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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis4,00 €?20,00 €40,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
    2. Lücke: 2 · 4,00 € = 8,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis4,00 €? 8,00 €20,00 €40,00 €
      y : x4444

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 2 · 4,00 €.

    Ergebnis:
    8,00 €
  2. ●40
    3 kg Äpfel kosten 3,60 €. Wie viel Äpfel bekommst du für 7,20 €?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 3 kg Äpfel→3,60 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 kg Äpfel→3,60 € : 3 = 1,20 €
    5. ↓ · 6↓ · 67,20 € : 1,20 € = 6
    6. 6 kg Äpfel→7,20 €
    Ergebnis:
    6 kg Äpfel

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In Tüte A sind 3 von 5 Bonbons rot, in Tüte B 4 von 12 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe4 von 12
Schritt für Schritt
  1. Tüte A: 35
  2. Tüte B: 412 = 13
  3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 2060
  4. 3660 ist mehr: Tüte A.
  1. Tüte A: 35
  2. Tüte B: 412 = 13
  3. Gleicher Nenner 60: 3660 und 2060
  4. 3660 ist mehr: Tüte A.
Ergebnis:
Tüte A

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Im Beet von Frau Kaya sind 2 von 5 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 5 von 8 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe2 von 5zweite Gruppe5 von 8
    So fängst du an:
    Frau Kaya: 25
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 25
    2. Herr Ott: 58
    3. Gleicher Nenner 40: 1640 und 2540
    4. 2540 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 2 von 4 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 3 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe2 von 4zweite Gruppe3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 24 = 12
    2. Klasse B: 310
    3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 620
    4. 1020 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    In der Klasse A kommen 7 von 12 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 15 von 24 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe7 von 12zweite Gruppe15 von 24
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 712
    2. Klasse B: 1524 = 58
    3. Gleicher Nenner 24: 1424 und 1524
    4. 1524 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Mörtel nimmt der Maurer 4 Schaufeln Zement und 10 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 4 : 10
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 5
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 2 : 5
  1. Zuerst Zement, dann Sand: 4 : 10
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 2 : 5
  3. Verhältnis Zement zu Sand: 2 : 5
Ergebnis:
2 : 5

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 10 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    So fängst du an:
    Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 10
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 10
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 5
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5
  2. ●5
    Für ein helles Grün mischt Pia 3 Becher gelbe Farbe mit 18 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 18
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 6
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 6
    Ergebnis:
    1 : 6
  3. ★6
    Für Saftschorle mischt Emil 8 Gläser Saft mit 12 Gläsern Wasser. Schreibe das Verhältnis Wasser zu Saft mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Wasser, dann Saft: 12 : 8
    2. Beide Zahlen durch 4 teilen: 3 : 2
    3. Verhältnis Wasser zu Saft: 3 : 2
    Ergebnis:
    3 : 2

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 47 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
Schritt für Schritt
  1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
  3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
  4. Ali hat nicht recht.
  1. 4 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
  2. Die ganze Schorle hat 4 + 7 = 11 Teile.
  3. Saft: 4 von 11 Teilen, also 411
  4. Ali hat nicht recht.
Ergebnis:
nein, 411

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 4 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    So fängst du an:
    5 : 4 heißt: 5 Teile Saft, 4 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4 heißt: 5 Teile Saft, 4 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 4 = 9 Teile
    3. Wasser: 4 von 9 Teilen, also 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 57 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 5 + 7 = 12 Teile.
    3. Saft: 5 von 12 Teilen, also 512
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 512
  3. ★9
    Gelb und Blau werden im Verhältnis 5 : 4 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4 heißt: 5 Teile Gelb, 4 Teile Blau.
    2. Zusammen: 5 + 4 = 9 Teile
    3. Gelb: 5 von 9 Teilen, also 59
    Ergebnis:
    59

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Orangenschorle steht im Rezept: 1 Becher Saft und 3 Becher Wasser. Lea hat 3 Becher Saft. Wie viel Wasser muss dazu?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. 3 : 1 = 3 – also 3-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 3 · 3 = 9
  1. 3 : 1 = 3 – also 3-mal so viel
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Becher

