Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Systematisch zählen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden schnell unübersichtlich: Manche Kombinationen stehen doppelt, andere fehlen. Die Gruppen kommen auf verschiedene Zahlen, etwa 9, 20 oder 24, und keine kann beweisen, dass ihre Zahl stimmt. Ordnung beweist Vollständigkeit: Haltet ein T-Shirt fest, geht alle Hosen durch und zu jeder Hose beide Paar Schuhe. Dann kommt das nächste T-Shirt. So entstehen 24 Möglichkeiten, und keine fehlt. Für einen ganzen Monat reicht es also nicht.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Alle Möglichkeiten findet man nur mit einer Ordnung: eine Wahl festhalten, dann die anderen durchgehen.

●39
Du hast die Ziffernkarten 4, 6, 9. Wie viele verschiedene zweistelligen Zahlen kannst du legen, wenn jede Karte nur einmal benutzt wird?
Lösung zeigen
1. Für die Zehnerstelle 3 Karten, dann bleiben 2 für die Einer
2. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen
●40
6 Orte sollen so verbunden werden, dass von jedem Ort ein gerader Weg zu jedem anderen führt. Zeichne jeden Ort als Punkt. Wie viele Wege braucht man?
Lösung zeigen
1. Von jedem Punkt gehen 5 Verbindungen aus: 6 · 5 = 30.
2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 30 : 2 = 15.
3. Man braucht 15 Wege.
Ergebnis:
15 Wege

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenJede Wahl verzweigt sich

Zählen heißt: Entscheidungen nacheinander treffen. Jede Entscheidung verzweigt den Weg. Hat jede Stufe gleich viele Äste, wächst die Zahl der Möglichkeiten durch Malnehmen, nicht durch Addieren.

WeiterdenkenDenk nach

Warum gibt es bei drei Hosen und vier Pullis mehr als sieben Möglichkeiten? Wie siehst du das, ohne alles aufzuschreiben?

1Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

EntdeckenFrage

Wie lange braucht man, um bei einem Zahlenschloss mit drei Rädchen alle Einstellungen durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Rädchen hat die Ziffern 0 bis 9, also 10 · 10 · 10 = 1000 Einstellungen. Wer für jede Einstellung eine Sekunde braucht, ist nach 1000 Sekunden fertig, das sind knapp 17 Minuten. Deshalb sind Schlösser mit drei Rädchen für Fahrräder nicht besonders sicher.

MerkenGeordnete Liste

Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.

Dann nimm die nächste erste Wahl. So fehlt nichts, und nichts steht doppelt.

BeispielAlle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste

Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt drei Eissorten (Schoko, Erdbeere, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
Erdbeere: Erdbeere in der Waffel, Erdbeere im Becher
Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
2 + 2 + 2 = 6

Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
Erdbeere: Erdbeere in der Waffel, Erdbeere im Becher
Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
2 + 2 + 2 = 6

Ergebnis:

6 Möglichkeiten

AchtungMöglichkeiten vergessen oder doppelt aufgeschrieben

So nicht

3 T-Shirts, 2 Hosen: rot mit Jeans, blau mit Shorts, grün mit Jeans → 3 Möglichkeiten

So richtig

3 T-Shirts, 2 Hosen: zu jedem T-Shirt 2 Hosen → 2 + 2 + 2 = 6 Möglichkeiten

Erst die erste Wahl festhalten und alle anderen durchgehen, dann die nächste erste Wahl.

ÜbenJetzt du

○1
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt drei Eissorten (Vanille, Schoko, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
So fängst du an:
Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
Lösung zeigen
1. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
2. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
3. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
4. 2 + 2 + 2 = 6
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●2
In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Wasser, Kakao) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat es? Ordne deine Liste, damit keine fehlt.
Lösung zeigen
1. Saft: Saft mit Apfel, Saft mit Banane, Saft mit Müsliriegel
2. Wasser: Wasser mit Apfel, Wasser mit Banane, Wasser mit Müsliriegel
3. Kakao: Kakao mit Apfel, Kakao mit Banane, Kakao mit Müsliriegel
4. 3 + 3 + 3 = 9
Ergebnis:
9 Möglichkeiten
★3
Mia hat zwei T-Shirts (blau, grün) und zwei Hosen (Jeans, Shorts) und zwei Paar Schuhe (Turnschuhe, Sandalen). Sie zieht von jedem Teil eines an. Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. blau: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
2. grün: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
3. 4 + 4 = 8
Ergebnis:
8 Möglichkeiten

2Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bank eine Karte schon nach drei falschen PIN-Versuchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, trifft mit drei Versuchen nur 3 von 10.000 Möglichkeiten. Dürfte man unbegrenzt probieren, wäre jede Karte irgendwann geknackt.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.

