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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €?20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 5 · 2,00 € = 10,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €? 10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    In 5 Minuten lädt ein Handyakku 5 % auf. Wie viel Prozent sind es nach 10 Minuten?
    Lösung zeigen
    1. Minuten%
    2. 5 Minuten→5 %
    3. ↓ : 5↓ : 5
    4. 1 Minute→5 % : 5 = 1 %
    5. ↓ · 10↓ · 10
    6. 10 Minuten→1 % · 10 = 10 %
    Ergebnis:
    10 %

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

Im Beet von Frau Kaya sind 8 von 10 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 12 von 25 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
erste Gruppe8 von 10zweite Gruppe12 von 25
Schritt für Schritt
  1. Frau Kaya: 810 = 45
  2. Herr Ott: 1225
  3. Gleicher Nenner 50: 4050 und 2450
  4. 4050 ist mehr: Frau Kaya.
  1. Frau Kaya: 810 = 45
  2. Herr Ott: 1225
  3. Gleicher Nenner 50: 4050 und 2450
  4. 4050 ist mehr: Frau Kaya.
Ergebnis:
Frau Kaya

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 1 von 5 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 9 von 10 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe1 von 5zweite Gruppe9 von 10
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 15
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 15
    2. Herr Ott: 910
    3. Gleicher Nenner 10: 210 und 910
    4. 910 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 3 von 4 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 6 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 4zweite Gruppe6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 34
    2. Klasse B: 610 = 35
    3. Gleicher Nenner 20: 1520 und 1220
    4. 1520 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    Im Beet von Frau Kaya sind 8 von 12 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 19 von 28 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe8 von 12zweite Gruppe19 von 28
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 812 = 23
    2. Herr Ott: 1928
    3. Gleicher Nenner 84: 5684 und 5784
    4. 5784 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Saftschorle mischt Emil 1 Gläser Saft mit 3 Gläsern Wasser. Wie lautet das Verhältnis Saft zu Wasser? Kürze, wenn es geht.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 1 : 3
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 3
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 1 : 3
  2. Kürzen geht nicht.
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 3
Ergebnis:
1 : 3

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Mörtel nimmt der Maurer 10 Schaufeln Zement und 12 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Zement, dann Sand: 10 : 12
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 10 : 12
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 6
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 6
    Ergebnis:
    5 : 6
  2. ●5
    Für Mörtel nimmt der Maurer 5 Schaufeln Zement und 6 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 5 : 6
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 5 : 6
    Ergebnis:
    5 : 6
  3. ★6
    Für Himbeerlimonade rührt Can 20 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Wie lautet das Verhältnis Wasser zu Sirup? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Sirup: 12 : 20
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 3 : 5
    3. Verhältnis Wasser zu Sirup: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Saft?
Schritt für Schritt
  1. 2 : 7 heißt: 2 Teile Saft, 7 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 2 + 7 = 9 Teile
  3. Saft: 2 von 9 Teilen, also 29
  1. 2 : 7 heißt: 2 Teile Saft, 7 Teile Wasser.
  2. Zusammen: 2 + 7 = 9 Teile
  3. Saft: 2 von 9 Teilen, also 29
Ergebnis:
29

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    38 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    So fängst du an:
    Von 8 Teilen sind 3 rot.
    Lösung zeigen
    1. Von 8 Teilen sind 3 rot.
    2. Blau: 8 − 3 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 12 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 2 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 2 = 3 Teile.
    3. Saft: 1 von 3 Teilen, also 13
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 13
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 2 : 4 : 3. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 2 + 4 + 3 = 9
    2. Sand sind 4 von 9 Teilen.
    3. Anteil: 49
    Ergebnis:
    49

