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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Anteile und Verhältnisse

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele sagen sofort 6a, weil 12 mehr ist als 10. Andere merken, dass die 6a mehr Kinder hat, können aber nicht sagen, wie man das ausgleicht. Wir vergleichen nicht die Anzahlen, sondern die Anteile: 12/28 und 10/20. Macht man beide gleichnamig, sieht man, welcher Anteil größer ist.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Proportional heißt: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen.

  1. ●39
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €?20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 5 · 2,00 € = 10,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €? 10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 5 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    10,00 €
  2. ●40
    Für 3 Stunden Regale einräumen bekommt Mia 30,00 €. Wie viel bekommt sie für 8 Stunden?
    Lösung zeigen
    1. Stunden€
    2. 3 Stunden→30,00 €
    3. ↓ : 3↓ : 3
    4. 1 Stunde→30,00 € : 3 = 10,00 €
    5. ↓ · 8↓ · 8
    6. 8 Stunden→10,00 € · 8 = 80,00 €
    Ergebnis:
    80,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMischungen bleiben gleich beim Vervielfachen

Ein Verhältnis beschreibt, wie zwei Teile zueinander stehen. Nimmt man beide Teile doppelt oder dreifach, schmeckt die Mischung gleich. Kommt bei beiden dasselbe dazu, schmeckt sie anders.

Saft zu Wasser: 1 zu 3 schmeckt wie 2 zu 6, beide Teile verdoppelt; 2 zu 4 schmeckt anders1 : 32 : 62 : 4gleichanders

WeiterdenkenDenk nach

Schmeckt eine Schorle mit 2 Gläsern Saft und 3 Gläsern Wasser genauso wie eine mit 3 Gläsern Saft und 4 Gläsern Wasser? Woran erkennst du das, ohne zu probieren?

1Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein halbiertes A4-Blatt genauso aus wie ein ganzes, nur kleiner?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein A4-Blatt ist 21,0 cm breit und 29,7 cm lang, ein A5-Blatt 14,8 cm breit und 21,0 cm lang. In beiden Fällen ist die lange Seite etwa 1,41-mal so lang wie die kurze. Das Verhältnis der Seiten bleibt beim Halbieren gleich – deshalb passen A4 und A5 zueinander.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenAnteil an verschieden großen Ganzen

12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.

Man schreibt beide als Bruch und macht sie gleichnamig. Mehr heißt nicht unbedingt größerer Anteil.

BeispielAnteile an verschieden großen Ganzen vergleichen

In der Klasse A kommen 5 von 8 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 4 von 5 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
erste Gruppe5 von 8zweite Gruppe4 von 5
Schritt für Schritt
  1. Klasse A: 58
  2. Klasse B: 45
  3. Gleicher Nenner 40: 2540 und 3240
  4. 3240 ist mehr: Klasse B.
  1. Klasse A: 58
  2. Klasse B: 45
  3. Gleicher Nenner 40: 2540 und 3240
  4. 3240 ist mehr: Klasse B.
Ergebnis:
Klasse B

AchtungAnzahl statt Anteil verglichen

So nicht
Team A 9 von 15, Team B 10 von 20 → B besser, denn 10 > 9
So richtig
9/15 = 0,6 und 10/20 = 0,5 → Team A besser

Mehr Treffer heißt nicht besser. Erst beide Anteile als Bruch schreiben und gleichnamig machen.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    In Tüte A sind 6 von 20 Bonbons rot, in Tüte B 6 von 10 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe6 von 20zweite Gruppe6 von 10
    So fängst du an:
    Tüte A: 620 = 310
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 620 = 310
    2. Tüte B: 610 = 35
    3. Gleicher Nenner 20: 620 und 1220
    4. 1220 ist mehr: Tüte B.
    Ergebnis:
    Tüte B
  2. ●2
    Im Beet von Frau Kaya sind 1 von 4 Pflanzen Tomaten, im Beet von Herrn Ott 11 von 12 Pflanzen. Bei wem ist der Anteil der Tomaten größer?
    erste Gruppe1 von 4zweite Gruppe11 von 12
    Lösung zeigen
    1. Frau Kaya: 14
    2. Herr Ott: 1112
    3. Gleicher Nenner 12: 312 und 1112
    4. 1112 ist mehr: Herr Ott.
    Ergebnis:
    Herr Ott
  3. ★3
    In Tüte A sind 9 von 15 Bonbons rot, in Tüte B 13 von 24 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe9 von 15zweite Gruppe13 von 24
    Lösung zeigen
    1. Tüte A: 915 = 35
    2. Tüte B: 1324
    3. Gleicher Nenner 120: 72120 und 65120
    4. 72120 ist mehr: Tüte A.
    Ergebnis:
    Tüte A

2Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

EntdeckenFrage

Warum heißt ein Fernseher 16 : 9?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

16 : 9 ist das Verhältnis von Breite zu Höhe des Bildes. Ein Full-HD-Bild hat 1920 mal 1080 Bildpunkte, und 1920 : 1080 lässt sich zu 16 : 9 kürzen. Egal wie groß der Fernseher ist: Breite und Höhe stehen immer in diesem Verhältnis.

MerkenVerhältnis einer Mischung

2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.

Man kürzt wie einen Bruch: 2 : 6 wird zu 1 : 3. Die Reihenfolge der Wörter bestimmt die Reihenfolge der Zahlen.

BeispielMischungen mit einem Verhältnis beschreiben

Für Saftschorle mischt Emil 10 Gläser Saft mit 8 Gläsern Wasser. Gib das Verhältnis Saft zu Wasser so einfach wie möglich an.
Schritt für Schritt
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 8
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 4
  1. Zuerst Saft, dann Wasser: 10 : 8
  2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 5 : 4
  3. Verhältnis Saft zu Wasser: 5 : 4
Ergebnis:
5 : 4

AchtungReihenfolge im Verhältnis vertauscht

So nicht
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 3 : 1
So richtig
2 Gläser Saft, 6 Gläser Wasser → Saft zu Wasser 2 : 6 → 1 : 3

Die Zahlen stehen in der Reihenfolge der Wörter: Saft zu Wasser heißt erst Saft, dann Wasser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Für Mörtel nimmt der Maurer 9 Schaufeln Zement und 15 Schaufeln Sand. Gib das Verhältnis Zement zu Sand so einfach wie möglich an.
    So fängst du an:
    Zuerst Zement, dann Sand: 9 : 15
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 9 : 15
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 3 : 5
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 3 : 5
    Ergebnis:
    3 : 5
  2. ●5
    Für Mörtel nimmt der Maurer 2 Schaufeln Zement und 12 Schaufeln Sand. Wie lautet das Verhältnis Zement zu Sand? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Zement, dann Sand: 2 : 12
    2. Beide Zahlen durch 2 teilen: 1 : 6
    3. Verhältnis Zement zu Sand: 1 : 6
    Ergebnis:
    1 : 6
  3. ★6
    Für ein helles Grün mischt Pia 3 Becher gelbe Farbe mit 12 Bechern blauer Farbe. Wie lautet das Verhältnis Gelb zu Blau? Kürze, wenn es geht.
    Lösung zeigen
    1. Zuerst Gelb, dann Blau: 3 : 12
    2. Beide Zahlen durch 3 teilen: 1 : 4
    3. Verhältnis Gelb zu Blau: 1 : 4
    Ergebnis:
    1 : 4

3Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

EntdeckenFrage

Warum dreht sich das Hinterrad schneller als die Pedale, wenn man einen schweren Gang fährt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Vorn hat das Kettenblatt zum Beispiel 44 Zähne, hinten das Ritzel 11 Zähne. Das Verhältnis ist 44 : 11, also 4 : 1. Bei einer Umdrehung der Pedale läuft die Kette 44 Zähne weiter und dreht das Hinterrad viermal herum.

MerkenVerhältnis oder Anteil?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.

Bei Saft zu Wasser wie 1 : 4 hat die Schorle 5 Teile, der Saft ist 1/5.

BeispielVerhältnis oder Anteil am Ganzen?