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für ein zartes Rosa nimmt man 5 Liter weiße Farbe auf 6 Liter rote Farbe. Tim nimmt 10 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    So fängst du an:
    10 : 5 = 2 – also 2-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 10 : 5 = 2 – also 2-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Liter
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 150 g Mehl auf 600 ml Milch. Tim nimmt 450 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 450 : 150 = 3 – also 3-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 600 · 3 = 1800
    Ergebnis:
    1800 ml
  3. ★12
    Für Orangenschorle nimmt man 12 Becher Saft auf 4 Becher Wasser. Tim macht weniger und nimmt nur 3 Becher Saft. Wie viel Wasser braucht er?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 12 : 4 wird zu 3 : 1
    2. 3 : 3 = 1
    3. 1 · 1 = 1
    Ergebnis:
    1 Becher

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 55 cm wird im Verhältnis 3 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 2 = 5
  2. Ein Teil: 55 : 5 = 11
  3. erstes Stück: 3 · 11 = 33
  4. zweites Stück: 2 · 11 = 22
  1. Teile: 3 + 2 = 5
  2. Ein Teil: 55 : 5 = 11
  3. erstes Stück: 3 · 11 = 33
  4. zweites Stück: 2 · 11 = 22
Ergebnis:
33 cm und 22 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Sara und Tim teilen 40 € im Verhältnis 4 : 1. Wie viel bekommt jeder?
    SaraTim
    So fängst du an:
    Teile: 4 + 1 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 = 5
    2. Ein Teil: 40 : 5 = 8
    3. Sara: 4 · 8 = 32
    4. Tim: 1 · 8 = 8
    Ergebnis:
    Sara 32 €, Tim 8 €
  2. ●14
    Ein Band von 24 cm wird im Verhältnis 1 : 2 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 2 = 3
    2. Ein Teil: 24 : 3 = 8
    3. erstes Stück: 1 · 8 = 8
    4. zweites Stück: 2 · 8 = 16
    Ergebnis:
    8 cm und 16 cm
  3. ★15
    Mia und Can teilen 49 € im Verhältnis 2 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 49 : 7 = 7
    3. Mia: 2 · 7 = 14
    4. Can: 5 · 7 = 35
    Ergebnis:
    Mia 14 €, Can 35 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 5 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 4 Gläser Wasser.
Krug AKrug B?
Schritt für Schritt
  1. Krug A: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  2. Krug B: 3 von 7 Teilen sind Saft, also 3/7.
  3. Gleicher Nenner 7: 57 und 37
  4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
  1. Krug A: 5 von 7 Teilen sind Saft, also 5/7.
  2. Krug B: 3 von 7 Teilen sind Saft, also 3/7.
  3. Gleicher Nenner 7: 57 und 37
  4. Der größere Anteil Saft: Krug A.
Ergebnis:
Krug A

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eimer A: 1 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 1 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    So fängst du an:
    Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
    2. Eimer B: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
    3. Gleicher Nenner 4: 14 und 24
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  2. ●17
    Kanne A: 3 Löffel Himbeersirup und 5 Löffel Wasser. Kanne B: 4 Löffel Himbeersirup und 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 3 von 8 Teilen sind Himbeersirup, also 3/8.
    2. Kanne B: 4 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 4/7.
    3. Gleicher Nenner 56: 2156 und 3256
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
    Ergebnis:
    Kanne B
  3. ★18
    Eimer A: 4 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Eimer B: 5 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 4/8.
    2. Eimer B: 5 von 9 Teilen sind rote Farbe, also 5/9.
    3. Gleicher Nenner 72: 3672 und 4072
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 3 : 2 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 8 Liter Blau?
GelbBlau
Schritt für Schritt
  1. 3 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
  2. 8 : 2 = 4
  3. Gelb: 3 · 4 = 12
  1. 3 : 2: auf 2 Liter Blau kommen 3 Liter Gelb.
  2. 8 : 2 = 4
  3. Gelb: 3 · 4 = 12
Ergebnis:
12 Liter

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
Welche Zahl fehlt? 4 zu 24 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 48
So richtig
Welche Zahl fehlt? 4 zu 24 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___ → 12

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 2 : 7. In der Gruppe sind 35 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    So fängst du an:
    2 : 7: auf 7 Mädchen kommen 2 Jungen.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 7: auf 7 Mädchen kommen 2 Jungen.
    2. 35 : 7 = 5
    3. Jungen: 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Jungen
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 4 zu 24 soll dasselbe Verhältnis sein wie 2 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 4 : 24 wird zu 1 : 6
    2. 2 ist 2-mal 1.
    3. Also 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 6. In der Gruppe sind 18 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 5 : 6: auf 6 Mädchen kommen 5 Jungen.
    2. 18 : 6 = 3
    3. Jungen: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Für eine Gartenmauer braucht man 54 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 5. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 54 : 6 = 9 Eimer
  3. Zement: 1 · 9 = 9 Eimer
  4. 9 · 4,5 = 40,5
  1. Teile: 1 + 5 = 6
  2. Ein Teil: 54 : 6 = 9 Eimer
  3. Zement: 1 · 9 = 9 Eimer
  4. 9 · 4,5 = 40,5
Ergebnis:
40,50 €

