden im Verhältnis 4 : 3 an Lea und Max verteilt. Wie viele bekommt jeder?

Schritt für Schritt

Teile: 4 + 3 = 7
Ein Teil: 21 : 7 = 3
Lea: 4 · 3 = 12
Max: 3 · 3 = 9

Teile: 4 + 3 = 7
Ein Teil: 21 : 7 = 3
Lea: 4 · 3 = 12
Max: 3 · 3 = 9

Ergebnis:

Lea 12 Murmeln, Max 9 Murmeln

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht

35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4

So richtig

35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

○13
66 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 5 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
So fängst du an:
Teile: 1 + 5 = 6
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 5 = 6
2. Ein Teil: 66 : 6 = 11
3. Mia: 1 · 11 = 11
4. Can: 5 · 11 = 55
Ergebnis:
Mia 11 Murmeln, Can 55 Murmeln
●14
40 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 3 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 3 = 4
2. Ein Teil: 40 : 4 = 10
3. Mia: 1 · 10 = 10
4. Can: 3 · 10 = 30
Ergebnis:
Mia 10 Murmeln, Can 30 Murmeln
★15
60 Murmeln werden im Verhältnis 2 : 3 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 = 5
2. Ein Teil: 60 : 5 = 12
3. Ada: 2 · 12 = 24
4. Ben: 3 · 12 = 36
Ergebnis:
Ada 24 Murmeln, Ben 36 Murmeln

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Eimer A enthält 2 Becher rote Farbe auf 6 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 5 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?

Schritt für Schritt

Eimer A: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
Eimer B: 5 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 5/6.
Gleicher Nenner 24: 624 und 2024
Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.

Eimer A: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
Eimer B: 5 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 5/6.
Gleicher Nenner 24: 624 und 2024
Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.

Ergebnis:

Eimer B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht

2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7

So richtig

2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

○16
Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 2 Löffel Himbeersirup und 5 Löffel Wasser, Kanne B hat 3 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser.
So fängst du an:
Kanne A: 2 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 2/7.
Lösung zeigen
1. Kanne A: 2 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 2/7.
2. Kanne B: 3 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 3/4.
3. Gleicher Nenner 28: 828 und 2128
4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
Ergebnis:
Kanne B
●17
Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 4 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser, Krug B hat 4 Gläser Saft und 4 Gläser Wasser.
Lösung zeigen
1. Krug A: 4 von 6 Teilen sind Saft, also 4/6.
2. Krug B: 4 von 8 Teilen sind Saft, also 4/8.
3. Gleicher Nenner 24: 1624 und 1224
4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
Ergebnis:
Krug A
★18
Zwei Mischungen: Kanne A enthält 1 Löffel Himbeersirup auf 4 Löffel Wasser, Kanne B enthält 1 Löffel Himbeersirup auf 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
Lösung zeigen
1. Kanne A: 1 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 1/5.
2. Kanne B: 1 von 4 Teilen sind Himbeersirup, also 1/4.
3. Gleicher Nenner 20: 420 und 520
4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
Ergebnis:
Kanne B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 20 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 10 zu ___.

Schritt für Schritt

Kürzen: 20 : 12 wird zu 5 : 3
10 ist 2-mal 5.
Also 3 · 2 = 6

Kürzen: 20 : 12 wird zu 5 : 3
10 ist 2-mal 5.
Also 3 · 2 = 6

Ergebnis:

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €

So richtig

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

○19
Welche Zahl fehlt? 24 zu 28 soll dasselbe Verhältnis sein wie 36 zu ___.
So fängst du an:
Kürzen: 24 : 28 wird zu 6 : 7
Lösung zeigen
1. Kürzen: 24 : 28 wird zu 6 : 7
2. 36 ist 6-mal 6.
3. Also 7 · 6 = 42
Ergebnis:
42
●20
Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 12 Liter Blau?
Lösung zeigen
1. 5 : 6: auf 6 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
2. 12 : 6 = 2
3. Gelb: 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 Liter
★21
Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 20 Liter Blau?
Lösung zeigen
1. 1 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 1 Liter Gelb.
2. 20 : 5 = 4
3. Gelb: 1 · 4 = 4
Ergebnis:
4 Liter

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 2 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?

