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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Systematisch zählen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden schnell unübersichtlich: Manche Kombinationen stehen doppelt, andere fehlen. Die Gruppen kommen auf verschiedene Zahlen, etwa 9, 20 oder 24, und keine kann beweisen, dass ihre Zahl stimmt. Ordnung beweist Vollständigkeit: Haltet ein T-Shirt fest, geht alle Hosen durch und zu jeder Hose beide Paar Schuhe. Dann kommt das nächste T-Shirt. So entstehen 24 Möglichkeiten, und keine fehlt. Für einen ganzen Monat reicht es also nicht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Alle Möglichkeiten findet man nur mit einer Ordnung: eine Wahl festhalten, dann die anderen durchgehen.

  1. ●39
    Du hast die Ziffernkarten 1, 7, 8. Wie viele verschiedene zweistelligen Zahlen kannst du legen, wenn jede Karte nur einmal benutzt wird?
    Lösung zeigen
    1. Für die Zehnerstelle 3 Karten, dann bleiben 2 für die Einer
    2. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen
  2. ●40
    4 Kinder begrüßen sich. Jedes gibt jedem anderen einmal die Hand. Zeichne jedes Kind als Punkt. Wie viele Strecken, also Handschläge, sind es?
    ABCD?
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt gehen 3 Verbindungen aus: 4 · 3 = 12.
    2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 12 : 2 = 6.
    3. Es sind 6 Handschläge.
    Ergebnis:
    6 Handschläge

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenJede Wahl verzweigt sich

Zählen heißt: Entscheidungen nacheinander treffen. Jede Entscheidung verzweigt den Weg. Hat jede Stufe gleich viele Äste, wächst die Zahl der Möglichkeiten durch Malnehmen, nicht durch Addieren.

Baumdiagramm für drei Kinder A, B, C in einer Reihe: 3 mal 2 mal 1 sind 6 ReihenfolgenABCABCCBACBBACBACCABCACABCABBACBA3 · 2 · 1= 6

WeiterdenkenDenk nach

Warum gibt es bei drei Hosen und vier Pullis mehr als sieben Möglichkeiten? Wie siehst du das, ohne alles aufzuschreiben?

1Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

EntdeckenFrage

Wie lange braucht man, um bei einem Zahlenschloss mit drei Rädchen alle Einstellungen durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Rädchen hat die Ziffern 0 bis 9, also 10 · 10 · 10 = 1000 Einstellungen. Wer für jede Einstellung eine Sekunde braucht, ist nach 1000 Sekunden fertig, das sind knapp 17 Minuten. Deshalb sind Schlösser mit drei Rädchen für Fahrräder nicht besonders sicher.

MerkenGeordnete Liste

Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.

Dann nimm die nächste erste Wahl. So fehlt nichts, und nichts steht doppelt.

BeispielAlle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste

Mia hat zwei T-Shirts (rot, blau) und zwei Hosen (Jeans, Shorts). Sie zieht von jedem Teil eines an. Halte zuerst das T-Shirt fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
rotblauJeansShorts
Schritt für Schritt
  1. rot: rot mit Jeans, rot mit Shorts
  2. blau: blau mit Jeans, blau mit Shorts
  3. 2 + 2 = 4
  1. rot: rot mit Jeans, rot mit Shorts
  2. blau: blau mit Jeans, blau mit Shorts
  3. 2 + 2 = 4
Ergebnis:
4 Möglichkeiten

AchtungMöglichkeiten vergessen oder doppelt aufgeschrieben

So nicht
3 T-Shirts, 2 Hosen: rot mit Jeans, blau mit Shorts, grün mit Jeans → 3 Möglichkeiten
So richtig
3 T-Shirts, 2 Hosen: zu jedem T-Shirt 2 Hosen → 2 + 2 + 2 = 6 Möglichkeiten

