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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €?20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 5 · 2,00 € = 10,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €? 10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    Beim Laufen zur Schule zählt das Handy in 5 Minuten 600 Schritte. Wie viele Schritte sind es nach 6 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. MinutenSchritte
    2. 5 Minuten→600 Schritte
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Minute→600 Schritte : 5 = 120 Schritte
    5. ↓ · 6↓ · 6
    6. 6 Minuten→120 Schritte · 6 = 720 Schritte
    Ergebnis:
    720 Schritte

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 8 von 20 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 1 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe8 von 20zweite Gruppe1 von 12
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 820 = 25
  2. Herr Ott: 112
  3. Gleicher Nenner 60: 2460 und 560
  4. 2460 ist mehr: Frau Kaya.
  1. Frau Kaya: 820 = 25
  2. Herr Ott: 112
  3. Gleicher Nenner 60: 2460 und 560
  4. 2460 ist mehr: Frau Kaya.
Ergebnis:
Frau Kaya

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 20 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 3 von 4 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 20zweite Gruppe3 von 4
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 220 = 110
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 220 = 110
    2. Herr Ott: 34
    3. Gleicher Nenner 20: 220 und 1520
    4. 1520 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●2
    In Tüte A sind 7 von 8 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 5 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe7 von 8zweite Gruppe3 von 5
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 78
    2. Tüte B: 35
    3. Gleicher Nenner 40: 3540 und 2440
    4. 3540 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  3. ★3
    In Tüte A sind 8 von 12 Bonbons rot, in Tüte B 15 von 24 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe8 von 12zweite Gruppe15 von 24
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 812 = 23
    2. Tüte B: 1524 = 58
    3. Gleicher Nenner 24: 1624 und 1524
    4. 1624 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für ein helles Grün mischt Pia 3 Becher gelbe Farbe mit 1 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 1
  1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Gelb zu Blau: 3 : 1
Ergebnis:
3 : 1

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für ein helles Grün mischt Pia 5 Becher gelbe Farbe mit 3 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Gelb, dann Blau: 5 : 3
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 5 : 3
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3
  2. ●5
    Für Saftschorle mischt Emil 4 Gläser Saft mit 2 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 4 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 1
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 2 : 1
    Ergebnis:
    2 : 1
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 15 Becher gelbe Farbe mit 9 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 15 : 9
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Gelb und Blau werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 7 heißt: 5 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
  2. Zusammen: 5 + 7 = 12 Teile
  3. Gelb: 5 von 12 Teilen, also 512
  1. 5 : 7 heißt: 5 Teile Gelb, 7 Teile Blau.
  2. Zusammen: 5 + 7 = 12 Teile
  3. Gelb: 5 von 12 Teilen, also 512
Ergebnis:
512

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 6 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 16 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    So fängst du an:
    1 : 6 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 6 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 6 = 7 Teile.
    3. Saft: 1 von 7 Teilen, also 17
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 17
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 3 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    Lösung zeigen
    1. 4 : 3 heißt: 4 Teile Saft, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 4 + 3 = 7 Teile
    3. Wasser: 3 von 7 Teilen, also 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 3 : 2 : 4. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 3 + 2 + 4 = 9
    2. Sand sind 2 von 9 Teilen.
    3. Anteil: 29
    Ergebnis:
    29

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Mörtel steht im Rezept: 5 Eimer Zement und 2 Eimer Sand. Lea hat 20 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. 20 : 5 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 4 = 8
  1. 20 : 5 = 4 – also 4-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 2 · 4 = 8
Ergebnis:
8 Eimer

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 2 Liter weiße Farbe und 3 Liter rote Farbe. Lea hat 4 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    So fängst du an:
    4 : 2 = 2 – also 2-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 4 : 2 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Liter
  2. ●11
    Für ein zartes Rosa nimmt man 1 Liter weiße Farbe auf 6 Liter rote Farbe. Tim nimmt 3 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 3 : 1 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 6 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18 Liter
  3. ★12
    Für ein zartes Rosa: 5 Liter weiße Farbe und 2 Liter rote Farbe. Die Menge soll 2,5-mal so groß werden. Wie viel rote Farbe braucht man?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 2,5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 2,5 = 5
    Ergebnis:
    5 Liter

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

14 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 6 an Sara und Tim verteilt. Wie viele bekommt jeder?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 6 = 7
  2. Ein Teil: 14 : 7 = 2
  3. Sara: 1 · 2 = 2
  4. Tim: 6 · 2 = 12
  1. Teile: 1 + 6 = 7
  2. Ein Teil: 14 : 7 = 2
  3. Sara: 1 · 2 = 2
  4. Tim: 6 · 2 = 12
Ergebnis:
Sara 2 Murmeln, Tim 12 Murmeln

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 56 cm wird im Verhältnis 3 : 4 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 4 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 56 : 7 = 8
    3. erstes Stück: 3 · 8 = 24
    4. zweites Stück: 4 · 8 = 32
    Ergebnis:
    24 cm und 32 cm
  2. ●14
    63 Murmeln werden im Verhältnis 5 : 4 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 4 = 9
    2. Ein Teil: 63 : 9 = 7
    3. Ada: 5 · 7 = 35
    4. Ben: 4 · 7 = 28
    Ergebnis:
    Ada 35 Murmeln, Ben 28 Murmeln
  3. ★15
    120 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 2 an Mia und Can verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 2 = 5
    2. Ein Teil: 120 : 5 = 24
    3. Mia: 3 · 24 = 72
    4. Can: 2 · 24 = 48
    Ergebnis:
    Mia 72 Murmeln, Can 48 Murmeln