Zement und Sand werden im Verhältnis 5 : 6 gemischt. Welcher Anteil der ganzen Mischung ist Zement?
Schritt für Schritt
  1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Zement, 6 Teile Sand.
  2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
  3. Zement: 5 von 11 Teilen, also 511
  1. 5 : 6 heißt: 5 Teile Zement, 6 Teile Sand.
  2. Zusammen: 5 + 6 = 11 Teile
  3. Zement: 5 von 11 Teilen, also 511
Ergebnis:
511

AchtungVerhältnis als Anteil gelesen

So nicht
Saft zu Wasser 1 : 4 → Saft ist 1/4
So richtig
1 : 4 → 1 + 4 = 5 Teile → Saft ist 1/5

Bei 1 : 4 gibt es 5 Teile. Der Saft ist 1 von 5 Teilen, also 1/5 und nicht 1/4.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 2 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    So fängst du an:
    5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 2 heißt: 5 Teile Saft, 2 Teile Wasser.
    2. Zusammen: 5 + 2 = 7 Teile
    3. Wasser: 2 von 7 Teilen, also 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●8
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 5 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 45 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 4 : 5 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 4 + 5 = 9 Teile.
    3. Saft: 4 von 9 Teilen, also 49
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 49
  3. ★9
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 5 : 7 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 57 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 5 : 7 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 5 + 7 = 12 Teile.
    3. Saft: 5 von 12 Teilen, also 512
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 512

4Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

EntdeckenFrage

Warum klingen zwei Töne im Abstand einer Oktave fast gleich?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ihre Schwingungen im Verhältnis 2 : 1 stehen. Der Kammerton a schwingt 440-mal in der Sekunde, das a eine Oktave höher 880-mal. Schon Pythagoras fand heraus, dass einfache Verhältnisse wie 2 : 1 und 3 : 2 angenehm zusammenklingen.

Ausprobieren: Proportional oder antiproportional?

Tabelle und Graph sind gekoppelt: Ein Wert wird markiert, und er leuchtet in beiden Darstellungen auf.

MerkenMischung vergrößern und verkleinern

Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.

Aus 2 : 3 wird 4 : 6 oder 10 : 15. Addieren derselben Zahl verändert den Geschmack.

BeispielMischungen vergrößern und verkleinern

Für Pfannkuchenteig: 500 g Mehl und 400 ml Milch. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
MehlMilch
Schritt für Schritt
  1. Faktor: 4
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 400 · 4 = 1600
  1. Faktor: 4
  2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
  3. 400 · 4 = 1600
Ergebnis:
1600 ml

AchtungAddiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Für ein zartes Rosa nimmt man 6 Liter weiße Farbe auf 1 Liter rote Farbe. Tim nimmt 30 Liter weiße Farbe. Wie viel rote Farbe braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    weiße Farberote Farbe
    So fängst du an:
    30 : 6 = 5 – also 5-mal so viel
    Lösung zeigen
    1. 30 : 6 = 5 – also 5-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5 Liter
  2. ●11
    Für Mörtel steht im Rezept: 6 Eimer Zement und 1 Eimer Sand. Lea hat 24 Eimer Zement. Wie viel Sand muss dazu?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. 24 : 6 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 1 · 4 = 4
    Ergebnis:
    4 Eimer
  3. ★12
    Für Pfannkuchenteig nimmt man 500 g Mehl auf 300 ml Milch. Tim nimmt 2000 g Mehl. Wie viel Milch braucht er, damit die Mischung gleich bleibt?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    1. 2000 : 500 = 4 – also 4-mal so viel
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 300 · 4 = 1200
    Ergebnis:
    1200 ml

5Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

EntdeckenFrage

Wer wirft besser: wer mehr Treffer hat, oder wer seltener danebenwirft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Basketball zählt die Trefferquote, also der Anteil der Treffer an allen Würfen. 9 Treffer bei 15 Würfen sind 3/5, 10 Treffer bei 20 Würfen nur 1/2. Wer mehr wirft, hat oft mehr Treffer und trotzdem die schlechtere Quote.

MerkenAufteilen im Verhältnis

Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.

Die Menge wird durch sieben geteilt und mit dem Anteil jeder Person malgenommen.