Erst die erste Wahl festhalten und alle anderen durchgehen, dann die nächste erste Wahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia hat drei T-Shirts (rot, blau, grün) und drei Hosen (Jeans, Shorts, Rock). Sie zieht von jedem Teil eines an. Halte zuerst das T-Shirt fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    rotblaugrünJeansShortsRock
    So fängst du an:
    rot: rot mit Jeans, rot mit Shorts, rot mit Rock
    Lösung zeigen
    1. rot: rot mit Jeans, rot mit Shorts, rot mit Rock
    2. blau: blau mit Jeans, blau mit Shorts, blau mit Rock
    3. grün: grün mit Jeans, grün mit Shorts, grün mit Rock
    4. 3 + 3 + 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Möglichkeiten
  2. ●2
    Mia hat zwei T-Shirts (grün, gelb) und zwei Hosen (Jeans, Shorts). Sie zieht von jedem Teil eines an. Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
    grüngelbJeansShorts
    Lösung zeigen
    1. grün: grün mit Jeans, grün mit Shorts
    2. gelb: gelb mit Jeans, gelb mit Shorts
    3. 2 + 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten
  3. ★3
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen drei Brotsorten (Brötchen, Toast, Brezel) und zwei Beläge (Käse, Quark), dazu zwei Getränke (Milch, Saft). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    BrötchenToastBrezelKäseQuarkMilchSaft
    Lösung zeigen
    1. Brötchen: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
    2. Toast: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
    3. Brezel: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
    4. 4 + 4 + 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Möglichkeiten

2Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bank eine Karte schon nach drei falschen PIN-Versuchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, trifft mit drei Versuchen nur 3 von 10.000 Möglichkeiten. Dürfte man unbegrenzt probieren, wäre jede Karte irgendwann geknackt.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.

Jedes Ende des Baumes ist genau eine Möglichkeit.

BeispielMit dem Baumdiagramm Möglichkeiten zählen

Mia hat drei T-Shirts (rot, blau, grün) und zwei Hosen (Jeans, Shorts). Sie zieht von jedem Teil eines an. Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
rotJeansShortsblauJeansShortsgrünJeansShortsAnzahl der Enden:?
Schritt für Schritt
  1. Stufe 1: 3 Äste.
  2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.
  1. Stufe 1: 3 Äste.
  2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.
Ergebnis:
6 Möglichkeiten

AchtungAddiert statt malgenommen

So nicht
3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten
So richtig
3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia hat drei T-Shirts (rot, grün, gelb) und drei Hosen (Jeans, Shorts, Rock). Sie zieht von jedem Teil eines an. Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
    rotJeansShortsRockgrünJeansShortsRockgelbJeansShortsRockAnzahl der Enden:?
    So fängst du an:
    Stufe 1: 3 Äste.
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 3 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 3 · 3 = 9 Enden.
    Ergebnis:
    9 Möglichkeiten
  2. ●5
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen drei Brotsorten (Brötchen, Toast, Brezel) und zwei Beläge (Käse, Marmelade). Jedes Ende des Baumes ist eine Möglichkeit. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    BrötchenKäseMarmeladeToastKäseMarmeladeBrezelKäseMarmeladeAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 3 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.
    Ergebnis:
    6 Möglichkeiten
  3. ★6
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Schoko, Mango) und zwei Gefäße (Waffel, Becher), dazu zwei Soßen (Karamell, Himbeere). Jedes Ende des Baumes ist eine Möglichkeit. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    SchokoWaffelKaramellHimbeereBecherKaramellHimbeereMangoWaffelKaramellHimbeereBecherKaramellHimbeereAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 2 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 2 · 2 = 4 Enden.
    3. Stufe 3: an jedem Ende 2 Äste, also 4 · 2 = 8 Enden.
    Ergebnis:
    8 Möglichkeiten

3Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Bundesliga-Saison mit 18 Mannschaften?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Mannschaft spielt gegen jede andere zweimal, einmal zu Hause und einmal auswärts. Weil Heim und Gast verschieden sind, zählt die Reihenfolge: 18 · 17 = 306 Spiele. Das passt zu 34 Spieltagen mit je 9 Spielen.

MerkenZählregel

Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.

Drei Hosen und vier Pullis ergeben 3 · 4 = 12 Möglichkeiten.

