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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis3,00 €?15,00 €30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis3,00 €? 6,00 €15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 2 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●40
    4 kg Äpfel kosten 9,60 €. Wie viel Äpfel bekommst du für 19,20 €?
    Lösung zeigen
    1. kg Äpfel€
    2. 4 kg Äpfel→9,60 €
    3. ↓ : 4↓ : 4
    4. 1 kg Äpfel→9,60 € : 4 = 2,40 €
    5. ↓ · 8↓ · 819,20 € : 2,40 € = 8
    6. 8 kg Äpfel→19,20 €
    Ergebnis:
    8 kg Äpfel

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In der Klasse A kommen 2 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 9 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
erste Gruppe2 von 25zweite Gruppe9 von 10
Schritt für Schritt
  1. Klasse A: 225
  2. Klasse B: 910
  3. Gleicher Nenner 50: 450 und 4550
  4. 4550 ist mehr: Klasse B.
  1. Klasse A: 225
  2. Klasse B: 910
  3. Gleicher Nenner 50: 450 und 4550
  4. 4550 ist mehr: Klasse B.
Ergebnis:
Klasse B

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In der Klasse A kommen 3 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 9 von 10 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe9 von 10
    So fängst du an:
    Klasse A: 35
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 35
    2. Klasse B: 910
    3. Gleicher Nenner 10: 610 und 910
    4. 910 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●2
    In der Klasse A kommen 9 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 1 von 4 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe9 von 10zweite Gruppe1 von 4
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 910
    2. Klasse B: 14
    3. Gleicher Nenner 20: 1820 und 520
    4. 1820 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  3. ★3
    Im Beet von Frau Kaya sind 15 von 18 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 10 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe15 von 18zweite Gruppe10 von 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 1518 = 56
    2. Herr Ott: 1012 = 56
    3. Gleicher Nenner 36: 3036 und 3036
    4. Beide Anteile sind gleich groß.
    Ergebnis:
    gleich groß

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Himbeerlimonade rührt Can 9 Löffel Sirup in 12 Löffel Wasser. Gib das Verhältnis Sirup zu Wasser so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 9 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 4
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 4
  1. Zuerst Sirup, dann Wasser: 9 : 12
  2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 4
  3. Verhältnis Sirup zu Wasser: 3 : 4
Ergebnis:
3 : 4

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Mörtel nimmt der Maurer 8 Schaufeln Zement und 2 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    So fängst du an:
    Zuerst Zement, dann Sand: 8 : 2
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 8 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 4 : 1
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 1
    Ergebnis:
    4 : 1
  2. ●5
    Für Mörtel nimmt der Maurer 8 Schaufeln Zement und 2 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 8 : 2
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 4 : 1
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 1
    Ergebnis:
    4 : 1
  3. ★6
    Für Mörtel nimmt der Maurer 6 Schaufeln Zement und 8 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 6 : 8
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 3 : 4
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 4
    Ergebnis:
    3 : 4

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Gelb und Blau werden im Verhältnis 2 : 5 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Gelb?
Schritt für Schritt
  1. 2 : 5 heißt: 2 Teile Gelb, 5 Teile Blau.
  2. Zusammen: 2 + 5 = 7 Teile
  3. Gelb: 2 von 7 Teilen, also 27
  1. 2 : 5 heißt: 2 Teile Gelb, 5 Teile Blau.
  2. Zusammen: 2 + 5 = 7 Teile
  3. Gelb: 2 von 7 Teilen, also 27
Ergebnis:
27

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    15 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    So fängst du an:
    Von 5 Teilen sind 1 rot.
    Lösung zeigen
    1. Von 5 Teilen sind 1 rot.
    2. Blau: 5 − 1 = 4 Teile
    3. Rot zu Blau: 1 : 4
    Ergebnis:
    1 : 4
  2. ●8
    Sirup und Wasser werden im Verhältnis 5 : 3 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Sirup?
    Lösung zeigen
    1. 5 : 3 heißt: 5 Teile Sirup, 3 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 3 = 8 Teile
    3. Sirup: 5 von 8 Teilen, also 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★9
    Für Beton mischt man Zement, Sand und Kies im Verhältnis 3 : 2 : 4. Welcher Anteil der Mischung ist Sand?
    Lösung zeigen
    1. Teile zusammen: 3 + 2 + 4 = 9
    2. Sand sind 2 von 9 Teilen.
    3. Anteil: 29
    Ergebnis:
    29

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Orangenschorle: 5 Becher Saft und 3 Becher Wasser. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Wasser braucht man?
SaftWasser
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 3 · 5 = 15
  1. Faktor: 5
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 3 · 5 = 15
Ergebnis:
15 Becher

