Mathematik · Klasse 5 und 6 · Kapitel

Winkel

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Welcher der drei Winkel ist der größte? Der mit den längsten Schenkeln sieht am größten aus – stimmt das?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Klasse wählt den mit langen Schenkeln; beim Aufeinanderlegen ist der kleine mit kurzen Schenkeln größer. Das Auge täuscht, und Schenkel sind nicht der Winkel. Der Winkel ist die Drehung, und die misst man in Grad – mit dem Geodreieck, unabhängig davon, wie lang die Schenkel gezeichnet sind.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Winkel ist eine Drehung, kein Abstand – die Schenkellänge ist egal.

●31
Ist der Winkel kleiner, gleich oder größer als ein rechter Winkel?
Lösung zeigen
1. Rechter Winkel = Ecke vom Geodreieck (90°)
2. kleiner: spitz
Ergebnis:
kleiner (spitz)
●32
Zwei Winkel. Welcher ist größer – A oder B? Halte das Geodreieck an.
Lösung zeigen
1. Beide mit dem rechten Winkel vergleichen
2. A ist spitz, B ist stumpf
Ergebnis:
B ist größer (stumpf).

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDer Winkel ist die Drehung, nicht die Länge

Ein Winkel misst, wie weit man dreht. Wie lang die Schenkel gezeichnet sind, ändert daran nichts – ein Winkel mit kurzen Strichen ist genauso groß.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Winkel, einer mit langen und einer mit kurzen Schenkeln. Welcher ist größer?

1Ich benenne Winkel und unterscheide spitz, recht, stumpf, gestreckt und überstumpf.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Kreis 360 Grad und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Babylonier zählten das Jahr mit etwa 360 Tagen und rechneten im Sechzigersystem. 360 ist durch 24 Zahlen teilbar – 100 nur durch 9. Für Winkel ist das bis heute praktischer.

Ausprobieren: Winkel ziehen und Winkelsumme

Einen Schenkel drehen und die Winkelart ablesen – oder die Spitze eines Dreiecks ziehen und die Summe beobachten.

MerkenWinkelarten

Spitz ist kleiner als 90°, recht ist genau 90°.

Stumpf liegt zwischen 90° und 180°, gestreckt ist 180°. Überstumpf liegt zwischen 180° und 360°.

Eselsbrücke: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180° (Nebeneinander = Halbkreis), Scheitelwinkel sind gleich

BeispielWinkelarten

Bestimme, welcher dieser Winkel spitz ist: 200°, 120°, 47°.

Schritt für Schritt

spitz: unter 90°
200° ist überstumpf, 120° ist stumpf, 47° ist spitz

spitz: unter 90°
200° ist überstumpf, 120° ist stumpf, 47° ist spitz

Ergebnis:

47°

AchtungWinkelart falsch

So nicht

120° → spitzer Winkel

So richtig

120° > 90° → stumpfer Winkel

90° ist die Grenze: kleiner = spitz, größer = stumpf.

ÜbenJetzt du

○1
Bestimme, welcher dieser Winkel überstumpf ist: 135°, 270°, 89°.
So fängst du an:
überstumpf: zwischen 180° und 360°
Lösung zeigen
1. überstumpf: zwischen 180° und 360°
2. 135° ist stumpf, 270° ist überstumpf, 89° ist spitz
Ergebnis:
270°
●2
Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 65° hat.
Lösung zeigen
1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
2. 65° → spitz
Ergebnis:
spitz
★3
Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 178° hat.
Lösung zeigen
1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
2. 178° → stumpf
Ergebnis:
stumpf

2Ich messe Winkel mit dem Geodreieck.

EntdeckenFrage

Wie groß ist der Winkel zwischen den Zeigern um drei Uhr – und um halb vier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Um drei Uhr genau 90 Grad. Um halb vier sind es nur noch 75, weil der kleine Zeiger in einer halben Stunde selbst 15 Grad weitergewandert ist.

Ausprobieren: Geometriebrett: konstruieren und messen

Punkte setzen, Strecken, Geraden und Kreise ziehen, Winkel messen – und beobachten, was beim Ziehen gleich bleibt.

MerkenMessen

Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitel, Nulllinie auf einen Schenkel.