BeispielZählregel: Möglichkeiten malnehmen

Beim Sticker-Automat gibt es 5 Formen, 2 Farben und 4 Motive. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Sticker sind möglich?
Form 1Form 2Form 3Form 4Form 5Farb 1Farb 2Motiv 1Motiv 2Motiv 3Motiv 4
Schritt für Schritt
  1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
  2. 5 · 2 · 4 = 40
  1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
  2. 5 · 2 · 4 = 40
Ergebnis:
40 Sticker

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Laden bietet 3 Rahmenfarben, 2 Sattelfarben und 4 Klingeln an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Fahrräder es gibt.
    So fängst du an:
    An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 3 · 2 · 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Fahrräder
  2. ●8
    Von Nordheim nach Mittelstadt führen 3 Wege, von Mittelstadt nach Südhafen 3 Wege. Wie viele verschiedene Wege gibt es von Nordheim nach Südhafen?
    NordheimMittelstadtSüdhafen
    Lösung zeigen
    1. Zu jedem Weg der ersten Strecke passt jeder Weg der zweiten.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Wege
  3. ★9
    Beim Schulfest-Menü gibt es 5 Vorspeisen und 3 Hauptgerichte. Insgesamt kann man 30 verschiedene Menüs zusammenstellen. Wie viele Nachtische gibt es?
    Vorspeis 1Vorspeis 2Vorspeis 3Vorspeis 4Vorspeis 5Hauptgericht 1Hauptgericht 2Hauptgericht 3
    Lösung zeigen
    1. Zählregel: 5 · 3 · ? = 30
    2. 5 · 3 = 15
    3. 30 : 15 = 2
    Ergebnis:
    2 Nachtische

4Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand ein Kartenspiel genau so gemischt wie du eben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast sicher nicht. Für 52 Karten gibt es 52 · 51 · 50 · … · 2 · 1 Reihenfolgen. Das ist eine Zahl mit 68 Stellen. Selbst wenn alle Menschen seit Tausenden von Jahren jede Sekunde mischen würden, käme man nicht annähernd an diese Zahl heran.

MerkenReihenfolgen

Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.

Vier Kinder in einer Reihe: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

BeispielReihenfolgen zählen

4 verschiedene Bücher sollen nebeneinander ins Regal. Auf wie viele Arten kann man sie anordnen?
Schritt für Schritt
  1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
  2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
  3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
  1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
  2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
  3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Reihenfolgen

AchtungReihenfolgen ohne Abnahme gezählt

So nicht
4 Kinder in einer Reihe → 4 · 4 · 4 · 4 = 256
So richtig
4 Kinder in einer Reihe → 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ein besetzter Platz fehlt beim nächsten: 4 · 3 · 2 · 1, nicht 4 · 4 · 4 · 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Ali, Dana, Greta und Cem stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
    So fängst du an:
    Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
    Lösung zeigen
    1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
    Ergebnis:
    24 Reihenfolgen
  2. ●11
    Eine Staffel hat 3 Läuferinnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wer als Erste, Zweite und so weiter läuft?
    Lösung zeigen
    1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 3 · 2 · 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Reihenfolgen
  3. ★12
    Eine Staffel hat 5 Läuferinnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wer als Erste, Zweite und so weiter läuft?
    Lösung zeigen
    1. Für den ersten Platz gibt es 5 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 4.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
    Ergebnis:
    120 Reihenfolgen

5Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Sechser im Lotto so selten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, und die Reihenfolge ist egal. Geordnet gäbe es 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten. Jede Auswahl kommt dabei 720-mal vor, also teilt man und erhält 13.983.816 verschiedene Tippreihen.

MerkenZiffernkarten

Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.

Ohne Wiederholung gibt es von Stelle zu Stelle eine Karte weniger. Eine 0 darf nicht vorn stehen.