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für Mörtel: 3 Eimer Zement und 2 Eimer Sand. Die Menge soll 5-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Faktor: 5
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 5
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 2 · 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Eimer
  2. ●11
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 450 g Mehl auf 750 ml Milch. Tim nimmt 2250 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 2250 : 450 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 750 · 5 = 3750
    Ergebnis:
    3750 ml
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 1000 g Mehl auf 800 ml Milch. Tim macht weniger und nimmt nur 750 g Mehl. Wie viel Milch braucht er?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. Verhältnis kürzen: 1000 : 800 wird zu 250 : 200
    2. 750 : 250 = 3
    3. 200 · 3 = 600
    Ergebnis:
    600 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 84 cm wird im Verhältnis 3 : 4 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 3 + 4 = 7
  2. Ein Teil: 84 : 7 = 12
  3. erstes Stück: 3 · 12 = 36
  4. zweites Stück: 4 · 12 = 48
  1. Teile: 3 + 4 = 7
  2. Ein Teil: 84 : 7 = 12
  3. erstes Stück: 3 · 12 = 36
  4. zweites Stück: 4 · 12 = 48
Ergebnis:
36 cm und 48 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Mia und Can teilen 63 € im Verhältnis 1 : 6. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    So fängst du an:
    Teile: 1 + 6 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 6 = 7
    2. Ein Teil: 63 : 7 = 9
    3. Mia: 1 · 9 = 9
    4. Can: 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    Mia 9 €, Can 54 €
  2. ●14
    Ada und Ben teilen 30 € im Verhältnis 3 : 2. Wie viel bekommt jeder?
    AdaBen
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 2 = 5
    2. Ein Teil: 30 : 5 = 6
    3. Ada: 3 · 6 = 18
    4. Ben: 2 · 6 = 12
    Ergebnis:
    Ada 18 €, Ben 12 €
  3. ★15
    Mia und Can teilen 56 € im Verhältnis 3 : 4. Wie viel bekommt jeder?
    MiaCan
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 4 = 7
    2. Ein Teil: 56 : 7 = 8
    3. Mia: 3 · 8 = 24
    4. Can: 4 · 8 = 32
    Ergebnis:
    Mia 24 €, Can 32 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Eimer A: 1 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 1 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
  2. Eimer B: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
  3. Gleicher Nenner 4: 14 und 24
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
  1. Eimer A: 1 von 4 Teilen sind rote Farbe, also 1/4.
  2. Eimer B: 1 von 2 Teilen sind rote Farbe, also 1/2.
  3. Gleicher Nenner 4: 14 und 24
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
Ergebnis:
Eimer B

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zwei Mischungen: Kanne A enthält 3 Löffel Himbeersirup auf 2 Löffel Wasser, Kanne B enthält 2 Löffel Himbeersirup auf 3 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere? Oder sind beide gleich?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 3 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 3/5.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 3 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 3/5.
    2. Kanne B: 2 von 5 Teilen sind Himbeersirup, also 2/5.
    3. Gleicher Nenner 5: 35 und 25
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne A.
    Ergebnis:
    Kanne A
  2. ●17
    Welche Mischung wird kräftiger rot? Vergleiche die Anteile: Eimer A hat 2 Becher rote Farbe und 5 Becher weiße Farbe, Eimer B hat 5 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe.
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 2 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 2/7.
    2. Eimer B: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
    3. Gleicher Nenner 56: 1656 und 3556
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B
  3. ★18
    Krug A: 1 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser. Krug B: 1 Gläser Saft und 3 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 1 von 6 Teilen sind Saft, also 1/6.
    2. Krug B: 1 von 4 Teilen sind Saft, also 1/4.
    3. Gleicher Nenner 12: 212 und 312
    4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
    Ergebnis:
    Krug B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Welche Zahl fehlt? 15 zu 12 soll dasselbe Verhältnis sein wie 30 zu ___.
Schritt für Schritt
  1. Kürzen: 15 : 12 wird zu 5 : 4
  2. 30 ist 6-mal 5.
  3. Also 4 · 6 = 24
  1. Kürzen: 15 : 12 wird zu 5 : 4
  2. 30 ist 6-mal 5.
  3. Also 4 · 6 = 24
Ergebnis:
24

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welche Zahl fehlt? 8 zu 4 soll dasselbe Verhältnis sein wie 4 zu ___.
    So fängst du an:
    Kürzen: 8 : 4 wird zu 2 : 1
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 8 : 4 wird zu 2 : 1
    2. 4 ist 2-mal 2.
    3. Also 1 · 2 = 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●20
    Für ein Grün werden Gelb und Blau im Verhältnis 5 : 4 gemischt. Wie viel Liter Gelb braucht man für 24 Liter Blau?
    GelbBlau
    Lösung zeigen
    1. 5 : 4: auf 4 Liter Blau kommen 5 Liter Gelb.
    2. 24 : 4 = 6
    3. Gelb: 5 · 6 = 30
    Ergebnis:
    30 Liter
  3. ★21
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 7. In der Gruppe sind 35 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    1. 3 : 7: auf 7 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 35 : 7 = 5
    3. Jungen: 3 · 5 = 15
    Ergebnis:
    15 Jungen