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig nimmt man 250 g Mehl auf 200 ml Milch. Tim nimmt 500 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. 500 : 250 = 2 – also 2-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 200 · 2 = 400
  1. 500 : 250 = 2 – also 2-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 200 · 2 = 400
Ergebnis:
400 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 3 Becher Saft und 1 Becher Wasser. Lea hat 12 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    12 : 3 = 4 – also 4-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 12 : 3 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 4 = 4
    Ergebnis:
    4 Becher
  2. ●11
    Für Orangenschorle steht im Rezept: 1 Becher Saft und 4 Becher Wasser. Lea hat 5 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. 5 : 1 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Becher
  3. ★12
    Für ein zartes Rosa: 1 Liter weiße Farbe und 3 Liter rote Farbe. Die Menge soll 2,5-mal so groß werden. Wie viel rote Farbe braucht man?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 2,5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 2,5 = 7,5
    Ergebnis:
    7,5 Liter

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 8 cm wird im Verhältnis 3 : 1 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 8 : 4 = 2
  3. erstes Stück: 3 · 2 = 6
  4. zweites Stück: 1 · 2 = 2
  1. Teile: 3 + 1 = 4
  2. Ein Teil: 8 : 4 = 2
  3. erstes Stück: 3 · 2 = 6
  4. zweites Stück: 1 · 2 = 2
Ergebnis:
6 cm und 2 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ein Band von 48 cm wird im Verhältnis 1 : 3 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 48 : 4 = 12
    3. erstes Stück: 1 · 12 = 12
    4. zweites Stück: 3 · 12 = 36
    Ergebnis:
    12 cm und 36 cm
  2. ●14
    Ein Band von 72 cm wird im Verhältnis 5 : 3 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 3 = 8
    2. Ein Teil: 72 : 8 = 9
    3. erstes Stück: 5 · 9 = 45
    4. zweites Stück: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    45 cm und 27 cm
  3. ★15
    Ein Band von 45 cm wird im Verhältnis 4 : 1 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 = 5
    2. Ein Teil: 45 : 5 = 9
    3. erstes Stück: 4 · 9 = 36
    4. zweites Stück: 1 · 9 = 9
    Ergebnis:
    36 cm und 9 cm

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Eimer A enthält 2 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 2 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 2 von 3 Teilen sind rote Farbe, also 2/3.
  2. Eimer B: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
  3. Gleicher Nenner 15: 1015 und 615
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
  1. Eimer A: 2 von 3 Teilen sind rote Farbe, also 2/3.
  2. Eimer B: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
  3. Gleicher Nenner 15: 1015 und 615
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
Ergebnis:
Eimer A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 2 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 2 Becher rote Farbe auf 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 2 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 2/5.
    2. Eimer B: 2 von 3 Teilen sind rote Farbe, also 2/3.
    3. Gleicher Nenner 15: 615 und 1015
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  2. ●17
    Eimer A: 3 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 1 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 3 von 6 Teilen sind rote Farbe, also 3/6.
    2. Eimer B: 1 von 5 Teilen sind rote Farbe, also 1/5.
    3. Gleicher Nenner 30: 1530 und 630
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A
  3. ★18
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 4 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 2 Becher rote Farbe und 2 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
    2. Eimer B: 2 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 2/4.
    3. Gleicher Nenner 28: 1628 und 1428
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer A.
    Ergebnis:
    Eimer A

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 24 zu 20 soll dasselbe Verhältnis sein wie 30 zu ___.
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: 24 : 20 wird zu 6 : 5
  2. 30 ist 5-mal 6.
  3. Also 5 · 5 = 25
  1. Kürzen: 24 : 20 wird zu 6 : 5
  2. 30 ist 5-mal 6.
  3. Also 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 12 zu 28 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 12 : 28 wird zu 3 : 7
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 12 : 28 wird zu 3 : 7
    2. 9 ist 3-mal 3.
    3. Also 7 · 3 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 15 zu 18 soll dasselbe Verhältnis sein wie 25 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 15 : 18 wird zu 5 : 6
    2. 25 ist 5-mal 5.
    3. Also 6 · 5 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 2. In der Gruppe sind 10 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2: auf 2 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 10 : 2 = 5
    3. Jungen: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Beim Schulfest werden 26 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,3 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 2 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Schorle: 26 · 0,3 = 7,8
  2. Teile: 2 + 3 = 5
  3. Ein Teil: 7,8 : 5 = 1,56
  4. Saft: 2 · 1,56 = 3,12
  1. Schorle: 26 · 0,3 = 7,8
  2. Teile: 2 + 3 = 5
  3. Ein Teil: 7,8 : 5 = 1,56
  4. Saft: 2 · 1,56 = 3,12
Ergebnis:
3,12 Liter