BeispielZahlen aus Ziffernkarten zählen

Du hast die Ziffernkarten 1, 3 und 5. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
135?
Schritt für Schritt
  1. Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
  2. 3 · 2 · 1 = 6
  1. Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
  2. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen

AchtungBedingung nicht zuerst beachtet

So nicht
Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6
So richtig
Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Von den Ziffernkarten 4, 5 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
    458?
    So fängst du an:
    Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    Lösung zeigen
    1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Zahlen
  2. ●14
    Du hast die Ziffernkarten 6, 8 und 9. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
    689?
    Lösung zeigen
    1. Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
    2. 3 · 2 · 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen
  3. ★15
    Lege mit den Karten 3, 5 und 6 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
    356?
    Lösung zeigen
    1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
    2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 653.
    3. Die kleinste wäre 356.
    Ergebnis:
    6 Zahlen, größte 653

6Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Handschläge gibt es, wenn sich alle 28 Kinder einer Klasse begrüßen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Kind gibt 27 anderen die Hand, das ergibt 28 · 27 = 756. Dabei ist jeder Handschlag zweimal gezählt, einmal von jedem Kind aus. Also sind es 756 : 2 = 378 Handschläge.

MerkenUngeordnete Paare

Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.

Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielPaare zählen, wenn die Reihenfolge egal ist

4 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
1234
Schritt für Schritt
  1. Jedes der 4 Kinder hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
  2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
  3. 12 : 2 = 6
  1. Jedes der 4 Kinder hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
  2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
  3. 12 : 2 = 6
Ergebnis:
6 Handschläge

AchtungPaare doppelt gezählt

So nicht
5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 = 20 Handschläge
So richtig
5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge

Ist die Reihenfolge egal, kommt jedes Paar zweimal vor: halbieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Eisdiele hat 6 Sorten. Emil will zwei verschiedene Kugeln. Die Reihenfolge im Becher ist ihm egal. Wie viele Möglichkeiten hat er?
    123456
    So fängst du an:
    Jede der 6 Sorten hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
    Lösung zeigen
    1. Jede der 6 Sorten hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 30 : 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Möglichkeiten
  2. ●17
    7 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
    1234567
    Lösung zeigen
    1. Jedes der 7 Kinder hat 6 Partner: 7 · 6 = 42
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 42 : 2 = 21
    Ergebnis:
    21 Handschläge
  3. ★18
    Bei einem Turnier spielen 10 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    12345678910
    Lösung zeigen
    1. Jede der 10 Mannschaften hat 9 Partner: 10 · 9 = 90
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 90 : 2 = 45
    Ergebnis:
    45 Spiele

7Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

EntdeckenFrage

Wie oft am Tag zeigt eine Digitaluhr eine Uhrzeit, die man vorwärts und rückwärts gleich liest, wie 12:21?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Minuten sind die Stunde rückwärts. Die zweite Stundenziffer wird zur ersten Minutenziffer und darf höchstens 5 sein. Bei 00 bis 15 sind das 12 Zeiten, bei 20 bis 23 noch 4. Zusammen sind es 16 Zeiten am Tag.

MerkenBedingungen

Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.

Danach verteilt man die übrigen Möglichkeiten mit der Zählregel.

BeispielZählen mit Bedingungen

Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 6. Die erste Ziffer ist ungerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
Schritt für Schritt
  1. Erstes Rädchen: 1, 3 oder 5. Das sind 3 Möglichkeiten.
  2. Jedes andere Rädchen: 6 Möglichkeiten, zusammen 6 · 6 = 36.
  3. 3 · 36 = 108
  1. Erstes Rädchen: 1, 3 oder 5. Das sind 3 Möglichkeiten.
  2. Jedes andere Rädchen: 6 Möglichkeiten, zusammen 6 · 6 = 36.
  3. 3 · 36 = 108
Ergebnis:
108 Einstellungen

AchtungNoch einmal: Bedingung nicht zuerst beachtet

So nicht
Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6
So richtig
Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
    So fängst du an:
    Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
    Lösung zeigen
    1. Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
    2. Jedes andere Rädchen: 9 Möglichkeiten, zusammen 9 · 9 = 81.
    3. 5 · 81 = 405
    Ergebnis:
    405 Einstellungen
  2. ●20
    Mit den Karten 1, 5, 6 und 9 werden dreistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Wie viele davon sind größer als 599?
    1569?
    Lösung zeigen
    1. Größer als 599 heißt: vorn steht eine Ziffer größer als 5.
    2. Dafür gibt es 2 Karten, danach noch 3 und 2.
    3. 2 · 3 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Zahlen
  3. ★21
    Ali, Bea, Cem, Dana und Eli stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Ali möchte unbedingt ganz links stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Bedingung zuerst: Der Platz ganz links ist fest, das ist 1 Möglichkeit.
    2. Die übrigen 4 Kinder verteilen sich auf 4 Plätze.
    3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
    Ergebnis:
    24 Möglichkeiten

8Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Dominospiel mit den Augen 0 bis 6 genau 28 Steine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 7 Doppelsteine von 0|0 bis 6|6. Für zwei verschiedene Zahlen gibt es 7 · 6 = 42 Reihenfolgen. Der Stein 3|5 ist aber derselbe wie 5|3, also teilt man durch 2 und erhält 21. Zusammen sind es 7 + 21 = 28 Steine.

MerkenKontrolle

Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Darf sich etwas wiederholen? Zum Schluss mit einer kleinen Liste prüfen.

BeispielZählaufgaben aus dem Alltag

In der Klasse stehen 5 Kinder zur Wahl. Gewählt werden eine Klassensprecherin und eine Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Schritt für Schritt
  1. Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
  2. Sprecherin: 5 Möglichkeiten, Stellvertreterin: noch 4.
  3. 5 · 4 = 20
  1. Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
  2. Sprecherin: 5 Möglichkeiten, Stellvertreterin: noch 4.
  3. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Möglichkeiten

AchtungNoch einmal: Addiert statt malgenommen

So nicht
3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten
So richtig
3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Code für den Spind besteht aus zwei Farben hintereinander. Es gibt 3 Farben, und eine Farbe darf mehrmals vorkommen. Wie viele Codes gibt es?
    123
    So fängst du an:
    Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
    Lösung zeigen
    1. Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
    2. Wiederholen ist erlaubt: jede Stelle hat alle Farben.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Codes
  2. ●23
    Für die Theateraufführung gibt es 2 Hüte und 4 Umhänge. Jede Figur trägt von jedem Teil genau eines. Wie viele verschiedene Kostüme gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
    2. 2 · 4 = 8
    3. Kontrolle: Ein Baumdiagramm hätte genauso viele Enden.
    Ergebnis:
    8 Kostüme
  3. ★24
    Auf einer Pizza sollen zwei verschiedene Beläge liegen. Es gibt 7 Beläge. Wie viele verschiedene Pizzen gibt es? Achte darauf, ob die Reihenfolge zählt.
    1234567
    Lösung zeigen
    1. Käse und Pilze ist dieselbe Pizza wie Pilze und Käse: Die Reihenfolge zählt nicht.
    2. Geordnet: 7 · 6 = 42, jede Pizza zweimal.
    3. 42 : 2 = 21
    Ergebnis:
    21 Pizzen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen drei Brotsorten (Brötchen, Toast, Brezel) und drei Beläge (Honig, Marmelade, Quark). Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat es? Ordne deine Liste, damit keine fehlt.
    BrötchenToastBrezelHonigMarmeladeQuark
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    1. Brötchen: Brötchen mit Honig, Brötchen mit Marmelade, Brötchen mit Quark
    2. Toast: Toast mit Honig, Toast mit Marmelade, Toast mit Quark
    3. Brezel: Brezel mit Honig, Brezel mit Marmelade, Brezel mit Quark
    4. 3 + 3 + 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Möglichkeiten
  2. ●26
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Vanille, Schoko) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Jonas hat die Möglichkeiten aufgeschrieben: Vanille im Becher; Schoko in der Waffel; Schoko im Becher. Eine Möglichkeit fehlt. Welche ist es?
    VanilleSchokoWaffelBecher
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    1. Es müssten 2 · 2 = 4 Möglichkeiten sein.
    2. Ordne nach der ersten Wahl:
    3. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
    4. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
    5. Es fehlt: Vanille in der Waffel.
    Ergebnis:
    Vanille in der Waffel
  3. ●27
    Mia hat drei T-Shirts (rot, blau, gelb) und zwei Hosen (Jeans, Shorts). Sie zieht von jedem Teil eines an. Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
    rotJeansShortsblauJeansShortsgelbJeansShortsAnzahl der Enden:?
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    1. Stufe 1: 3 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.
    Ergebnis:
    6 Möglichkeiten
  4. ●28
    Beim Pizzabäckerei gibt es 2 Teigsorten, 2 Soßen und 3 Beläge. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Pizzen sind möglich?
    Teigsort 1Teigsort 2Soß 1Soß 2Beläg 1Beläg 2Beläg 3
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    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 2 · 2 · 3 = 12
    Ergebnis:
    12 Pizzen
  5. ●29
    Cem, Dana und Greta stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
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    1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 3 · 2 · 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Reihenfolgen
  6. ●30
    Von den Ziffernkarten 4, 6 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
    468?
    Lösung zeigen
    1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Zahlen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Geordnete Liste
Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.
Baumdiagramm
Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.
Zählregel
Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.
Reihenfolgen
Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.
Ziffernkarten
Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.
Ungeordnete Paare
Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.
Bedingungen
Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.
Kontrolle
Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

