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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis3,00 €6,00 €?30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis3,00 €6,00 €? 15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    15,00 €
  2. ●40
    Ein Wasserhahn füllt in 5 Minuten 60 Liter in die Wanne. Wie viel Liter sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenLiter
    2. 5 Minuten→60 Liter
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Minute→60 Liter : 5 = 12 Liter
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→12 Liter · 6 = 72 Liter
    Ergebnis:
    72 Liter

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 2 von 4 Bonbons rot, in Tüte B 2 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe2 von 8
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 24 = 12
  2. Tüte B: 28 = 14
  3. Gleicher Nenner 8: 48 und 28
  4. 48 ist mehr: Tüte A.
  1. Tüte A: 24 = 12
  2. Tüte B: 28 = 14
  3. Gleicher Nenner 8: 48 und 28
  4. 48 ist mehr: Tüte A.
Ergebnis:
Tüte A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 2 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 11 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 10zweite Gruppe11 von 20
    So fängst du an:
    Klasse A: 210 = 15
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 210 = 15
    2. Klasse B: 1120
    3. Gleicher Nenner 20: 420 und 1120
    4. 1120 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 7 von 8 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 5 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe7 von 8zweite Gruppe5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 78
    2. Klasse B: 510 = 12
    3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 2040
    4. 3540 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 4 von 18 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 15 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe4 von 18zweite Gruppe4 von 15
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 418 = 29
    2. Klasse B: 415
    3. Gleicher Nenner 90: 2090 und 2490
    4. 2490 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für ein helles Grün mischt Pia 3 Becher gelbe Farbe mit 9 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 9
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 3
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 3
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 9
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 3
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 3
Ergebnis:
1 : 3

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Mörtel nimmt der Maurer 2 Schaufeln Zement und 10 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    So fängst du an:
    Zuerst Zement, dann Sand: 2 : 10
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 2 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 5
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 1 : 5
    Ergebnis:
    1 : 5
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 6 Becher gelbe Farbe mit 8 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 6 : 8
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 4
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 4
    Ergebnis:
    3 : 4
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 4 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Wasser zu Saft mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Saft: 12 : 4
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 3 : 1
    3. Verhältnis Wasser zu Saft: 3 : 1
    Ergebnis:
    3 : 1

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Gelb und Blau werden im Verhältnis 1 : 4 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
Schritt für Schritt
  1. 1 : 4 heißt: 1 Teile Gelb, 4 Teile Blau.
  2. Zusammen: 1 + 4 = 5 Teile
  3. Gelb: 1 von 5 Teilen, also 15
  1. 1 : 4 heißt: 1 Teile Gelb, 4 Teile Blau.
  2. Zusammen: 1 + 4 = 5 Teile
  3. Gelb: 1 von 5 Teilen, also 15
Ergebnis:
15

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    So fängst du an:
    3 : 7 heißt: 3 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7 heißt: 3 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
    2. Zusammen: 3 + 7 = 10 Teile
    3. Gelb: 3 von 10 Teilen, also 310
    Ergebnis:
    310
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 45 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 5 = 9 Teile.
    3. Saft: 4 von 9 Teilen, also 49
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 49
  3. ★9
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 47 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
    3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 411

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Mörtel steht im Rezept: 3 Eimer Zement und 2 Eimer Sand. Lea hat 15 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 5 = 10
  1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 5 = 10
Ergebnis:
10 Eimer

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 300 g Mehl auf 250 ml Milch. Tim nimmt 1200 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    So fängst du an:
    1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 1200 : 300 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 250 · 4 = 1000
    Ergebnis:
    1000 ml
  2. ●11
    Für ein zartes Rosa: 1 Liter weiße Farbe und 4 Liter rote Farbe. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel rote Farbe braucht man?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12 Liter
  3. ★12
    Für ein zartes Rosa nimmt man 4 Liter weiße Farbe auf 1 Liter rote Farbe. Tim nimmt 10 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 10 : 4 = 2,5 – also 2,5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 2,5 = 2,5
    Ergebnis:
    2,5 Liter

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Mia und Can teilen 49 € im Verhältnis 4 : 3. Wie viel bekommt jeder?
MiaCan
Schritt für Schritt
  1. Teile: 4 + 3 = 7
  2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
  3. Mia: 4 · 7 = 28
  4. Can: 3 · 7 = 21
  1. Teile: 4 + 3 = 7
  2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
  3. Mia: 4 · 7 = 28
  4. Can: 3 · 7 = 21
Ergebnis:
Mia 28 €, Can 21 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Mia und Can teilen 21 € im Verhältnis 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 21 : 7 = 3
    3. Mia: 2 · 3 = 6
    4. Can: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    Mia 6 €, Can 15 €
  2. ●14
    15 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 2 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 15 : 3 = 5
    3. Mia: 1 · 5 = 5
    4. Can: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    Mia 5 Murmeln, Can 10 Murmeln
  3. ★15
    Sara und Tim teilen 105 € im Verhältnis 1 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    SaraTim
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 105 : 5 = 21
    3. Sara: 1 · 21 = 21
    4. Tim: 4 · 21 = 84
    Ergebnis:
    Sara 21 €, Tim 84 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 3 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser, Krug B hat 5 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 3 von 8 Teilen sind Saft, also 3/8.
  2. Krug B: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  3. Gleicher Nenner 56: 2156 und 4056
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 3 von 8 Teilen sind Saft, also 3/8.
  2. Krug B: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  3. Gleicher Nenner 56: 2156 und 4056
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 2 Becher rote Farbe und 2 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 2 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 2 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 2/4.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 2 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 2/4.
    2. Eimer B: 2 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 2/6.
    3. Gleicher Nenner 12: 612 und 412
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  2. ●17
    Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 1 Löffel Himbeersirup und 2 Löffel Wasser, Kanne B hat 4 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser.
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 1 von 3 Teilen sind Himbeersirup, also 1/3.
    2. Kanne B: 4 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 4/7.
    3. Gleicher Nenner 21: 721 und 1221
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
    Ergebnis:
    Kanne B
  3. ★18
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 5 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 5 von 8 Teilen sind Saft, also 5/8.
    2. Krug B: 3 von 5 Teilen sind Saft, also 3/5.
    3. Gleicher Nenner 40: 2540 und 2440
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 1 : 5 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 10 Liter Blau?
GelbBlau
Schritt für Schritt
  1. 1 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 1 Liter Gelb.
  2. 10 : 5 = 2
  3. Gelb: 1 · 2 = 2
  1. 1 : 5: auf 5 Liter Blau kommen 1 Liter Gelb.
  2. 10 : 5 = 2
  3. Gelb: 1 · 2 = 2
Ergebnis:
2 Liter