Dann die Skala lesen, die bei 0 anfängt.

Eselsbrücke: Winkelsumme im Dreieck 180° – „Drei Ecken, ein halber Kreis“; im Viereck 360°

BeispielWinkel schätzen, dann messen

Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 25°, 125°, 295°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.

Schritt für Schritt

Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Der Winkel ist überstumpf (größer als 180°).
Von den drei Werten passt nur 295°.
Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.

Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Der Winkel ist überstumpf (größer als 180°).
Von den drei Werten passt nur 295°.
Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.

Ergebnis:

α ≈ 295°

ÜbenJetzt du

○4
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 15°, 130°, 245°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
So fängst du an:
Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
Lösung zeigen
1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
2. Der Winkel ist überstumpf (größer als 180°).
3. Von den drei Werten passt nur 245°.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 245°
●5
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 15°, 125°, 245°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
Lösung zeigen
1. Vergleiche mit einem rechten Winkel (90°) und einem gestreckten (180°).
2. Der Winkel ist spitz (kleiner als 90°).
3. Von den drei Werten passt nur 15°.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 15°
★6
Schätze: Welcher Wert passt zum Winkel α – 55°, 100°, 145°? Begründe mit den Bezugswinkeln 45°, 90° und 135°. Miss danach nach.
Lösung zeigen
1. 45° ist ein halber rechter Winkel, 135° ist ein rechter und ein halber.
2. Der Winkel ist größer als 90° und kleiner als 135°.
3. Nur 100° liegt dazwischen.
4. Beim Messen die Skala wählen, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt.
Ergebnis:
α ≈ 100°

3Ich zeichne Winkel mit vorgegebener Größe.

EntdeckenFrage

Warum ist jedes Dach unter einem bestimmten Winkel gebaut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil er über Regen und Schnee entscheidet. Ein Satteldach hat meist zwischen 30 und 45 Grad: flacher bleibt Wasser liegen, steiler kostet mehr Fläche und Material.

MerkenZeichnen

Schenkel zeichnen und das Geodreieck anlegen.

Gradzahl markieren, zweiten Schenkel durch die Markierung.

BeispielWinkelarten

Bestimme, welcher dieser Winkel überstumpf ist: 47°, 200°, 91°.

Schritt für Schritt

überstumpf: zwischen 180° und 360°
47° ist spitz, 200° ist überstumpf, 91° ist stumpf

überstumpf: zwischen 180° und 360°
47° ist spitz, 200° ist überstumpf, 91° ist stumpf

Ergebnis:

200°

ÜbenJetzt du

○7
Bestimme, welcher dieser Winkel spitz ist: 270°, 135°, 89°.
So fängst du an:
spitz: unter 90°
Lösung zeigen
1. spitz: unter 90°
2. 270° ist überstumpf, 135° ist stumpf, 89° ist spitz
Ergebnis:
89°
●8
Bestimme, welcher dieser Winkel stumpf ist: 225°, 47°, 179°.
Lösung zeigen
1. stumpf: zwischen 90° und 180°
2. 225° ist überstumpf, 47° ist spitz, 179° ist stumpf
Ergebnis:
179°
★9
Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 179° hat.
Lösung zeigen
1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
2. 179° → stumpf
Ergebnis:
stumpf

4Ich schätze Winkel und überprüfe durch Messen.

EntdeckenFrage

Wie weit kannst du sehen, ohne den Kopf zu drehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Etwa 180 Grad weit, aber nur in der Mitte scharf. Das wirklich scharfe Sehen deckt nur rund 2 Grad ab – alles daneben ergänzt das Gehirn aus Erfahrung.

MerkenSchätzen

Vergleiche mit 90° und 45° – dann liegst du selten mehr als 10° daneben.

BeispielStimmt das? Winkel begründen

Stimmt das? „Nebenwinkel sind zusammen immer 180°.“ Begründe deine Antwort.

Schritt für Schritt

Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
Ja – Sie ergänzen sich zum gestreckten Winkel – das sind 180°.

Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
Ja – Sie ergänzen sich zum gestreckten Winkel – das sind 180°.

Ergebnis:

Ja. Sie ergänzen sich zum gestreckten Winkel – das sind 180°.