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht
3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €
So richtig
3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 2,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 35 : 5 = 7 Eimer
    3. Zement: 1 · 7 = 7 Eimer
    4. 7 · 2,5 = 17,5
    Ergebnis:
    17,50 €
  2. ●23
    Für eine Gartenmauer braucht man 36 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 36 : 4 = 9 Eimer
    3. Zement: 1 · 9 = 9 Eimer
    4. 9 · 4,5 = 40,5
    Ergebnis:
    40,50 €
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 1 : 3. Sie braucht 24 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 0,75 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 3 = 4
    2. Ein Teil: 24 : 4 = 6 Liter
    3. Blau: 1 · 6 = 6 Liter
    4. 6 : 0,75 = 8
    Ergebnis:
    8 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 17 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 3 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe17 von 25zweite Gruppe3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 1725
    2. Klasse B: 310
    3. Gleicher Nenner 50: 3450 und 1550
    4. 3450 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●26
    Beim Dosenwerfen trifft Tom 3 von 5 Dosen, Ali 7 von 10. Ali sagt: „Ich war besser, ich habe mehr getroffen.“ Prüfe mit den Anteilen.
    A3 von 5B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Tom: 35
    2. Ali: 710
    3. Gleicher Nenner 10: 610 und 710
    4. 710 ist mehr: Ali.
    5. Ali hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Ali
  3. ●27
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 4 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 6 : 4
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 2
    3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 2
    Ergebnis:
    3 : 2
  4. ●28
    Zähle die Perlen im Bild. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau, so einfach wie möglich geschrieben?
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 1 Perle
    2. Rot zu Blau: 3 : 1
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    3 : 1
  5. ●29
    Zement und Sand werden im Verhältnis 1 : 7 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
    Lösung zeigen
    1. 1 : 7 heißt: 1 Teile Zement, 7 Teile Sand.
    2. Zusammen: 1 + 7 = 8 Teile
    3. Zement: 1 von 8 Teilen, also 18
    Ergebnis:
    18
  6. ●30
    Für Orangenschorle: 5 Becher Saft und 4 Becher Wasser. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 4 · 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Becher

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In der Klasse A kommen 6 von 8 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 11 von 12 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe6 von 8zweite Gruppe11 von 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse B

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für Himbeerlimonade rührt Can 6 Löffel Sirup in 2 Löffel Wasser. Schreibe das Verhältnis Sirup zu Wasser mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 1

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    37 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 4

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Orangenschorle: 4 Becher Saft und 5 Becher Wasser. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Becher

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ada und Ben teilen 42 € im Verhältnis 4 : 3. Wie viel bekommt jeder?
    AdaBen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ada 24 €, Ben 18 €

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange? Vergleiche die Anteile: Krug A hat 2 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser, Krug B hat 3 Gläser Saft und 2 Gläser Wasser.
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Krug B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 24 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Liter

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Beim Schulfest werden 40 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,3 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Liter

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Herr Ott
  2. Klasse A
  3. Klasse B
  4. 3 : 5
  5. 1 : 6
  6. 3 : 2
  7. 49
  8. nein, 512
  9. 59
  10. 12 Liter
  11. 1800 ml
  12. 1 Becher
  13. Sara 32 €, Tim 8 €
  14. 8 cm und 16 cm
  15. Mia 14 €, Can 35 €
  16. Eimer B
  17. Kanne B
  18. Eimer B
  19. 10 Jungen
  20. 12
  21. 15 Jungen
  22. 17,50 €
  23. 40,50 €
  24. 8 Dosen
  25. Klasse A
  26. ja, Ali
  27. 3 : 2
  28. 3 : 1
  29. 18
  30. 20 Becher
  31. Klasse B
  32. 3 : 1
  33. 3 : 4
  34. 15 Becher
  35. Ada 24 €, Ben 18 €
  36. Krug B
  37. 20 Liter
  38. 3 Liter
  39. 8,00 €
  40. 6 kg Äpfel