Mathematik · Klasse 7 und 8 · Kapitel

Wahrscheinlichkeit

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Zwei Spiele: Beim ersten gewinnst du, wenn der Würfel 6 zeigt. Beim zweiten, wenn zwei Münzen beide Kopf zeigen. Welches Spiel ist besser? Begründe.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: „Sechs ist selten“ gegen „zweimal Kopf ist auch selten“ – ein Gefühl gegen ein Gefühl. Die Klasse kann es nicht entscheiden. Man zählt: 1 von 6 gegen 1 von 4. Der Bruch macht aus Gefühl eine Zahl, die man vergleichen kann.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Bruch mal Bruch ist ein Anteil vom Anteil – kleiner als beide.

●35
Berechne: 15 · 34
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 320
2. Kürzen mit 1: 320
Ergebnis:
320
●36
Berechne 25 von 50 l.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 l

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenAnteil an allen Möglichkeiten

Eine Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der günstigen an allen gleich möglichen Fällen. Sie sagt etwas über viele Versuche – nicht über den nächsten.

WeiterdenkenDenk nach

Fünfmal hintereinander Kopf. Ist beim sechsten Wurf Zahl wahrscheinlicher?

1Ich unterscheide sicher, möglich, unmöglich und schätze Wahrscheinlichkeiten ein.

EntdeckenFrage

Sollte man beim Türen-Spiel wechseln – und warum haben sich tausend Mathematiker geirrt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja: Wechseln gewinnt in zwei von drei Fällen. Als Marilyn vos Savant das 1990 schrieb, widersprachen ihr fast tausend Leser mit Doktortitel. Wer es hundertmal durchspielt, sieht es selbst.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenWahrscheinlichkeit

Eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).

Viele Versuche → relative Häufigkeit nähert sich der Wahrscheinlichkeit (Gesetz der großen Zahlen).

Eselsbrücke: Pfadregeln: „Längs mal, quer plus“ – entlang eines Pfads multiplizieren, mehrere Pfade addieren

BeispielZufall: sicher, möglich, unmöglich

In der Dose sind zwei rote Kugeln und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?

Schritt für Schritt

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

rot: möglich (es gibt rote)
grün: unmöglich (keine grüne)

Ergebnis:

rot möglich · grün unmöglich

ÜbenJetzt du

○1
In der Dose sind eine rote Kugel und drei blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
So fängst du an:
rot: möglich (es gibt rote)
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
●2
In der Dose sind drei rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
1. rot: möglich (es gibt rote)
2. grün: unmöglich (keine grüne)
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
★3
In der Dose sind drei rote Kugeln und eine blaue Kugel. Welche Farbe ziehst du wahrscheinlicher? Begründe mit den Zahlen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
rot (3 von 4)

2Ich bestimme relative Häufigkeiten und nutze sie als Schätzung.

EntdeckenFrage

Ist ein Lottogewinn wahrscheinlicher als ein Blitzschlag?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Sechs Richtige: 1 zu 14 Millionen. Vom Blitz getroffen zu werden in einem Jahr: etwa 1 zu einer Million. Der Blitz ist 14-mal wahrscheinlicher.

MerkenRelative Häufigkeit

Wie oft es passiert ist, geteilt durch die Anzahl der Versuche.

BeispielRelative Häufigkeit

Ein Reißnagel wurde 200-mal geworfen, er landete 25-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.

Schritt für Schritt

h = 25 : 200 = 0,125

h = 25 : 200 = 0,125

Ergebnis:

0,125 = 12,5 %

AchtungGünstig und möglich vertauscht

So nicht

3 rote von 8 Kugeln: P = 8/3

So richtig

P = 3/8  (günstig durch möglich)

Der Nenner ist immer die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

ÜbenJetzt du

○4
Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 69-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,276 = 27,6 %
●5
Ein Reißnagel wurde 100-mal geworfen, er landete 52-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,52 = 52 %
★6
Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 6-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit. Wie oft erwartest du „Spitze“ bei 1000 Würfen?
Lösung zeigen
1. h = 6 : 50 = 0,12
2. 1000 · 0,12 = 120
Ergebnis:
0,12 · etwa 120-mal

3Ich berechne Laplace-Wahrscheinlichkeiten (günstig durch möglich).