Jedes Ende des Baumes ist genau eine Möglichkeit.

BeispielMit dem Baumdiagramm Möglichkeiten zählen

Mia hat drei T-Shirts (rot, blau, gelb) und zwei Hosen (Shorts, Rock). Sie zieht von jedem Teil eines an. Jedes Ende des Baumes ist eine Möglichkeit. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Schritt für Schritt

Stufe 1: 3 Äste.
Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.

Stufe 1: 3 Äste.
Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.

Ergebnis:

6 Möglichkeiten

AchtungAddiert statt malgenommen

So nicht

3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten

So richtig

3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Münze wird 2-mal geworfen. Jedes Mal zeigt sie Kopf (K) oder Zahl (Z). Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Enden hat es?
So fängst du an:
Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
Lösung zeigen
1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
3. 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Enden
●5
Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen zwei Brotsorten (Toast, Brezel) und drei Beläge (Käse, Marmelade, Quark). Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 2 Äste.
2. Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 2 · 3 = 6 Enden.
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
★6
In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Wasser, Kakao) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Außerdem gibt es zwei Orte zum Sitzen (Hof, Mensa). Can wählt von jedem eines. Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 3 Äste.
2. Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 3 · 3 = 9 Enden.
3. Stufe 3: an jedem Ende 2 Äste, also 9 · 2 = 18 Enden.
Ergebnis:
18 Möglichkeiten

3Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Bundesliga-Saison mit 18 Mannschaften?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Mannschaft spielt gegen jede andere zweimal, einmal zu Hause und einmal auswärts. Weil Heim und Gast verschieden sind, zählt die Reihenfolge: 18 · 17 = 306 Spiele. Das passt zu 34 Spieltagen mit je 9 Spielen.

MerkenZählregel

Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.

Drei Hosen und vier Pullis ergeben 3 · 4 = 12 Möglichkeiten.

BeispielZählregel: Möglichkeiten malnehmen

Von Nordheim nach Mittelstadt führen 3 Wege, von Mittelstadt nach Südhafen 3 Wege. Wie viele verschiedene Wege gibt es von Nordheim nach Südhafen?

Schritt für Schritt

Zu jedem Weg der ersten Strecke passt jeder Weg der zweiten.
3 · 3 = 9

Zu jedem Weg der ersten Strecke passt jeder Weg der zweiten.
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Wege

AchtungPlus statt mal

So nicht

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9

So richtig

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Automat bietet 3 Formen, 2 Farben und 4 Motive an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Sticker es gibt.
So fängst du an:
An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 3 · 2 · 4 = 24
Ergebnis:
24 Sticker
●8
Ein Laden bietet 4 Rahmenfarben, 4 Sattelfarben und 3 Klingeln an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Fahrräder es gibt.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 4 · 4 · 3 = 48
Ergebnis:
48 Fahrräder
★9
Ein Laden bietet 3 Rahmenfarben, 3 Sattelfarben und 3 Klingeln an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Fahrräder es gibt.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 3 · 3 · 3 = 27
Ergebnis:
27 Fahrräder

4Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand ein Kartenspiel genau so gemischt wie du eben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast sicher nicht. Für 52 Karten gibt es 52 · 51 · 50 · … · 2 · 1 Reihenfolgen. Das ist eine Zahl mit 68 Stellen. Selbst wenn alle Menschen seit Tausenden von Jahren jede Sekunde mischen würden, käme man nicht annähernd an diese Zahl heran.

MerkenReihenfolgen

Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.

Vier Kinder in einer Reihe: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

BeispielReihenfolgen zählen

Eine Staffel hat 3 Läuferinnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wer als Erste, Zweite und so weiter läuft?

Schritt für Schritt

Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3 · 2 · 1 = 6

Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3 · 2 · 1 = 6

Ergebnis:

6 Reihenfolgen

AchtungReihenfolgen ohne Abnahme gezählt

So nicht

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 4 · 4 · 4 = 256

So richtig

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ein besetzter Platz fehlt beim nächsten: 4 · 3 · 2 · 1, nicht 4 · 4 · 4 · 4.