    31
    Mia hat vier T-Shirts (rot, blau, grün, gelb) und drei Hosen (Jeans, Shorts, Rock). Sie zieht von jedem Teil eines an. Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
    rotblaugrüngelbJeansShortsRock
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    Ergebnis:
    12 Möglichkeiten

  2. Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

    32
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen drei Brotsorten (Brötchen, Toast, Brezel) und drei Beläge (Käse, Honig, Quark). Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
    BrötchenKäseHonigQuarkToastKäseHonigQuarkBrezelKäseHonigQuarkAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Möglichkeiten

  3. Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

    33
    Beim Schulfest-Menü gibt es 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 4 Nachtische. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
    Vorspeis 1Vorspeis 2Hauptgericht 1Hauptgericht 2Hauptgericht 3Hauptgericht 4Nachtisch 1Nachtisch 2Nachtisch 3Nachtisch 4
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    Ergebnis:
    32 Menüs

  4. Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

    34
    Beim Sportfest laufen 6 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    120 Möglichkeiten

  5. Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

    35
    Von den Ziffernkarten 2, 6 und 7 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
    267?
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    Ergebnis:
    9 Zahlen

  6. Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

    36
    Bei einem Turnier spielen 4 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    1234
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Spiele

  7. Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

    37
    Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    405 Einstellungen

  8. Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

    38
    4 Freundinnen schicken sich zum Geburtstag Karten. Jede schreibt jeder anderen genau eine Karte. Wie viele Karten werden verschickt? Und wie viele Paare von Freundinnen gibt es?
    1234
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Karten, 6 Paare

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die geordnete Liste, die beweist, dass keine Möglichkeit fehlt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Outfits kombinieren, einen Turnierplan aufstellen, ein Zahlenschloss einschätzen. Beruf: Sicherheit von Passwörtern, Routenplanung in der Logistik, Menüplanung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

Darauf baut auf: Daten vergleichen und Zufall untersuchen

Lösungen

  1. 9 Möglichkeiten
  2. 4 Möglichkeiten
  3. 12 Möglichkeiten
  4. 9 Möglichkeiten
  5. 6 Möglichkeiten
  6. 8 Möglichkeiten
  7. 24 Fahrräder
  8. 9 Wege
  9. 2 Nachtische
  10. 24 Reihenfolgen
  11. 6 Reihenfolgen
  12. 120 Reihenfolgen
  13. 9 Zahlen
  14. 6 Zahlen
  15. 6 Zahlen, größte 653
  16. 15 Möglichkeiten
  17. 21 Handschläge
  18. 45 Spiele
  19. 405 Einstellungen
  20. 12 Zahlen
  21. 24 Möglichkeiten
  22. 9 Codes
  23. 8 Kostüme
  24. 21 Pizzen
  25. 9 Möglichkeiten
  26. Vanille in der Waffel
  27. 6 Möglichkeiten
  28. 12 Pizzen
  29. 6 Reihenfolgen
  30. 9 Zahlen
  31. 12 Möglichkeiten
  32. 9 Möglichkeiten
  33. 32 Menüs
  34. 120 Möglichkeiten
  35. 9 Zahlen
  36. 6 Spiele
  37. 405 Einstellungen
  38. 12 Karten, 6 Paare
  39. 6 Zahlen
  40. 6 Handschläge