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 3 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser, Krug B hat 5 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 3 von 6 Teilen sind Saft, also 3/6.
  2. Krug B: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  3. Gleicher Nenner 42: 2142 und 3042
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 3 von 6 Teilen sind Saft, also 3/6.
  2. Krug B: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  3. Gleicher Nenner 42: 2142 und 3042
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Kanne A: 5 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser. Kanne B: 4 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 5 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 5/8.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 5 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 5/8.
    2. Kanne B: 4 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 4/5.
    3. Gleicher Nenner 40: 2540 und 3240
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
    Ergebnis:
    Kanne B
  2. ●17
    Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 4 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser, Kanne B hat 5 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser.
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 4 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 4/5.
    2. Kanne B: 5 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 5/8.
    3. Gleicher Nenner 40: 3240 und 2540
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A
  3. ★18
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 4 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 4 von 9 Teilen sind Saft, also 4/9.
    2. Krug B: 3 von 8 Teilen sind Saft, also 3/8.
    3. Gleicher Nenner 72: 3272 und 2772
    4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
    Ergebnis:
    Krug A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 4. In der Gruppe sind 8 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 3 : 4: auf 4 Mädchen kommen 3 Jungen.
  2. 8 : 4 = 2
  3. Jungen: 3 · 2 = 6
  1. 3 : 4: auf 4 Mädchen kommen 3 Jungen.
  2. 8 : 4 = 2
  3. Jungen: 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Jungen

AchtungPlus statt mal

So nicht
Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___ → 8
So richtig
Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___ → 15

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 3 : 2 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 12 Liter Blau?
    GelbBlau
    So fängst du an:
    3 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
    2. 12 : 2 = 6
    3. Gelb: 3 · 6 = 18
    Ergebnis:
    18 Liter
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 3 zu 9 soll dasselbe Verhältnis sein wie 5 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 3 : 9 wird zu 1 : 3
    2. 5 ist 5-mal 1.
    3. Also 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 4. In der Gruppe sind 32 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4: auf 4 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 32 : 4 = 8
    3. Jungen: 5 · 8 = 40
    Ergebnis:
    40 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 25 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 4. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 25 · 0,2 = 5
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 5 : 5 = 1
  4. Saft: 1 · 1 = 1
  1. Schorle: 25 · 0,2 = 5
  2. Teile: 1 + 4 = 5
  3. Ein Teil: 5 : 5 = 1
  4. Saft: 1 · 1 = 1
Ergebnis:
1 Liter

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 15 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 2,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 15 : 5 = 3 Eimer
    3. Zement: 1 · 3 = 3 Eimer
    4. 3 · 2,5 = 7,5
    Ergebnis:
    7,50 €
  2. ●23
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 21 € ein. Ada hat 2 Stunden gearbeitet, Ben 5 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 2 : 5
    2. Teile: 2 + 5 = 7
    3. Ein Teil: 21 : 7 = 3
    4. Ada: 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6 €
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 3 : 2. Sie braucht 10 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 1,5 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 2 = 5
    2. Ein Teil: 10 : 5 = 2 Liter
    3. Blau: 3 · 2 = 6 Liter
    4. 6 : 1,5 = 4
    Ergebnis:
    4 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe10 von 25zweite Gruppe4 von 5
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 1025 = 25
    2. Klasse B: 45
    3. Gleicher Nenner 25: 1025 und 2025
    4. 2025 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●26
    Team A trifft 9-mal bei 10 Würfen, Team B 11-mal bei 25 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A9 von 10Team B11 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team A: 910
    2. Team B: 1125
    3. Gleicher Nenner 50: 4550 und 2250
    4. 4550 ist mehr: Team A.
    5. Ben hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Team A
  3. ●27
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 10 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 5
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 2 : 5
    Ergebnis:
    2 : 5
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Rot zu Blau an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 4 Perlen
    2. Rot zu Blau: 3 : 4
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    3 : 4
  5. ●29
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 1 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    Lösung zeigen
    1. 1 : 3 heißt: 1 Teile Sirup, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 1 + 3 = 4 Teile
    3. Sirup: 1 von 4 Teilen, also 14
    Ergebnis:
    14
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 6 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Lea hat 24 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 24 : 6 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    Im Beet von Frau Kaya sind 7 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 4 von 8 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe7 von 12zweite Gruppe4 von 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Frau Kaya

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Saftschorle mischt Emil 4 Gläser Saft mit 5 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 : 5

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 3 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 37 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, 310

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Mörtel: 3 Eimer Zement und 4 Eimer Sand. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Eimer

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Lea und Max teilen 42 € im Verhältnis 3 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    LeaMax
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lea 18 €, Max 24 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Vergleiche die Anteile: Kanne A hat 1 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser, Kanne B hat 5 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser.
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 2 : 5. In der Gruppe sind 20 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 18 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Herr Ott
  2. Tüte A
  3. Tüte A
  4. 5 : 3
  5. 2 : 1
  6. 5 : 3
  7. nein, 17
  8. 37
  9. 29
  10. 6 Liter
  11. 18 Liter
  12. 5 Liter
  13. 24 cm und 32 cm
  14. Ada 35 Murmeln, Ben 28 Murmeln
  15. Mia 72 Murmeln, Can 48 Murmeln
  16. Kanne B
  17. Kanne A
  18. Krug A
  19. 18 Liter
  20. 15
  21. 40 Jungen
  22. 7,50 €
  23. 6 €
  24. 4 Dosen
  25. Klasse B
  26. nein, Team A
  27. 2 : 5
  28. 3 : 4
  29. 14
  30. 20 Liter
  31. Frau Kaya
  32. 4 : 5
  33. nein, 310
  34. 16 Eimer
  35. Lea 18 €, Max 24 €
  36. Kanne B
  37. 8 Jungen
  38. 12,00 €
  39. 10,00 €
  40. 720 Schritte