ÜbenJetzt du

○10
Stimmt das? „Ein Dreieck kann zwei stumpfe Winkel haben.“ Begründe deine Antwort.
So fängst du an:
Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
2. Nein – Zwei stumpfe Winkel sind zusammen schon über 180°.
Ergebnis:
Nein. Zwei stumpfe Winkel sind zusammen schon über 180°.
●11
Stimmt das? „Scheitelwinkel sind immer gleich groß.“ Begründe deine Antwort.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
2. Ja – Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180°, also sind sie gleich.
Ergebnis:
Ja. Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180°, also sind sie gleich.
★12
Stimmt das? „Wenn ein Winkel im Dreieck 90° ist, sind die beiden anderen zusammen auch 90°.“ Begründe deine Antwort.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°. Gestreckter Winkel: 180°.
2. Ja – 180° − 90° = 90° bleiben übrig.
Ergebnis:
Ja. 180° − 90° = 90° bleiben übrig.

5Ich erkenne Neben- und Scheitelwinkel und berechne sie.

EntdeckenFrage

Warum reicht ein einziger gemessener Winkel an einer Kreuzung für alle vier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil der gegenüberliegende gleich groß ist und die beiden Nachbarn sich mit ihm zu 180 Grad ergänzen. Ein Wert genügt, die anderen drei ergeben sich.

MerkenNeben- und Scheitelwinkel

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Scheitelwinkel sind gleich groß.

BeispielNeben- und Scheitelwinkel

Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 155°. Berechne seinen Nebenwinkel.

Schritt für Schritt

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
180° − 155° = 25°

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
180° − 155° = 25°

Ergebnis:

25°

AchtungFalsche Skala am Geodreieck

So nicht

abgelesen: 180° − 35° = 145°

So richtig

Skala mit 0 am Schenkel → 35°

Die Skala nehmen, die am Schenkel bei 0 beginnt – sonst liest man 180° minus den Winkel.

ÜbenJetzt du

○13
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 118°. Berechne seinen Nebenwinkel.
So fängst du an:
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
Lösung zeigen
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
2. 180° − 118° = 62°
Ergebnis:
62°
●14
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 75°. Berechne seinen Nebenwinkel.
Lösung zeigen
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
2. 180° − 75° = 105°
Ergebnis:
105°
★15
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 126°. Gib alle drei anderen Winkel an.
Lösung zeigen
1. Scheitelwinkel ist gleich groß: 126°
2. Nebenwinkel: 180° − 126° = 54° (zweimal)
Ergebnis:
126°, 54°, 54°

6Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.

EntdeckenFrage

Warum kann ein Dreieck nie zwei rechte Winkel haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180°. Zwei rechte Winkel sind schon 90° + 90° = 180°. Für den dritten Winkel bliebe 180° − 180° = 0° übrig. Dann gäbe es keine dritte Ecke.

MerkenWinkelsumme

In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.

BeispielWinkelsumme im Dreieck

In einem Dreieck sind α = 34° und β = 57°. Berechne γ.

Schritt für Schritt

Winkelsumme im Dreieck: 180°
γ = 180° − 34° − 57° = 89°

Winkelsumme im Dreieck: 180°
γ = 180° − 34° − 57° = 89°

Ergebnis:

89°

AchtungWinkelsumme vergessen

So nicht

Dritter Winkel = 70° + 60°

So richtig

Dritter Winkel = 180° − 70° − 60° = 50°

Dritter Winkel = 180° minus die beiden anderen.

ÜbenJetzt du

○16
In einem Dreieck sind α = 34° und β = 75°. Berechne γ.
So fängst du an:
Winkelsumme im Dreieck: 180°
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 34° − 75° = 71°
Ergebnis:
71°
●17
In einem Dreieck sind α = 31° und β = 37°. Berechne γ.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 31° − 37° = 112°
Ergebnis:
112°
★18
Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 134°. Berechne die Basiswinkel.
Lösung zeigen
1. Basiswinkel sind gleich groß
2. (180° − 134°) : 2 = 23°
Ergebnis:
je 23°