ÜbenJetzt du

○10
Eli, Ali, Cem und Bea stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
So fängst du an:
Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
Lösung zeigen
1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Reihenfolgen
●11
Beim Sportfest laufen 4 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
Lösung zeigen
1. Gold: 4 Kinder möglich, Silber: noch 3, Bronze: noch 2.
2. 4 · 3 · 2 = 24
Ergebnis:
24 Möglichkeiten
★12
Beim Sportfest laufen 8 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
Lösung zeigen
1. Gold: 8 Kinder möglich, Silber: noch 7, Bronze: noch 6.
2. 8 · 7 · 6 = 336
Ergebnis:
336 Möglichkeiten

5Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Sechser im Lotto so selten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, und die Reihenfolge ist egal. Geordnet gäbe es 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten. Jede Auswahl kommt dabei 720-mal vor, also teilt man und erhält 13.983.816 verschiedene Tippreihen.

MerkenZiffernkarten

Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.

Ohne Wiederholung gibt es von Stelle zu Stelle eine Karte weniger. Eine 0 darf nicht vorn stehen.

BeispielZahlen aus Ziffernkarten zählen

Von den Ziffernkarten 1, 5 und 6 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?

Schritt für Schritt

Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
3 · 3 = 9

Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Zahlen

AchtungBedingung nicht zuerst beachtet

So nicht

Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6

So richtig

Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

○13
Lege mit den Karten 6, 7 und 8 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
So fängst du an:
Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
Lösung zeigen
1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 876.
3. Die kleinste wäre 678.
Ergebnis:
6 Zahlen, größte 876
●14
Lege mit den Karten 1, 4 und 9 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
Lösung zeigen
1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 941.
3. Die kleinste wäre 149.
Ergebnis:
6 Zahlen, größte 941
★15
Lege mit den Karten 1, 3 und 5 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
Lösung zeigen
1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 531.
3. Die kleinste wäre 135.
Ergebnis:
6 Zahlen, größte 531

6Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Handschläge gibt es, wenn sich alle 28 Kinder einer Klasse begrüßen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Kind gibt 27 anderen die Hand, das ergibt 28 · 27 = 756. Dabei ist jeder Handschlag zweimal gezählt, einmal von jedem Kind aus. Also sind es 756 : 2 = 378 Handschläge.

MerkenUngeordnete Paare

Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.

Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielPaare zählen, wenn die Reihenfolge egal ist

Eine Eisdiele hat 5 Sorten. Emil will zwei verschiedene Kugeln. Die Reihenfolge im Becher ist ihm egal. Wie viele Möglichkeiten hat er?

Schritt für Schritt

Jede der 5 Sorten hat 4 Partner: 5 · 4 = 20
So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
20 : 2 = 10

Jede der 5 Sorten hat 4 Partner: 5 · 4 = 20
So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
20 : 2 = 10

Ergebnis:

10 Möglichkeiten

AchtungPaare doppelt gezählt

So nicht

5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 = 20 Handschläge

So richtig

5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge

Ist die Reihenfolge egal, kommt jedes Paar zweimal vor: halbieren.

ÜbenJetzt du

○16
8 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
So fängst du an:
Jedes der 8 Kinder hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
Lösung zeigen
1. Jedes der 8 Kinder hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Handschläge
●17
Bei einem Turnier spielen 6 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
Lösung zeigen
1. Jede der 6 Mannschaften hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 30 : 2 = 15
Ergebnis:
15 Spiele
★18
Eine Eisdiele hat 7 Sorten. Emil will zwei verschiedene Kugeln. Die Reihenfolge im Becher ist ihm egal. Wie viele Möglichkeiten hat er?
Lösung zeigen
1. Jede der 7 Sorten hat 6 Partner: 7 · 6 = 42
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 42 : 2 = 21
Ergebnis:
21 Möglichkeiten

7Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

EntdeckenFrage

Wie oft am Tag zeigt eine Digitaluhr eine Uhrzeit, die man vorwärts und rückwärts gleich liest, wie 12:21?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Minuten sind die Stunde rückwärts. Die zweite Stundenziffer wird zur ersten Minutenziffer und darf höchstens 5 sein. Bei 00 bis 15 sind das 12 Zeiten, bei 20 bis 23 noch 4. Zusammen sind es 16 Zeiten am Tag.

MerkenBedingungen

Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.