EntdeckenFrage

Warum fällt beim Werfen mit zwei Würfeln die Summe 7 am häufigsten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sechs Kombinationen die 7 ergeben und nur eine die 12. Gezählt wird nicht, wie viele Summen es gibt, sondern wie viele Wege zu jeder Summe führen.

MerkenLaplace

Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Dann P = günstige : mögliche Ergebnisse.

BeispielLaplace-Wahrscheinlichkeit

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne P(ein Ass).

Schritt für Schritt

4 günstige von 32
432 = 0,125

4 günstige von 32
432 = 0,125

Ergebnis:

432 = 12,5 %

ÜbenJetzt du

○7
In einer Urne sind 3 rote, 4 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
So fängst du an:
Insgesamt 7 Kugeln, davon 4 nicht rot
Lösung zeigen
1. Insgesamt 7 Kugeln, davon 4 nicht rot
2. 47 = 0,571
Ergebnis:
47 ≈ 57,1 %
●8
Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne P(ein Bube oder eine Dame).
Lösung zeigen
1. 8 günstige von 32
2. 832 = 0,25
Ergebnis:
832 = 25 %
★9
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 zu würfeln.
Lösung zeigen
1. günstige : mögliche Ergebnisse
2. 2 : 6 = 0,333
Ergebnis:
26 ≈ 33,3 %

4Ich zeichne Baumdiagramme für zweistufige Zufallsexperimente.

EntdeckenFrage

Wie viele verschiedene Wege gibt es, wenn du dreimal links oder rechts abbiegen kannst?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Jede Entscheidung verdoppelt die Zahl der Wege: erst 2, dann 4, dann 8. Ein Baumdiagramm macht genau diese Verzweigung sichtbar.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe ein Verzweigungspunkt.

Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.

BeispielBaumdiagramm ergänzen

In einer Urne sind 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und berechne P(zweimal rot).

Schritt für Schritt

An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
Erste Stufe: P(blau) = 1 − 4/7, also 3/7.
Mit Zurücklegen ist die zweite Stufe wie die erste: rot 4/7, blau 3/7.
Pfadregel: 47 · 47 ergibt 16/49.

An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
Erste Stufe: P(blau) = 1 − 4/7, also 3/7.
Mit Zurücklegen ist die zweite Stufe wie die erste: rot 4/7, blau 3/7.
Pfadregel: 47 · 47 ergibt 16/49.

Ergebnis:

P(zweimal rot) = 1649

AchtungPfade addiert statt multipliziert

So nicht

P(rot, dann blau) = 0,4 + 0,25

So richtig

P(rot, dann blau) = 0,4 · 0,25 = 0,1

Entlang eines Pfades wird multipliziert.

ÜbenJetzt du

○10
In einer Urne sind 6 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und berechne P(zweimal rot).
So fängst du an:
An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
Lösung zeigen
1. An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
2. Erste Stufe: P(blau) = 1 − 6/11, also 5/11.
3. Mit Zurücklegen ist die zweite Stufe wie die erste: rot 6/11, blau 5/11.
4. Pfadregel: 611 · 611 ergibt 36/121.
Ergebnis:
P(zweimal rot) = 36121
●11
In einer Urne sind 5 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und berechne P(zweimal rot).
Lösung zeigen
1. An jeder Verzweigung ergeben die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.
2. Erste Stufe: P(blau) = 1 − 5/7, also 2/7.
3. Mit Zurücklegen ist die zweite Stufe wie die erste: rot 5/7, blau 2/7.
4. Pfadregel: 57 · 57 ergibt 25/49.
Ergebnis:
P(zweimal rot) = 2549
★12
In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Ergänze den Baum und berechne P(eine rote und eine blaue).
Lösung zeigen
1. Erste Stufe: rot 3/5, blau 2/5.
2. Nach rot: noch 2 rote von 4, also rot 24 und blau 2/4.
3. Nach blau: rot 34 und blau 1/4.
4. Zwei Pfade: rot-blau und blau-rot, je 6/20.
5. Summenregel: 620 + 620 ergibt 12/20, gekürzt 3/5.
Ergebnis:
P(eine rote und eine blaue) = 35

5Ich wende die Pfadregel an (mit Zurücklegen).

