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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €?10,00 €20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    4,00 €
  2. ●40
    Am Pausenkiosk kosten 2 belegte Brötchen zusammen 3,00 €. Wie viele Brötchen bekommst du für 15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Brötchen€
    2. 2 belegte Brötchen→3,00 €
    3. ↓ : 2↓ : 2
    4. 1 belegtes Brötchen→3,00 € : 2 = 1,50 €
    5. ↓ · 10↓ · 1015,00 € : 1,50 € = 10
    6. 10 belegte Brötchen→15,00 €
    Ergebnis:
    10 belegte Brötchen

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 6 von 8 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 2 von 5 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe6 von 8zweite Gruppe2 von 5
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 68 = 34
  2. Herr Ott: 25
  3. Gleicher Nenner 40: 3040 und 1640
  4. 3040 ist mehr: Frau Kaya.
  1. Frau Kaya: 68 = 34
  2. Herr Ott: 25
  3. Gleicher Nenner 40: 3040 und 1640
  4. 3040 ist mehr: Frau Kaya.
Ergebnis:
Frau Kaya

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 5 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 6 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe6 von 10
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 25
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 25
    2. Herr Ott: 610 = 35
    3. Gleicher Nenner 10: 410 und 610
    4. 610 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 3 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 3 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe3 von 12
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 35
    2. Klasse B: 312 = 14
    3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 1560
    4. 3660 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    In Tüte A sind 2 von 12 Bonbons rot, in Tüte B 2 von 15 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe2 von 12zweite Gruppe2 von 15
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 212 = 16
    2. Tüte B: 215
    3. Gleicher Nenner 60: 1060 und 860
    4. 1060 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Himbeerlimonade rührt Can 4 Löffel Sirup in 1 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Sirup zu Wasser so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 4 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 4 : 1
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 4 : 1
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 4 : 1
Ergebnis:
4 : 1

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für ein helles Grün mischt Pia 10 Becher gelbe Farbe mit 4 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Gelb, dann Blau: 10 : 4
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 10 : 4
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 2
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 5 : 2
    Ergebnis:
    5 : 2
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 1 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 4 : 1
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 4 : 1
    Ergebnis:
    4 : 1
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 4 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Wasser zu Saft? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Saft: 4 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 5
    3. Verhältnis Wasser zu Saft: 2 : 5
    Ergebnis:
    2 : 5

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

13 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
Schritt für Schritt
  1. Von 3 Teilen sind 1 rot.
  2. Blau: 3 − 1 = 2 Teile
  3. Rot zu Blau: 1 : 2
  1. Von 3 Teilen sind 1 rot.
  2. Blau: 3 − 1 = 2 Teile
  3. Rot zu Blau: 1 : 2
Ergebnis:
1 : 2

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 47 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    So fängst du an:
    4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
    3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 411
  2. ●8
    16 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 6 Teilen sind 1 rot.
    2. Blau: 6 − 1 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 1 : 5
    Ergebnis:
    1 : 5
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 1 : 5. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 2 + 1 + 5 = 8
    2. Sand sind 1 von 8 Teilen.
    3. Anteil: 18
    Ergebnis:
    18

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Mörtel: 5 Eimer Zement und 4 Eimer Sand. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 4
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 4 · 4 = 16
  1. Faktor: 4
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16 Eimer

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Orangenschorle: 6 Becher Saft und 1 Becher Wasser. Die Menge soll 2-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Faktor: 2
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 2
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 2 = 2
    Ergebnis:
    2 Becher
  2. ●11
    Für Mörtel nimmt man 4 Eimer Zement auf 5 Eimer Sand. Tim nimmt 12 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 12 : 4 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Eimer
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig: 400 g Mehl und 100 ml Milch. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Lea und Max teilen 36 € im Verhältnis 3 : 1. Wie viel bekommt jeder?
LeaMax
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 36 : 4 = 9
  3. Lea: 3 · 9 = 27
  4. Max: 1 · 9 = 9
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 36 : 4 = 9
  3. Lea: 3 · 9 = 27
  4. Max: 1 · 9 = 9
Ergebnis:
Lea 27 €, Max 9 €

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    12 Murmeln werden im Verhältnis 1 : 5 an Lea und Max verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 5 = 6
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 5 = 6
    2. Ein Teil: 12 : 6 = 2
    3. Lea: 1 · 2 = 2
    4. Max: 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    Lea 2 Murmeln, Max 10 Murmeln
  2. ●14
    Mia und Can teilen 45 € im Verhältnis 4 : 1. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 = 5
    2. Ein Teil: 45 : 5 = 9
    3. Mia: 4 · 9 = 36
    4. Can: 1 · 9 = 9
    Ergebnis:
    Mia 36 €, Can 9 €
  3. ★15
    Drei Freunde teilen 24 € Gewinn aus dem Flohmarkt im Verhältnis 2 : 1 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil3. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 1 + 3 = 6
    2. Ein Teil: 24 : 6 = 4
    3. 2 · 4 = 8, 1 · 4 = 4, 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    8 €, 4 €, 12 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Krug A enthält 2 Gläser Saft auf 5 Gläser Wasser, Krug B enthält 3 Gläser Saft auf 1 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Oder sind beide gleich?
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 2 von 7 Teilen sind Saft, also 2/7.
  2. Krug B: 3 von 4 Teilen sind Saft, also 3/4.
  3. Gleicher Nenner 28: 828 und 2128
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
  1. Krug A: 2 von 7 Teilen sind Saft, also 2/7.
  2. Krug B: 3 von 4 Teilen sind Saft, also 3/4.
  3. Gleicher Nenner 28: 828 und 2128
  4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
Ergebnis:
Krug B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 5 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 3 Becher rote Farbe auf 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
    2. Eimer B: 3 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 3/7.
    3. Gleicher Nenner 56: 3556 und 2456
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  2. ●17
    Eimer A: 2 Becher rote Farbe und 6 Becher weiße Farbe. Eimer B: 5 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 2 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 2/8.
    2. Eimer B: 5 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 5/6.
    3. Gleicher Nenner 24: 624 und 2024
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Kanne A: 3 Löffel Himbeersirup und 4 Löffel Wasser. Kanne B: 1 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 3 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 3/7.
    2. Kanne B: 1 von 2 Teilen sind Himbeersirup, also 1/2.
    3. Gleicher Nenner 14: 614 und 714
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
    Ergebnis:
    Kanne B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 12 zu 4 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___.
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: 12 : 4 wird zu 3 : 1
  2. 9 ist 3-mal 3.
  3. Also 1 · 3 = 3
  1. Kürzen: 12 : 4 wird zu 3 : 1
  2. 9 ist 3-mal 3.
  3. Also 1 · 3 = 3
Ergebnis:
3