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht
3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €
So richtig
3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 16 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 2,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 3 = 4
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 16 : 4 = 4 Eimer
    3. Zement: 1 · 4 = 4 Eimer
    4. 4 · 2,5 = 10
    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●23
    Beim Schulfest werden 60 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,2 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 60 · 0,2 = 12
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 12 : 3 = 4
    4. Saft: 1 · 4 = 4
    Ergebnis:
    4 Liter
  3. ★24
    Für eine Gartenmauer braucht man 24 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 24 : 4 = 6 Eimer
    3. Zement: 1 · 6 = 6 Eimer
    4. 6 · 3 = 18
    Ergebnis:
    18,00 €

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In Tüte A sind 12 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 5 von 10 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe12 von 20zweite Gruppe5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 1220 = 35
    2. Tüte B: 510 = 12
    3. Gleicher Nenner 20: 1220 und 1020
    4. 1220 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 2 von 5 Dosen, Ali 7 von 8. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A2 von 5B7 von 8
    Lösung zeigen
    1. Tom: 25
    2. Ali: 78
    3. Gleicher Nenner 40: 1640 und 3540
    4. 3540 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für Saftschorle mischt Emil 3 Gläser Saft mit 18 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Saft, dann Wasser: 3 : 18
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 6
    3. Verhältnis Saft zu Wasser: 1 : 6
    Ergebnis:
    1 : 6
  4. ●28
    Im Bild siehst du rote und blaue Perlen. Gib das Verhältnis Rot zu Blau an und kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 1 Perle, Blau: 3 Perlen
    2. Rot zu Blau: 1 : 3
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    1 : 3
  5. ●29
    16 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    1. Von 6 Teilen sind 1 rot.
    2. Blau: 6 − 1 = 5 Teile
    3. Rot zu Blau: 1 : 5
    Ergebnis:
    1 : 5
  6. ●30
    Für Mörtel nimmt man 2 Eimer Zement auf 5 Eimer Sand. Tim nimmt 8 Eimer Zement. Wie viel Sand braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 8 : 2 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Eimer

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In der Klasse A kommen 3 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe4 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 9 Becher gelbe Farbe mit 12 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 4

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 45 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, 49

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle nimmt man 2 Becher Saft auf 1 Becher Wasser. Tim nimmt 8 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    21 Murmeln werden im Verhältnis 2 : 5 an Ina und Ole verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ina 6 Murmeln, Ole 15 Murmeln

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Kanne A: 1 Löffel Himbeersirup und 4 Löffel Wasser. Kanne B: 4 Löffel Himbeersirup und 1 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Kanne B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 6 : 1 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 6 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Liter

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 24 € ein. Ada hat 1 Stunden gearbeitet, Ben 2 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Herr Ott
  2. Klasse A
  3. Herr Ott
  4. 5 : 6
  5. 5 : 6
  6. 3 : 5
  7. 3 : 5
  8. nein, 13
  9. 49
  10. 4 Becher
  11. 20 Becher
  12. 7,5 Liter
  13. 12 cm und 36 cm
  14. 45 cm und 27 cm
  15. 36 cm und 9 cm
  16. Eimer B
  17. Eimer A
  18. Eimer A
  19. 21
  20. 30
  21. 25 Jungen
  22. 10,00 €
  23. 4 Liter
  24. 18,00 €
  25. Tüte A
  26. ja, Ali
  27. 1 : 6
  28. 1 : 3
  29. 1 : 5
  30. 20 Eimer
  31. Klasse A
  32. 3 : 4
  33. nein, 49
  34. 4 Becher
  35. Ina 6 Murmeln, Ole 15 Murmeln
  36. Kanne B
  37. 36 Liter
  38. 8 €
  39. 10,00 €
  40. 10 %