EntdeckenFrage

Warum ist es so selten, viermal hintereinander eine Sechs zu würfeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil sich die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges vervielfachen: ein Sechstel hoch vier ist 1 zu 1296. Multiplizieren macht kleine Zahlen sehr schnell winzig.

MerkenPfadregel

Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.

BeispielBaumdiagramm: zweistufiges Experiment

Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).

Schritt für Schritt

Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
25 · 25 = 0,16

Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
25 · 25 = 0,16

Ergebnis:

≈ 16 %

ÜbenJetzt du

○13
Urne mit 5 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
So fängst du an:
Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 59 · 59 = 0,3086
Ergebnis:
≈ 30,9 %
●14
Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Pfadregel: Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren
2. 49 · 49 = 0,1975
Ergebnis:
≈ 19,8 %
★15
Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
1. Nach dem ersten Zug eine rote weniger: 1 von 5
2. 26 · 15 = 0,0667
Ergebnis:
≈ 6,7 %

6Ich wende die Pfadregel an (ohne Zurücklegen).

EntdeckenFrage

In der Schublade liegen zwei schwarze und zwei weiße Socken. Wie oft greift man im Dunkeln mit zwei Griffen ein Paar?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die erste Socke ist egal. Danach liegen noch drei Socken da, nur eine passt. Die Pfadregel ergibt 2/4 · 1/3 + 2/4 · 1/3 = 1/3. Nur in einem von drei Fällen klappt es, nicht in der Hälfte.

MerkenOhne Zurücklegen

Nach jedem Zug ändert sich die Urne.

Die Brüche auf der zweiten Stufe haben einen kleineren Nenner.

BeispielPfadregel ohne Zurücklegen

In einem Beutel sind 4 USB-C-Kabel und 10 alte Kabel. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male USB-C-Kabel gezogen werden.

Schritt für Schritt

1. Zug: 4 von 14 → P = 27
Nach dem 1. Zug: 3 USB-C-Kabel, 13 Stück gesamt
2. Zug: 3 von 13 → P = 313
Pfadregel: entlang des Pfades mal
27 · 313 = 691
≈ 6,6 %

1. Zug: 4 von 14 → P = 27
Nach dem 1. Zug: 3 USB-C-Kabel, 13 Stück gesamt
2. Zug: 3 von 13 → P = 313
Pfadregel: entlang des Pfades mal
27 · 313 = 691
≈ 6,6 %

Ergebnis:

691 ≈ 6,6 %

ÜbenJetzt du

○16
In einem Beutel sind 6 Gewinnlose und 11 Nieten. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Gewinnlose gezogen werden.
So fängst du an:
1. Zug: 6 von 17 → P = 617
Lösung zeigen
1. 1. Zug: 6 von 17 → P = 617
2. Nach dem 1. Zug: 5 Gewinnlose, 16 Stück gesamt
3. 2. Zug: 5 von 16 → P = 516
4. Pfadregel: entlang des Pfades mal
5. 617 · 516 = 15136
6. ≈ 11 %
Ergebnis:
15136 ≈ 11 %
●17
In einem Beutel sind 6 Glitzersticker und 11 normale Sticker. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Glitzersticker gezogen werden.
Lösung zeigen
1. 1. Zug: 6 von 17 → P = 617
2. Nach dem 1. Zug: 5 Glitzersticker, 16 Stück gesamt
3. 2. Zug: 5 von 16 → P = 516
4. Pfadregel: entlang des Pfades mal
5. 617 · 516 = 15136
6. ≈ 11 %
Ergebnis:
15136 ≈ 11 %
★18
In einem Beutel sind 3 Glitzersticker und 12 normale Sticker. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Glitzersticker gezogen werden.
Lösung zeigen
1. 1. Zug: 3 von 15 → P = 15
2. Nach dem 1. Zug: 2 Glitzersticker, 14 Stück gesamt
3. 2. Zug: 2 von 14 → P = 17
4. Pfadregel: entlang des Pfades mal
5. 15 · 17 = 135
6. ≈ 2,9 %
Ergebnis:
135 ≈ 2,9 %

7Ich nutze das Gegenereignis („mindestens ein …“).