BeispielEine Menge im Verhältnis aufteilen

Ein Band von 42 cm wird im Verhältnis 2 : 5 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
1. Teil2. Teil
Schritt für Schritt
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 42 : 7 = 6
  3. erstes Stück: 2 · 6 = 12
  4. zweites Stück: 5 · 6 = 30
  1. Teile: 2 + 5 = 7
  2. Ein Teil: 42 : 7 = 6
  3. erstes Stück: 2 · 6 = 12
  4. zweites Stück: 5 · 6 = 30
Ergebnis:
12 cm und 30 cm

AchtungDurch die Verhältniszahl statt durch alle Teile geteilt

So nicht
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 35 : 3 und 35 : 4
So richtig
35 € im Verhältnis 3 : 4 → 3 + 4 = 7 Teile, 35 : 7 = 5 → 15 € und 20 €

Erst die Teile zusammenzählen: Bei 3 : 4 sind es 7 Teile. Die Menge wird durch 7 geteilt.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ina und Ole teilen 24 € im Verhältnis 3 : 5. Wie viel bekommt jeder?
    InaOle
    So fängst du an:
    Teile: 3 + 5 = 8
    Lösung zeigen
    1. Teile: 3 + 5 = 8
    2. Ein Teil: 24 : 8 = 3
    3. Ina: 3 · 3 = 9
    4. Ole: 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    Ina 9 €, Ole 15 €
  2. ●14
    72 Murmeln werden im Verhältnis 5 : 3 an Ada und Ben verteilt. Wie viele bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 5 + 3 = 8
    2. Ein Teil: 72 : 8 = 9
    3. Ada: 5 · 9 = 45
    4. Ben: 3 · 9 = 27
    Ergebnis:
    Ada 45 Murmeln, Ben 27 Murmeln
  3. ★15
    Drei Freunde teilen 91 € Gewinn aus dem Flohmarkt im Verhältnis 4 : 3 : 6. Wie viel bekommt jeder?
    1. Teil2. Teil3. Teil
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 3 + 6 = 13
    2. Ein Teil: 91 : 13 = 7
    3. 4 · 7 = 28, 3 · 7 = 21, 6 · 7 = 42
    Ergebnis:
    28 €, 21 €, 42 €

6Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

EntdeckenFrage

Wie verteilt man die Sitze im Bundestag gerecht auf die Parteien?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Verhältnis der Zweitstimmen. Hat eine Partei doppelt so viele Stimmen wie eine andere, bekommt sie ungefähr doppelt so viele Sitze. Das Verfahren heißt Sainte-Laguë und teilt die Stimmen so, dass am Ende ganze Sitze herauskommen.

MerkenWelche Mischung ist stärker?

Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.

Gleicher Nenner oder Dezimalzahl machen die Anteile vergleichbar.

BeispielWelche Mischung ist stärker?

Zwei Mischungen: Eimer A enthält 3 Becher rote Farbe auf 5 Becher weiße Farbe, Eimer B enthält 5 Becher rote Farbe auf 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot? Oder sind beide gleich?
Eimer AEimer B?
Schritt für Schritt
  1. Eimer A: 3 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 3/8.
  2. Eimer B: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 38 und 58
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
  1. Eimer A: 3 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 3/8.
  2. Eimer B: 5 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 5/8.
  3. Gleicher Nenner 8: 38 und 58
  4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
Ergebnis:
Eimer B

AchtungNoch einmal: Addiert statt vervielfacht

So nicht
2 : 3 vergrößern: 2 + 4 und 3 + 4 → 6 : 7
So richtig
2 : 3 vergrößern: 2 · 3 und 3 · 3 → 6 : 9

Wer bei beiden Teilen dieselbe Zahl dazuzählt, verändert die Mischung. Beide Teile mit derselben Zahl malnehmen.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Kanne A: 3 Löffel Himbeersirup und 4 Löffel Wasser. Kanne B: 5 Löffel Himbeersirup und 4 Löffel Wasser. Welche Kanne schmeckt stärker nach Himbeere?
    Kanne AKanne B?
    So fängst du an:
    Kanne A: 3 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 3/7.
    Lösung zeigen
    1. Kanne A: 3 von 7 Teilen sind Himbeersirup, also 3/7.
    2. Kanne B: 5 von 9 Teilen sind Himbeersirup, also 5/9.
    3. Gleicher Nenner 63: 2763 und 3563
    4. Der größere Anteil Himbeersirup: Kanne B.
    Ergebnis:
    Kanne B
  2. ●17
    Krug A: 1 Gläser Saft und 5 Gläser Wasser. Krug B: 2 Gläser Saft und 4 Gläser Wasser. Welcher Krug schmeckt stärker nach Orange?
    Krug AKrug B?
    Lösung zeigen
    1. Krug A: 1 von 6 Teilen sind Saft, also 1/6.
    2. Krug B: 2 von 6 Teilen sind Saft, also 2/6.
    3. Gleicher Nenner 6: 16 und 26
    4. Der größere Anteil Saft: Krug B.
    Ergebnis:
    Krug B
  3. ★18
    Eimer A: 4 Becher rote Farbe und 4 Becher weiße Farbe. Eimer B: 4 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    1. Eimer A: 4 von 8 Teilen sind rote Farbe, also 4/8.
    2. Eimer B: 4 von 7 Teilen sind rote Farbe, also 4/7.
    3. Gleicher Nenner 56: 2856 und 3256
    4. Der größere Anteil rote Farbe: Eimer B.
    Ergebnis:
    Eimer B

7Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

EntdeckenFrage

Wie viel Wasser gehört in den Topf für 250 g Nudeln, wenn die Packung 1 Liter für 100 g verlangt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Verhältnis ist 100 g zu 1 Liter. 250 g sind das 2,5-Fache von 100 g. Also braucht man 2,5 · 1 Liter = 2,5 Liter Wasser.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlenden Wert in gleichen Verhältnissen finden

Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 5. In der Gruppe sind 10 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
JungenMädchen
Schritt für Schritt
  1. 3 : 5: auf 5 Mädchen kommen 3 Jungen.
  2. 10 : 5 = 2
  3. Jungen: 3 · 2 = 6
  1. 3 : 5: auf 5 Mädchen kommen 3 Jungen.
  2. 10 : 5 = 2
  3. Jungen: 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Jungen

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 3 : 5. In der Gruppe sind 15 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    So fängst du an:
    3 : 5: auf 5 Mädchen kommen 3 Jungen.
    Lösung zeigen
    1. 3 : 5: auf 5 Mädchen kommen 3 Jungen.
    2. 15 : 5 = 3
    3. Jungen: 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Jungen
  2. ●20
    Welche Zahl fehlt? 10 zu 2 soll dasselbe Verhältnis sein wie 25 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 10 : 2 wird zu 5 : 1
    2. 25 ist 5-mal 5.
    3. Also 1 · 5 = 5
    Ergebnis:
    5
  3. ★21
    Welche Zahl fehlt? 12 zu 20 soll dasselbe Verhältnis sein wie 9 zu ___.
    Lösung zeigen
    1. Kürzen: 12 : 20 wird zu 3 : 5
    2. 9 ist 3-mal 3.
    3. Also 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15

8Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

EntdeckenFrage

Wie viel Öl und wie viel Benzin kommen in einen 5-Liter-Kanister für einen Laubbläser mit Gemisch 1 : 50?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1 : 50 heißt 1 Teil Öl auf 50 Teile Benzin, zusammen 51 Teile. 5.000 ml : 51 sind etwa 98 ml für einen Teil. Also kommen etwa 98 ml Öl und 4.902 ml Benzin hinein. Wer 5 Liter Benzin plus 100 ml Öl nimmt, hat einen zu vollen Kanister.

MerkenSachaufgaben mit Verhältnis

Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Dann Teile zählen, einen Teil berechnen und den Antwortsatz mit Einheit schreiben.

BeispielSachaufgaben mit Verhältnissen

Für eine Gartenmauer braucht man 28 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 4,00 €. Was kostet der Zement?
ZementSand
Schritt für Schritt
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 28 : 4 = 7 Eimer
  3. Zement: 1 · 7 = 7 Eimer
  4. 7 · 4 = 28
  1. Teile: 1 + 3 = 4
  2. Ein Teil: 28 : 4 = 7 Eimer
  3. Zement: 1 · 7 = 7 Eimer
  4. 7 · 4 = 28
Ergebnis:
28,00 €

AchtungAdditiv statt multiplikativ

So nicht
3 Essen 13,50 € → 8 Essen 18,50 €
So richtig
3 Essen 13,50 € → 1 Essen 4,50 € → 8 Essen 36 €