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 18 Liter Blau?
    GelbBlau
    So fängst du an:
    5 : 6: auf 6 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6: auf 6 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    2. 18 : 6 = 3
    3. Gelb: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Liter
  2. ●20
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 4. In der Gruppe sind 20 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 4: auf 4 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 20 : 4 = 5
    3. Jungen: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Jungen
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 6 zu 21 soll dasselbe Verhältnis sein wie 14 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 6 : 21 wird zu 2 : 7
    2. 14 ist 7-mal 2.
    3. Also 7 · 7 = 49
    Ergebnis:
    49

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 24 € ein. Ada hat 5 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 5 : 3
  2. Teile: 5 + 3 = 8
  3. Ein Teil: 24 : 8 = 3
  4. Ada: 5 · 3 = 15
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 5 : 3
  2. Teile: 5 + 3 = 8
  3. Ein Teil: 24 : 8 = 3
  4. Ada: 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 €

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 15 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 2
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 2
    2. Teile: 3 + 2 = 5
    3. Ein Teil: 15 : 5 = 3
    4. Ada: 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 €
  2. ●23
    Beim Schulfest werden 30 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 30 · 0,2 = 6
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 6 : 3 = 2
    4. Saft: 1 · 2 = 2
    Ergebnis:
    2 Liter
  3. ★24
    Beim Schulfest werden 57 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,3 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 57 · 0,3 = 17,1
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 17,1 : 3 = 5,7
    4. Saft: 1 · 5,7 = 5,7
    Ergebnis:
    5,7 Liter

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In Tüte A sind 5 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 1 von 25 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe5 von 10zweite Gruppe1 von 25
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 510 = 12
    2. Tüte B: 125
    3. Gleicher Nenner 50: 2550 und 250
    4. 2550 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 1 von 5 Dosen, Ali 4 von 10. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A1 von 5B4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Tom: 15
    2. Ali: 410 = 25
    3. Gleicher Nenner 10: 210 und 410
    4. 410 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 1
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 1
    Ergebnis:
    5 : 1
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Rot zu Blau an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 2 Perlen, Blau: 4 Perlen
    2. Rot zu Blau: 2 : 4
    3. Durch 2 teilen: 1 : 2
    Ergebnis:
    1 : 2
  5. ●29
    38 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 8 Teilen sind 3 rot.
    2. Blau: 8 − 3 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5
  6. ●30
    Für Orangenschorle nimmt man 3 Becher Saft auf 4 Becher Wasser. Tim nimmt 15 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. 15 : 3 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Becher

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 1 von 10 Bonbons rot, in Tüte B 2 von 8 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe1 von 10zweite Gruppe2 von 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Saftschorle mischt Emil 3 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 2

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    512 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 7

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 1 Becher Saft und 4 Becher Wasser. Lea hat 4 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ein Band von 15 cm wird im Verhältnis 3 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 cm und 6 cm

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Krug A enthält 1 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser, Krug B enthält 4 Gläser Saft auf 1 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Krug B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 6 : 1 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 5 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 Liter

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 63 € ein. Ada hat 4 Stunden gearbeitet, Ben 3 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Klasse A
  3. Klasse B
  4. 1 : 5
  5. 3 : 4
  6. 3 : 1
  7. 310
  8. nein, 49
  9. nein, 411
  10. 1000 ml
  11. 12 Liter
  12. 2,5 Liter
  13. Mia 6 €, Can 15 €
  14. Mia 5 Murmeln, Can 10 Murmeln
  15. Sara 21 €, Tim 84 €
  16. Eimer A
  17. Kanne B
  18. Krug A
  19. 15 Liter
  20. 15 Jungen
  21. 49
  22. 9 €
  23. 2 Liter
  24. 5,7 Liter
  25. Tüte A
  26. ja, Ali
  27. 5 : 1
  28. 1 : 2
  29. 3 : 5
  30. 20 Becher
  31. Tüte B
  32. 3 : 2
  33. 5 : 7
  34. 16 Becher
  35. 9 cm und 6 cm
  36. Krug B
  37. 30 Liter
  38. 36 €
  39. 15,00 €
  40. 72 Liter