EntdeckenFrage

Warum wettete der Chevalier de Méré darauf, bei vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das Gegenereignis ist: keine Sechs in vier Würfen. Seine Wahrscheinlichkeit ist (5/6)⁴, rund 0,482. Mindestens eine Sechs kommt also mit rund 0,518. Das ist mehr als die Hälfte, auf Dauer gewinnt die Wette.

MerkenGegenereignis

„Mindestens eins“ rechnet man am einfachsten über „keins“: 1 − P(keins).

Eselsbrücke: Gegenereignis: „mindestens einmal“ = 1 − „keinmal“

BeispielGegenereignis und Summenregel

Urne mit 4 roten und 7 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).

Schritt für Schritt

Gegenereignis: keine rote = beide blau
P(blau, blau) = 711 · 610 = 0,3818
1 − 0,3818 = 0,6182

Gegenereignis: keine rote = beide blau
P(blau, blau) = 711 · 610 = 0,3818
1 − 0,3818 = 0,6182

Ergebnis:

≈ 61,8 %

AchtungGegenereignis vergessen

So nicht

mindestens einmal Sechs bei 3 Würfen: 3 · 1/6

So richtig

1 − (5/6)³ ≈ 0,42

„mindestens eins“ = 1 − P(keins).

ÜbenJetzt du

○19
Urne mit 7 roten und 7 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
So fängst du an:
Gegenereignis: keine rote = beide blau
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 714 · 613 = 0,2308
3. 1 − 0,2308 = 0,7692
Ergebnis:
≈ 76,9 %
●20
Urne mit 8 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 311 · 210 = 0,0545
3. 1 − 0,0545 = 0,9455
Ergebnis:
≈ 94,6 %
★21
Urne mit 7 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 411 · 310 = 0,1091
3. 1 − 0,1091 = 0,8909
Ergebnis:
≈ 89,1 %

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
In einer Urne sind 2 rote, 6 blaue Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, keine rote zu ziehen.
Lösung zeigen
1. Insgesamt 8 Kugeln, davon 6 nicht rot
2. 68 = 0,75
Ergebnis:
68 ≈ 75 %
●23
Urne mit 5 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
1. Gegenereignis: keine rote = beide blau
2. P(blau, blau) = 510 · 49 = 0,2222
3. 1 − 0,2222 = 0,7778
Ergebnis:
≈ 77,8 %
●24
Ein Reißnagel wurde 50-mal geworfen, er landete 20-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,4 = 40 %
●25
Eine Münze zeigt Kopf.
Sicher, möglich oder unmöglich? Begründe. Gib die Wahrscheinlichkeit an, wenn es geht.
Lösung zeigen
1. Skala: 0 = unmöglich, 1 = sicher
2. Antwort: möglich
3. Begründung: 1 von 2 Seiten
4. P = 12
Ergebnis:
möglich (P = 12)
●26
In einem Beutel sind 7 Basketbälle und 5 Volleybälle. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Basketbälle gezogen werden.
Lösung zeigen
1. 1. Zug: 7 von 12 → P = 712
2. Nach dem 1. Zug: 6 Basketbälle, 11 Stück gesamt
3. 2. Zug: 6 von 11 → P = 611
4. Pfadregel: entlang des Pfades mal
5. 712 · 611 = 722
6. ≈ 31,8 %
Ergebnis:
722 ≈ 31,8 %
●27
In einem Beutel sind 2 Glitzersticker und 8 normale Sticker. Zweimal wird gezogen und jedes Mal zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Glitzersticker.
Lösung zeigen
1. „mindestens einer“ hat viele Pfade – „keiner“ nur einen
2. Gegenereignis: beide Male normale Sticker
3. P(kein Treffer) = 45 · 45 = 1625
4. P(mindestens einer) = 1 − 1625
5. = 925 ≈ 36 %
Ergebnis:
925 ≈ 36 %