Rechne zuerst auf 1. Nimm dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Für eine Gartenmauer braucht man 56 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 2 : 5. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    So fängst du an:
    Teile: 2 + 5 = 7
    Lösung zeigen
    1. Teile: 2 + 5 = 7
    2. Ein Teil: 56 : 7 = 8 Eimer
    3. Zement: 2 · 8 = 16 Eimer
    4. 16 · 3 = 48
    Ergebnis:
    48,00 €
  2. ●23
    Für eine Gartenmauer braucht man 35 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 4. Ein Eimer Zement kostet 3,50 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Teile: 1 + 4 = 5
    2. Ein Teil: 35 : 5 = 7 Eimer
    3. Zement: 1 · 7 = 7 Eimer
    4. 7 · 3,5 = 24,5
    Ergebnis:
    24,50 €
  3. ★24
    Für Türkis mischt Lina Blau und Grün im Verhältnis 4 : 1. Sie braucht 20 Liter Türkis. Blaue Farbe gibt es in Dosen mit 1,5 Liter. Wie viele Dosen Blau muss sie kaufen?
    BlauGrün
    Lösung zeigen
    1. Teile: 4 + 1 = 5
    2. Ein Teil: 20 : 5 = 4 Liter
    3. Blau: 4 · 4 = 16 Liter
    4. 16 : 1,5 ist mehr als 10, also 11 Dosen
    Ergebnis:
    11 Dosen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    In der Klasse A kommen 3 von 5 Kindern mit dem Rad zur Schule, in der Klasse B 10 von 25 Kindern. In welcher Klasse ist der Anteil der Radfahrer größer?
    erste Gruppe3 von 5zweite Gruppe10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse A: 35
    2. Klasse B: 1025 = 25
    3. Gleicher Nenner 25: 1525 und 1025
    4. 1525 ist mehr: Klasse A.
    Ergebnis:
    Klasse A
  2. ●26
    In Schule A essen 2 von 5 Kindern mittags in der Mensa, in Schule B 4 von 8. Nina sagt: „In Schule B ist die Mensa beliebter, dort essen mehr Kinder.“ Hat sie recht?
    A2 von 5B4 von 8
    Lösung zeigen
    1. Schule A: 25
    2. Schule B: 48 = 12
    3. Gleicher Nenner 40: 1640 und 2040
    4. 2040 ist mehr: Schule B.
    5. Nina hat recht, aber wegen des Anteils, nicht wegen der Anzahl.
    Ergebnis:
    ja, Schule B
  3. ●27
    Lena fädelt die Perlen aus dem Bild auf eine Kette. Welches Verhältnis Blau zu Rot hat ihre Kette? Kürze.
    Lösung zeigen
    1. Rot: 3 Perlen, Blau: 1 Perle
    2. Blau zu Rot: 1 : 3
    3. Kürzen geht nicht.
    Ergebnis:
    1 : 3
  4. ●28
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 1 : 2 gemischt. Ali sagt: „Dann ist 12 der Schorle Saft.“ Hat Ali recht? Gib den richtigen Anteil an.
    Lösung zeigen
    1. 1 : 2 vergleicht Saft mit Wasser, nicht mit der ganzen Schorle.
    2. Die ganze Schorle hat 1 + 2 = 3 Teile.
    3. Saft: 1 von 3 Teilen, also 13
    4. Ali hat nicht recht.
    Ergebnis:
    nein, 13
  5. ●29
    Für Mörtel: 1 Eimer Zement und 3 Eimer Sand. Die Menge soll 3-mal so groß werden. Wie viel Sand braucht man?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    1. Faktor: 3
    2. Beide Teile mit demselben Faktor malnehmen.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Eimer
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Mischungen aus Saft und Wasser, die alle gleich schmecken. Welche Zahl gehört an die Stelle mit dem Fragezeichen?
    Saft6121830Wasser51015?
    Lösung zeigen
    1. Grundmischung Saft zu Wasser: 6 : 5
    2. Saft in der Spalte: 30 = 6 · 5
    3. Wasser: 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Anteil an verschieden großen Ganzen
12 von 28 und 10 von 20 vergleicht man nicht an den Anzahlen.
Verhältnis einer Mischung
2 Gläser Saft auf 6 Gläser Wasser schreibt man 2 : 6, gesprochen zwei zu sechs.
Verhältnis oder Anteil?
Ein Verhältnis vergleicht zwei Teile, ein Anteil einen Teil mit dem Ganzen.
Mischung vergrößern und verkleinern
Beide Teile werden mit derselben Zahl malgenommen oder durch dieselbe Zahl geteilt.
Aufteilen im Verhältnis
Beim Aufteilen zählt man zuerst alle Teile, bei 3 : 4 sind es sieben.
Welche Mischung ist stärker?
Man vergleicht den Anteil des Saftes an der ganzen Mischung, nicht die Menge Saft.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Sachaufgaben mit Verhältnis
Zuerst klären: Werden Teile verglichen, oder wird etwas aufgeteilt?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche Anteile an verschieden großen Ganzen.