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Ada und Ben verkaufen Kuchen und nehmen 32 € ein. Ada hat 3 Stunden gearbeitet, Ben 1 Stunden. Sie teilen im Verhältnis ihrer Stunden. Wie viel bekommt Ada?
Schritt für Schritt
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 1
  2. Teile: 3 + 1 = 4
  3. Ein Teil: 32 : 4 = 8
  4. Ada: 3 · 8 = 24
  1. Verhältnis Ada zu Ben: 3 : 1
  2. Teile: 3 + 1 = 4
  3. Ein Teil: 32 : 4 = 8
  4. Ada: 3 · 8 = 24
Ergebnis:
24 €

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Beim Schulfest werden 12 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 2. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    So fängst du an:
    Schorle: 12 · 0,25 = 3
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 12 · 0,25 = 3
    2. Teile: 1 + 2 = 3
    3. Ein Teil: 3 : 3 = 1
    4. Saft: 1 · 1 = 1
    Ergebnis:
    1 Liter
  2. ●23
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 35 : 7 = 5 Eimer
    3. Zement: 2 · 5 = 10 Eimer
    4. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30,00 €
  3. ★24
    Beim Schulfest werden 60 Gläser Apfelschorle ausgeschenkt, jedes mit 0,25 l. Saft und Wasser stehen im Verhältnis 1 : 3. Wie viel Liter Saft braucht man?
    SaftWasser
    Lösung zeigen
    1. Schorle: 60 · 0,25 = 15
    2. Teile: 1 + 3 = 4
    3. Ein Teil: 15 : 4 = 3,75
    4. Saft: 1 · 3,75 = 3,75
    Ergebnis:
    3,75 Liter

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 5 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 16 von 20 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe5 von 10zweite Gruppe16 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 510 = 12
    2. Klasse B: 1620 = 45
    3. Gleicher Nenner 20: 1020 und 1620
    4. 1620 ist mehr: Klasse B.
    Ergebnis:
    Klasse B
  2. ●26
    In Schule A essen 4 von 5 Kindern mittags in der Mensa, in Schule B 14 von 20. Nina sagt: „In Schule B ist die Mensa beliebter, dort essen mehr Kinder.“ Hat sie recht?
    A4 von 5B14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule A: 45
    2. Schule B: 1420 = 710
    3. Gleicher Nenner 20: 1620 und 1420
    4. 1620 ist mehr: Schule A.
    5. Nina hat nicht recht: Mehr heißt nicht größerer Anteil.
    Ergebnis:
    nein, Schule A
  3. ●27
    Für Mörtel nimmt der Maurer 4 Schaufeln Zement und 1 Schaufeln Sand. Schreibe das Verhältnis Zement zu Sand mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 4 : 1
    2. Kürzen geht nicht.
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 4 : 1
    Ergebnis:
    4 : 1
  4. ●28
    Zähle die Perlen im Bild. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau, so einfach wie möglich geschrieben?
    Lösung zeigen
    1. Rot: 6 Perlen, Blau: 15 Perlen
    2. Rot zu Blau: 6 : 15
    3. Durch 3 teilen: 2 : 5
    Ergebnis:
    2 : 5
  5. ●29
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 2 : 3 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 23 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 2 : 3 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 2 + 3 = 5 Teile.
    3. Saft: 2 von 5 Teilen, also 25
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 25
  6. ●30
    Für ein zartes Rosa steht im Rezept: 4 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Lea hat 16 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe muss dazu?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    1. 16 : 4 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 5 · 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Liter

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 17 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 5 von 12 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe17 von 20zweite Gruppe5 von 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 9 Becher gelbe Farbe mit 12 Bechern blauer Farbe. Gib das Verhältnis Gelb zu Blau so einfach wie möglich an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 : 4

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    57 der Perlen in einer Dose sind rot, alle anderen sind blau. Wie ist das Verhältnis Rot zu Blau?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 : 2

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für ein zartes Rosa: 2 Liter weiße Farbe und 5 Liter rote Farbe. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel rote Farbe braucht man?
    weiße Farberote Farbe
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Liter

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    35 Murmeln werden im Verhältnis 3 : 2 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ada 21 Murmeln, Ben 14 Murmeln

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 5 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 1 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer A

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Welche Zahl fehlt? 20 zu 4 soll dasselbe Verhältnis sein wie 15 zu ___.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 32 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Klasse B
  2. Klasse A
  3. gleich groß
  4. 4 : 1
  5. 4 : 1
  6. 3 : 4
  7. 1 : 4
  8. 58
  9. 29
  10. 10 Eimer
  11. 3750 ml
  12. 600 ml
  13. Mia 9 €, Can 54 €
  14. Ada 18 €, Ben 12 €
  15. Mia 24 €, Can 32 €
  16. Kanne A
  17. Eimer B
  18. Krug B
  19. 2
  20. 30 Liter
  21. 15 Jungen
  22. 1 Liter
  23. 30,00 €
  24. 3,75 Liter
  25. Klasse B
  26. nein, Schule A
  27. 4 : 1
  28. 2 : 5
  29. nein, 25
  30. 20 Liter
  31. Tüte A
  32. 3 : 4
  33. 5 : 2
  34. 20 Liter
  35. Ada 21 Murmeln, Ben 14 Murmeln
  36. Eimer A
  37. 3
  38. 32,00 €
  39. 6,00 €
  40. 8 kg Äpfel