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Wahrscheinlichkeit: Eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
Relative Häufigkeit: Wie oft es passiert ist, geteilt durch die Anzahl der Versuche.
Laplace: Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Dann P = günstige : mögliche Ergebnisse.
Baumdiagramm: Jede Stufe ein Verzweigungspunkt.
Pfadregel: Entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren.
Ohne Zurücklegen: Nach jedem Zug ändert sich die Urne.
Gegenereignis: „Mindestens eins“ rechnet man am einfachsten über „keins“: 1 − P(keins).

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich unterscheide sicher, möglich, unmöglich und schätze Wahrscheinlichkeiten ein.
28
In der Dose sind fünf rote Kugeln und vier blaue Kugeln. Du ziehst eine. Ist „rot“ sicher, möglich oder unmöglich? Und „grün“?
Lösung zeigen
Ergebnis:
rot möglich · grün unmöglich
Ich bestimme relative Häufigkeiten und nutze sie als Schätzung.
29
Ein Reißnagel wurde 250-mal geworfen, er landete 75-mal auf der Spitze. Berechne die relative Häufigkeit.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,3 = 30 %
Ich berechne Laplace-Wahrscheinlichkeiten (günstig durch möglich).
30
Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln.
Lösung zeigen
Ergebnis:
36 ≈ 50 %
Ich zeichne Baumdiagramme für zweistufige Zufallsexperimente.
31
In einer Urne sind 5 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baum und berechne P(zweimal rot).
Lösung zeigen
Ergebnis:
P(zweimal rot) = 2581
Ich wende die Pfadregel an (mit Zurücklegen).
32
Urne mit 5 roten und 4 blauen Kugeln. Zweimal ziehen mit Zurücklegen. Berechne P(rot, rot).
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 30,9 %
Ich wende die Pfadregel an (ohne Zurücklegen).
33
In einem Beutel sind 4 Glitzersticker und 9 normale Sticker. Zwei Stück werden nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male Glitzersticker gezogen werden.
Lösung zeigen
Ergebnis:
113 ≈ 7,7 %
Ich nutze das Gegenereignis („mindestens ein …“).
34
Urne mit 8 roten und 8 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. Berechne P(mindestens eine rote).
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 76,7 %

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Zwei Spiele: Beim ersten gewinnst du, wenn der Würfel 6 zeigt. Beim zweiten, wenn zwei Münzen beide Kopf zeigen. Welches Spiel ist besser? Begründe.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Wahrscheinlichkeit als Bruch: günstige durch mögliche Ergebnisse.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Lotto, Würfelspiele, Regenwahrscheinlichkeit. Beruf: Versicherung, Medizin (Tests), Qualitätskontrolle.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Wahrscheinlichkeit: wie sicher etwas passiert
Zufallsexperiment: ein Versuch, dessen Ausgang man nicht vorher weiß

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Zählen und Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit

Lösungen

rot möglich · grün unmöglich
rot möglich · grün unmöglich
rot (3 von 4)
0,276 = 27,6 %
0,52 = 52 %
0,12 · etwa 120-mal
47 ≈ 57,1 %
832 = 25 %
26 ≈ 33,3 %
P(zweimal rot) = 36121
P(zweimal rot) = 2549
P(eine rote und eine blaue) = 35
≈ 30,9 %
≈ 19,8 %
≈ 6,7 %
15136 ≈ 11 %
15136 ≈ 11 %
135 ≈ 2,9 %
≈ 76,9 %
≈ 94,6 %
≈ 89,1 %
68 ≈ 75 %
≈ 77,8 %
0,4 = 40 %
möglich (P = 12)
722 ≈ 31,8 %
925 ≈ 36 %
rot möglich · grün unmöglich
0,3 = 30 %
36 ≈ 50 %
P(zweimal rot) = 2581
≈ 30,9 %
113 ≈ 7,7 %
≈ 76,7 %
320
20 l