Danach verteilt man die übrigen Möglichkeiten mit der Zählregel.

BeispielZählen mit Bedingungen

Mit den Karten 1, 4, 6 und 7 werden dreistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Wie viele davon sind größer als 499?

Schritt für Schritt

Größer als 499 heißt: vorn steht eine Ziffer größer als 4.
Dafür gibt es 2 Karten, danach noch 3 und 2.
2 · 3 · 2 = 12

Größer als 499 heißt: vorn steht eine Ziffer größer als 4.
Dafür gibt es 2 Karten, danach noch 3 und 2.
2 · 3 · 2 = 12

Ergebnis:

12 Zahlen

AchtungNoch einmal: Bedingung nicht zuerst beachtet

So nicht

Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6

So richtig

Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

○19
Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 6. Die erste Ziffer ist ungerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
So fängst du an:
Erstes Rädchen: 1, 3 oder 5. Das sind 3 Möglichkeiten.
Lösung zeigen
1. Erstes Rädchen: 1, 3 oder 5. Das sind 3 Möglichkeiten.
2. Jedes andere Rädchen: 6 Möglichkeiten, zusammen 6 · 6 = 36.
3. 3 · 36 = 108
Ergebnis:
108 Einstellungen
●20
Mit den Karten 5, 6, 7 und 9 werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Die Zahl soll gerade sein. Wie viele gibt es?
Lösung zeigen
1. Bedingung zuerst: Die letzte Stelle muss gerade sein, dafür gibt es 1 Karten.
2. Die erste Stelle: noch 3 Karten.
3. 1 · 3 = 3
Ergebnis:
3 Zahlen
★21
Ein Zahlenschloss hat 4 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 6. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
Lösung zeigen
1. Erstes Rädchen: 1, 3 oder 5. Das sind 3 Möglichkeiten.
2. Jedes andere Rädchen: 6 Möglichkeiten, zusammen 6 · 6 · 6 = 216.
3. 3 · 216 = 648
Ergebnis:
648 Einstellungen

8Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Dominospiel mit den Augen 0 bis 6 genau 28 Steine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 7 Doppelsteine von 0|0 bis 6|6. Für zwei verschiedene Zahlen gibt es 7 · 6 = 42 Reihenfolgen. Der Stein 3|5 ist aber derselbe wie 5|3, also teilt man durch 2 und erhält 21. Zusammen sind es 7 + 21 = 28 Steine.

MerkenKontrolle

Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Darf sich etwas wiederholen? Zum Schluss mit einer kleinen Liste prüfen.

BeispielZählaufgaben aus dem Alltag

5 Freundinnen schicken sich zum Geburtstag Karten. Jede schreibt jeder anderen genau eine Karte. Wie viele Karten werden verschickt? Und wie viele Paare von Freundinnen gibt es?

Schritt für Schritt

Karten: Die Reihenfolge zählt, Absenderin und Empfängerin sind verschieden.
5 · 4 = 20 Karten
Paare: jedes Paar zweimal gezählt, 20 : 2 = 10

Karten: Die Reihenfolge zählt, Absenderin und Empfängerin sind verschieden.
5 · 4 = 20 Karten
Paare: jedes Paar zweimal gezählt, 20 : 2 = 10

Ergebnis:

20 Karten, 10 Paare

AchtungNoch einmal: Addiert statt malgenommen

So nicht

3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten

So richtig

3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

○22
Für die Theateraufführung gibt es 2 Hüte und 3 Umhänge. Jede Figur trägt von jedem Teil genau eines. Wie viele verschiedene Kostüme gibt es?
So fängst du an:
Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
Lösung zeigen
1. Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
2. 2 · 3 = 6
3. Kontrolle: Ein Baumdiagramm hätte genauso viele Enden.
Ergebnis:
6 Kostüme
●23
Auf einer Pizza sollen zwei verschiedene Beläge liegen. Es gibt 5 Beläge. Wie viele verschiedene Pizzen gibt es? Achte darauf, ob die Reihenfolge zählt.
Lösung zeigen
1. Käse und Pilze ist dieselbe Pizza wie Pilze und Käse: Die Reihenfolge zählt nicht.
2. Geordnet: 5 · 4 = 20, jede Pizza zweimal.
3. 20 : 2 = 10
Ergebnis:
10 Pizzen
★24
Für die Theateraufführung gibt es 2 Hüte, 4 Umhänge und 2 Masken. Jede Figur trägt von jedem Teil genau eines. Wie viele verschiedene Kostüme gibt es?
Lösung zeigen
1. Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
2. 2 · 4 · 2 = 16
3. Kontrolle: Ein Baumdiagramm hätte genauso viele Enden.
Ergebnis:
16 Kostüme