Schritt für Schritt

Schorle: 40 · 0,25 = 10
Teile: 2 + 3 = 5
Ein Teil: 10 : 5 = 2
Saft: 2 · 2 = 4

Schorle: 40 · 0,25 = 10
Teile: 2 + 3 = 5
Ein Teil: 10 : 5 = 2
Saft: 2 · 2 = 4

Ergebnis:

4 Liter

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht

3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €

So richtig

3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

○22
Beim Schulfest werden 20 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
So fängst du an:
Schorle: 20 · 0,2 = 4
Lösung zeigen
1. Schorle: 20 · 0,2 = 4
2. Teile: 1 + 3 = 4
3. Ein Teil: 4 : 4 = 1
4. Saft: 1 · 1 = 1
Ergebnis:
1 Liter
●23
Für eine Gartenmauer braucht man 30 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
Lösung zeigen
1. Teile: 2 + 3 = 5
2. Ein Teil: 30 : 5 = 6 Eimer
3. Zement: 2 · 6 = 12 Eimer
4. 12 · 3,5 = 42
Ergebnis:
42,00 €
★24
Für eine Gartenmauer braucht man 25 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
Lösung zeigen
1. Teile: 1 + 4 = 5
2. Ein Teil: 25 : 5 = 5 Eimer
3. Zement: 1 · 5 = 5 Eimer
4. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Im Beet von Frau Kaya sind 5 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 7 von 8 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
Lösung zeigen
1. Frau Kaya: 510 = 12
2. Herr Ott: 78
3. Gleicher Nenner 40: 2040 und 3540
4. 3540 ist mehr: Herr Ott.
Ergebnis:
Herr Ott
●26
Team A trifft 1-mal bei 12 Würfen, Team B 11-mal bei 20 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
Lösung zeigen
1. Team A: 112
2. Team B: 1120
3. Gleicher Nenner 60: 560 und 3360
4. 3360 ist mehr: Team B.
5. Ben hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
Ergebnis:
ja, Team B
●27
Für ein helles Grün mischt Pia 6 Becher gelbe Farbe mit 4 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
Lösung zeigen
1. Zuerst Gelb, dann Blau: 6 : 4
2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 2
3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 2
Ergebnis:
3 : 2
●28
Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Rot: 10 Perlen, Blau: 8 Perlen
2. Blau zu Rot: 8 : 10
3. Durch 2 teilen: 4 : 5
Ergebnis:
4 : 5
●29
18 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
Lösung zeigen
1. Von 8 Teilen sind 1 rot.
2. Blau: 8 − 1 = 7 Teile
3. Rot zu Blau: 1 : 7
Ergebnis:
1 : 7
●30
Für Mörtel: 4 Eimer Zement und 5 Eimer Sand. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
Lösung zeigen
1. Faktor: 5
2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
3. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen: 12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung: 2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?: Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern: Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis: Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?: Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis: Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.
31
In Tüte A sind 3 von 4 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Tüte A
Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.
32
Für Himbeerlimonade rührt Can 3 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 : 4
Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.
33
Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 35 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, 38
Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.
34
Für Pfannkuchenteig nimmt man 250 g Mehl auf 150 ml Milch. Tim nimmt 1250 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
750 ml
Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.
35
25 Murmeln werden im Verhältnis 4 : 1 an Sara und Tim verteilt. Wie viele bekommt jeder?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Sara 20 Murmeln, Tim 5 Murmeln
Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.
36
Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 3 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 4 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Eimer B
Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.
37
Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 4 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 16 Liter Blau?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 Liter
Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).
38
Für eine Gartenmauer braucht man 20 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
Lösung zeigen
Ergebnis:
20,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil: wie viel von einem Ganzen
Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

Klasse B
Herr Ott
Klasse A
4 : 3
5 : 1
3 : 4
411
nein, 27
nein, 25
20 Eimer
5 Eimer
6 Becher
Mia 11 Murmeln, Can 55 Murmeln
Mia 10 Murmeln, Can 30 Murmeln
Ada 24 Murmeln, Ben 36 Murmeln
Kanne B
Krug A
Kanne B
42
10 Liter
4 Liter
1 Liter
42,00 €
15,00 €
Herr Ott
ja, Team B
3 : 2
4 : 5
1 : 7
25 Eimer
Tüte A
1 : 4
nein, 38
750 ml
Sara 20 Murmeln, Tim 5 Murmeln
Eimer B
20 Liter
20,00 €
20,00 €
48 Liter