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
Bestimme, welche Winkelart ein Winkel von 35° hat.
Lösung zeigen
1. spitz < 90° · rechter = 90° · stumpf < 180° · gestreckt = 180° · überstumpf < 360°
2. 35° → spitz
Ergebnis:
spitz
●20
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 101°. Berechne seinen Nebenwinkel.
Lösung zeigen
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
2. 180° − 101° = 79°
Ergebnis:
79°
●21
In einem Dreieck sind α = 80° und β = 40°. Berechne γ.
Lösung zeigen
1. Winkelsumme im Dreieck: 180°
2. γ = 180° − 80° − 40° = 60°
Ergebnis:
60°
●22
Berechne den kleineren Winkel zwischen den Zeigern um 11 Uhr.
Lösung zeigen
1. Jede Stunde sind 360° : 12 = 30°
2. 11 · 30° = 330°, der kleinere Winkel ist 360° − 330° = 30°
Ergebnis:
30°
●23
Bestimme, welcher dieser Winkel spitz ist: 35°, 179°, 300°.
Lösung zeigen
1. spitz: unter 90°
2. 35° ist spitz, 179° ist stumpf, 300° ist überstumpf
Ergebnis:
35°
●24
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 144°. Berechne seinen Nebenwinkel.
Lösung zeigen
1. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°
2. 180° − 144° = 36°
Ergebnis:
36°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Winkelarten: Spitz ist kleiner als 90°, recht ist genau 90°.
Messen: Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitel, Nulllinie auf einen Schenkel.
Zeichnen: Schenkel zeichnen und das Geodreieck anlegen.
Schätzen: Vergleiche mit 90° und 45° – dann liegst du selten mehr als 10° daneben.
Neben- und Scheitelwinkel: Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Scheitelwinkel sind gleich groß.
Winkelsumme: In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich benenne Winkel und unterscheide spitz, recht, stumpf, gestreckt und überstumpf.
25
Bestimme, welcher dieser Winkel überstumpf ist: 35°, 270°, 91°.
Lösung zeigen
Ergebnis:
270°
Ich messe Winkel mit dem Geodreieck.
26
Schätze zuerst: Welcher Wert passt zum Winkel α – 55°, 100°, 245°? Begründe mit der Winkelart. Miss danach mit dem Geodreieck nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
α ≈ 245°
Ich zeichne Winkel mit vorgegebener Größe.
27
Bestimme, welcher dieser Winkel stumpf ist: 179°, 78°, 225°.
Lösung zeigen
Ergebnis:
179°
Ich schätze Winkel und überprüfe durch Messen.
28
Stimmt das? „Scheitelwinkel sind immer gleich groß.“ Begründe deine Antwort.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ja. Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180°, also sind sie gleich.
Ich erkenne Neben- und Scheitelwinkel und berechne sie.
29
Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel misst 159°. Berechne seinen Nebenwinkel.
Lösung zeigen
Ergebnis:
21°
Ich nutze die Winkelsumme im Dreieck.
30
In einem Dreieck sind α = 59° und β = 63°. Berechne γ.
Lösung zeigen
Ergebnis:
58°

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Welcher der drei Winkel ist der größte? Der mit den längsten Schenkeln sieht am größten aus – stimmt das?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Winkel messen in Grad.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Schräge Fotos, Fahrrad-Lenker, Dachneigung. Beruf: Zimmerei, Physiotherapie (Gelenkwinkel), Design.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Winkel, Symmetrie, Körper und Flächeninhalt

Darauf baut auf: Winkel an Geraden und in Figuren, Symmetrie und Abbildungen, Verschieben, Spiegeln, Drehen, Zeichnen und Konstruieren

Lösungen

270°
spitz
stumpf
α ≈ 245°
α ≈ 15°
α ≈ 100°
89°
179°
stumpf
Nein. Zwei stumpfe Winkel sind zusammen schon über 180°.
Ja. Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180°, also sind sie gleich.
Ja. 180° − 90° = 90° bleiben übrig.
62°
105°
126°, 54°, 54°
71°
112°
je 23°
spitz
79°
60°
30°
35°
36°
270°
α ≈ 245°
179°
Ja. Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180°, also sind sie gleich.
21°
58°
kleiner (spitz)
B ist größer (stumpf).