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt vier Eissorten (Vanille, Erdbeere, Zitrone, Mango) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
1. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
2. Erdbeere: Erdbeere in der Waffel, Erdbeere im Becher
3. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
4. Mango: Mango in der Waffel, Mango im Becher
5. 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Ergebnis:
8 Möglichkeiten
●26
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt drei Eissorten (Schoko, Erdbeere, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Auf einem Zettel steht: Zitrone in der Waffel; Schoko im Becher; Schoko in der Waffel; Erdbeere im Becher; Erdbeere in der Waffel. Eine Möglichkeit fehlt. Welche ist es?
Lösung zeigen
1. Es müssten 3 · 2 = 6 Möglichkeiten sein.
2. Ordne nach der ersten Wahl:
3. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
4. Erdbeere: Erdbeere in der Waffel, Erdbeere im Becher
5. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
6. Es fehlt: Zitrone im Becher.
Ergebnis:
Zitrone im Becher
●27
In der Pause gibt es zwei Getränke (Kakao, Tee) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 2 Äste.
2. Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 2 · 3 = 6 Enden.
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●28
Ein Laden bietet 2 Rahmenfarben, 2 Sattelfarben und 3 Klingeln an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Fahrräder es gibt.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 2 · 2 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Fahrräder
●29
Bea, Finn und Ali stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
Lösung zeigen
1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Reihenfolgen
●30
Du hast die Ziffernkarten 5, 6 und 9. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
Lösung zeigen
1. Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
2. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Geordnete Liste: Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.
Baumdiagramm: Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.
Zählregel: Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.
Reihenfolgen: Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.
Ziffernkarten: Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.
Ungeordnete Paare: Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.
Bedingungen: Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.
Kontrolle: Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.
31
In der Pause gibt es zwei Getränke (Saft, Wasser) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.
32
In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Kakao, Tee) und zwei Pausensnacks (Apfel, Banane). Can wählt von jedem eines. Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
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Ergebnis:
6 Möglichkeiten
Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.
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Beim Fahrradladen gibt es 2 Rahmenfarben, 3 Sattelfarben und 3 Klingeln. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Fahrräder sind möglich?
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Ergebnis:
18 Fahrräder
Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.
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Finn, Ali und Bea stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
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Ergebnis:
6 Reihenfolgen
Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.
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Du hast die Ziffernkarten 1, 5 und 9. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
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Ergebnis:
6 Zahlen
Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
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Bei einem Turnier spielen 4 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
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Ergebnis:
6 Spiele
Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.
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Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
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Ergebnis:
405 Einstellungen
Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.
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In der Klasse stehen 6 Kinder zur Wahl. Gewählt werden eine Klassensprecherin und eine Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
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Ergebnis:
30 Möglichkeiten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die geordnete Liste, die beweist, dass keine Möglichkeit fehlt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Outfits kombinieren, einen Turnierplan aufstellen, ein Zahlenschloss einschätzen. Beruf: Sicherheit von Passwörtern, Routenplanung in der Logistik, Menüplanung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

Darauf baut auf: Daten vergleichen und Zufall untersuchen

Lösungen

6 Möglichkeiten
9 Möglichkeiten
8 Möglichkeiten
4 Enden
6 Möglichkeiten
18 Möglichkeiten
24 Sticker
48 Fahrräder
27 Fahrräder
24 Reihenfolgen
24 Möglichkeiten
336 Möglichkeiten
6 Zahlen, größte 876
6 Zahlen, größte 941
6 Zahlen, größte 531
28 Handschläge
15 Spiele
21 Möglichkeiten
108 Einstellungen
3 Zahlen
648 Einstellungen
6 Kostüme
10 Pizzen
16 Kostüme
8 Möglichkeiten
Zitrone im Becher
6 Möglichkeiten
12 Fahrräder
6 Reihenfolgen
6 Zahlen
6 Möglichkeiten
6 Möglichkeiten
18 Fahrräder
6 Reihenfolgen
6 Zahlen
6 Spiele
405 Einstellungen
30 Möglichkeiten
6 Zahlen
15 Wege