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
Welche Zahl fehlt? 12 zu 4 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___ → 48
So richtig
Welche Zahl fehlt? 12 zu 4 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___ → 3

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 6 Liter Blau?
    GelbBlau
    So fängst du an:
    5 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    2. 6 : 2 = 3
    3. Gelb: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Liter
  2. ●20
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 3 : 1 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 4 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    1. 3 : 1: auf 1 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
    2. 4 : 1 = 4
    3. Gelb: 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Liter
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 3. In der Gruppe sind 18 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3: auf 3 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 18 : 3 = 6
    3. Jungen: 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    30 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 20 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 2
  2. Teile: 3 + 2 = 5
  3. Ein Teil: 20 : 5 = 4
  4. Ada: 3 · 4 = 12
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 2
  2. Teile: 3 + 2 = 5
  3. Ein Teil: 20 : 5 = 4
  4. Ada: 3 · 4 = 12
Ergebnis:
12 €

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 56 € ein. Ada hat 5 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    So fängst du an:
    Verhältnis Ada zu Ben: 5 : 2
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis Ada zu Ben: 5 : 2
    2. Teile: 5 + 2 = 7
    3. Ein Teil: 56 : 7 = 8
    4. Ada: 5 · 8 = 40
    Ergebnis:
    40 €
  2. ●23
    Beim Schulfest werden 60 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 60 · 0,2 = 12
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 12 : 3 = 4
    4. Saft: 1 · 4 = 4
    Ergebnis:
    4 Liter
  3. ★24
    Für eine Gartenmauer braucht man 25 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 3 = 5
    2. Ein Teil: 25 : 5 = 5 Eimer
    3. Zement: 2 · 5 = 10 Eimer
    4. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 4 von 12 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 12 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe4 von 12zweite Gruppe12 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 412 = 13
    2. Klasse B: 1220 = 35
    3. Gleicher Nenner 60: 2060 und 3660
    4. 3660 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●26
    Team A trifft 2-mal bei 10 Würfen, Team B 7-mal bei 12 Würfen. Ben sagt: „Team B ist besser, es hat mehr Treffer.“ Stimmt das? Vergleiche die Anteile.
    Team A2 von 10Team B7 von 12
    Lösung zeigen
    1. Team A: 210 = 15
    2. Team B: 712
    3. Gleicher Nenner 60: 1260 und 3560
    4. 3560 ist mehr: Team B.
    5. Ben hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Team B
  3. ●27
    Für Himbeerlimonade rührt Can 15 Löffel Sirup in 9 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Sirup zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 15 : 9
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 5 : 3
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 5 : 3
    Ergebnis:
    5 : 3
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Blau zu Rot an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 6 Perlen, Blau: 2 Perlen
    2. Blau zu Rot: 2 : 6
    3. Durch 2 teilen: 1 : 3
    Ergebnis:
    1 : 3
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 4 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4 heißt: 5 Teile Saft, 4 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 4 = 9 Teile
    3. Wasser: 4 von 9 Teilen, also 49
    Ergebnis:
    49
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 1 Liter weiße Farbe und 4 Liter rote Farbe. Lea hat 3 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 3 : 1 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In der Klasse A kommen 9 von 12 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 2 von 4 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe9 von 12zweite Gruppe2 von 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 4 Becher gelbe Farbe mit 10 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 : 5

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    14 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 3

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 4 Becher Saft und 1 Becher Wasser. Lea hat 12 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ada und Ben teilen 12 € im Verhältnis 2 : 1. Wie viel bekommt jeder?
    AdaBen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ada 8 €, Ben 4 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Eimer A: 5 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 3 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer A

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 8 soll dasselbe Verhältnis sein wie 6 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Herr Ott
  2. Klasse A
  3. Tüte A
  4. 5 : 2
  5. 4 : 1
  6. 2 : 5
  7. nein, 411
  8. 1 : 5
  9. 18
  10. 2 Becher
  11. 15 Eimer
  12. 500 ml
  13. Lea 2 Murmeln, Max 10 Murmeln
  14. Mia 36 €, Can 9 €
  15. 8 €, 4 €, 12 €
  16. Eimer A
  17. Eimer B
  18. Kanne B
  19. 15 Liter
  20. 12 Liter
  21. 30 Jungen
  22. 40 €
  23. 4 Liter
  24. 30,00 €
  25. Klasse B
  26. ja, Team B
  27. 5 : 3
  28. 1 : 3
  29. 49
  30. 12 Liter
  31. Klasse A
  32. 2 : 5
  33. 1 : 3
  34. 3 Becher
  35. Ada 8 €, Ben 4 €
  36. Eimer A
  37. 12
  38. 63,00 €
  39. 4,00 €
  40. 10 belegte Brötchen