    31
    In Tüte A sind 1 von 4 Bonbons rot, in Tüte B 3 von 20 Bonbons. In welcher Tüte ist der Anteil roter Bonbons größer?
    erste Gruppe1 von 4zweite Gruppe3 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Tüte A

  2. Ich beschreibe Mischungen mit Verhältnissen wie 1 : 3.

    32
    Für ein helles Grün mischt Pia 2 Becher gelbe Farbe mit 8 Bechern blauer Farbe. Schreibe das Verhältnis Gelb zu Blau mit Doppelpunkt und kürze es.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 : 4

  3. Ich unterscheide das Verhältnis zweier Teile vom Anteil am Ganzen.

    33
    Saft und Wasser werden im Verhältnis 4 : 3 gemischt. Welcher Anteil der Schorle ist Wasser?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

  4. Ich vergrößere und verkleinere Mischungen im gleichen Verhältnis.

    34
    Für Pfannkuchenteig: 100 g Mehl und 50 ml Milch. Die Menge soll 4-mal so groß werden. Wie viel Milch braucht man?
    MehlMilch
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200 ml

  5. Ich teile eine Menge in einem gegebenen Verhältnis auf.

    35
    Ein Band von 20 cm wird im Verhältnis 4 : 1 in zwei Stücke geschnitten. Wie lang ist jedes Stück?
    1. Teil2. Teil
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 cm und 4 cm

  6. Ich vergleiche Mischungen und entscheide, welche stärker schmeckt oder färbt.

    36
    Eimer A: 1 Becher rote Farbe und 3 Becher weiße Farbe. Eimer B: 5 Becher rote Farbe und 1 Becher weiße Farbe. Welche Mischung wird kräftiger rot?
    Eimer AEimer B?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Eimer B

  7. Ich berechne einen fehlenden Wert in gleichen Verhältnissen.

    37
    Beim Sportfest ist das Verhältnis Jungen zu Mädchen in einer Gruppe 5 : 4. In der Gruppe sind 20 Mädchen. Wie viele Jungen sind es?
    JungenMädchen
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Jungen

  8. Ich löse Sachaufgaben mit Verhältnissen (Farben, Gewinn, Rezept).

    38
    Für eine Gartenmauer braucht man 36 Eimer Mörtel. Mörtel mischt man aus Zement und Sand im Verhältnis 1 : 3. Ein Eimer Zement kostet 3,00 €. Was kostet der Zement?
    ZementSand
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27,00 €

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

In der 6a haben 12 von 28 Kindern ein Haustier, in der 6b 10 von 20 Kindern. Welche Klasse ist tierlieber? Entscheide in einer Minute und schreib deine Begründung auf.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Anteile gleichnamig machen, um verschieden große Gruppen fair zu vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Saftschorle, Farben mischen, Gewinn beim Flohmarkt teilen, Bildschirmformate wie 16 : 9. Beruf: Mörtel und Beton auf der Baustelle, Farbmischung im Malerbetrieb, Rezepturen in Küche und Bäckerei.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen und Dreisatz, Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zuordnungen, Maßstab

Lösungen

  1. Tüte B
  2. Herr Ott
  3. Tüte A
  4. 3 : 5
  5. 1 : 6
  6. 1 : 4
  7. 27
  8. nein, 49
  9. nein, 512
  10. 5 Liter
  11. 4 Eimer
  12. 1200 ml
  13. Ina 9 €, Ole 15 €
  14. Ada 45 Murmeln, Ben 27 Murmeln
  15. 28 €, 21 €, 42 €
  16. Kanne B
  17. Krug B
  18. Eimer B
  19. 9 Jungen
  20. 5
  21. 15
  22. 48,00 €
  23. 24,50 €
  24. 11 Dosen
  25. Klasse A
  26. ja, Schule B
  27. 1 : 3
  28. nein, 13
  29. 9 Eimer
  30. 25
  31. Tüte A
  32. 1 : 4
  33. 37
  34. 200 ml
  35. 16 cm und 4 cm
  36. Eimer B
  37. 25 Jungen
  38. 27,00 €
  39. 10,00 €
  40. 80,00 €