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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Systematisch zählen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden schnell unübersichtlich: Manche Kombinationen stehen doppelt, andere fehlen. Die Gruppen kommen auf verschiedene Zahlen, etwa 9, 20 oder 24, und keine kann beweisen, dass ihre Zahl stimmt. Ordnung beweist Vollständigkeit: Haltet ein T-Shirt fest, geht alle Hosen durch und zu jeder Hose beide Paar Schuhe. Dann kommt das nächste T-Shirt. So entstehen 24 Möglichkeiten, und keine fehlt. Für einen ganzen Monat reicht es also nicht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Alle Möglichkeiten findet man nur mit einer Ordnung: eine Wahl festhalten, dann die anderen durchgehen.

  1. ●39
    Von zu Hause zur Schule gibt es 3 Wege bis zum Park und von dort 4 Wege weiter. Wie viele Wege gibt es insgesamt?
    1233 · 4
    Lösung zeigen
    1. Jeder erste Weg lässt sich mit jedem zweiten verbinden
    2. 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Wege
  2. ●40
    Bei einem Turnier spielen 4 Mannschaften. Jede spielt einmal gegen jede andere. Zeichne jede Mannschaft als Punkt und jedes Spiel als Strecke. Wie viele Spiele gibt es?
    ABCD?
    Lösung zeigen
    1. Von jedem Punkt gehen 3 Verbindungen aus: 4 · 3 = 12.
    2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 12 : 2 = 6.
    3. Es gibt 6 Spiele.
    Ergebnis:
    6 Spiele

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenJede Wahl verzweigt sich

Zählen heißt: Entscheidungen nacheinander treffen. Jede Entscheidung verzweigt den Weg. Hat jede Stufe gleich viele Äste, wächst die Zahl der Möglichkeiten durch Malnehmen, nicht durch Addieren.

Baumdiagramm für drei Kinder A, B, C in einer Reihe: 3 mal 2 mal 1 sind 6 ReihenfolgenABCABCCBACBBACBACCABCACABCABBACBA3 · 2 · 1= 6

WeiterdenkenDenk nach

Warum gibt es bei drei Hosen und vier Pullis mehr als sieben Möglichkeiten? Wie siehst du das, ohne alles aufzuschreiben?

1Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

EntdeckenFrage

Wie lange braucht man, um bei einem Zahlenschloss mit drei Rädchen alle Einstellungen durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Rädchen hat die Ziffern 0 bis 9, also 10 · 10 · 10 = 1000 Einstellungen. Wer für jede Einstellung eine Sekunde braucht, ist nach 1000 Sekunden fertig, das sind knapp 17 Minuten. Deshalb sind Schlösser mit drei Rädchen für Fahrräder nicht besonders sicher.

MerkenGeordnete Liste

Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.

Dann nimm die nächste erste Wahl. So fehlt nichts, und nichts steht doppelt.

BeispielAlle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste

Mia hat zwei T-Shirts (grün, gelb) und zwei Hosen (Jeans, Shorts). Sie zieht von jedem Teil eines an. Halte zuerst das T-Shirt fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
grüngelbJeansShorts
Schritt für Schritt
  1. grün: grün mit Jeans, grün mit Shorts
  2. gelb: gelb mit Jeans, gelb mit Shorts
  3. 2 + 2 = 4
  1. grün: grün mit Jeans, grün mit Shorts
  2. gelb: gelb mit Jeans, gelb mit Shorts
  3. 2 + 2 = 4
Ergebnis:
4 Möglichkeiten

AchtungMöglichkeiten vergessen oder doppelt aufgeschrieben

So nicht
3 T-Shirts, 2 Hosen: rot mit Jeans, blau mit Shorts, grün mit Jeans → 3 Möglichkeiten
So richtig
3 T-Shirts, 2 Hosen: zu jedem T-Shirt 2 Hosen → 2 + 2 + 2 = 6 Möglichkeiten

Erst die erste Wahl festhalten und alle anderen durchgehen, dann die nächste erste Wahl.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Mia hat vier T-Shirts (rot, blau, grün, gelb) und zwei Hosen (Jeans, Rock). Sie zieht von jedem Teil eines an. Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
    rotblaugrüngelbJeansRock
    So fängst du an:
    rot: rot mit Jeans, rot mit Rock
    Lösung zeigen
    1. rot: rot mit Jeans, rot mit Rock
    2. blau: blau mit Jeans, blau mit Rock
    3. grün: grün mit Jeans, grün mit Rock
    4. gelb: gelb mit Jeans, gelb mit Rock
    5. 2 + 2 + 2 + 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Möglichkeiten
  2. ●2
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Vanille, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
    VanilleZitroneWaffelBecher
    Lösung zeigen
    1. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
    2. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
    3. 2 + 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten
  3. ★3
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Vanille, Schoko) und zwei Gefäße (Waffel, Becher), dazu zwei Soßen (Karamell, Himbeere). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    VanilleSchokoWaffelBecherKaramellHimbeere
    Lösung zeigen
    1. Vanille: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
    2. Schoko: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Möglichkeiten

2Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bank eine Karte schon nach drei falschen PIN-Versuchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, trifft mit drei Versuchen nur 3 von 10.000 Möglichkeiten. Dürfte man unbegrenzt probieren, wäre jede Karte irgendwann geknackt.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.

Jedes Ende des Baumes ist genau eine Möglichkeit.

BeispielMit dem Baumdiagramm Möglichkeiten zählen

Eine Münze wird 3-mal geworfen. Jedes Mal zeigt sie Kopf (K) oder Zahl (Z). Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Enden hat es?
KKKZZKZZKKZZKZAnzahl der Enden:?
Schritt für Schritt
  1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
  2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
  3. 2 · 2 · 2 = 8
  1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
  2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
  3. 2 · 2 · 2 = 8
Ergebnis:
8 Enden

AchtungAddiert statt malgenommen

So nicht
3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten
So richtig
3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Eine Münze wird 2-mal geworfen. Jedes Mal zeigt sie Kopf (K) oder Zahl (Z). Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Enden hat es?
    KKZZKZAnzahl der Enden:?
    So fängst du an:
    Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
    Lösung zeigen
    1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
    2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
    3. 2 · 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Enden
  2. ●5
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Erdbeere, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Vervollständige das Baumdiagramm im Kopf. Wie viele Wege führen von links bis zu einem Ende?
    ErdbeereWaffelBecherZitroneWaffelBecherAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 2 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 2 · 2 = 4 Enden.
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten
  3. ★6
    In der Pause gibt es zwei Getränke (Kakao, Tee) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Außerdem gibt es zwei Orte zum Sitzen (Hof, Mensa). Can wählt von jedem eines. Jedes Ende des Baumes ist eine Möglichkeit. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    KakaoApfelHofMensaBananeHofMensaMüsliriegelHofMensaTeeApfelHofMensaBananeHofMensaMüsliriegelHofMensaAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 2 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 2 · 3 = 6 Enden.
    3. Stufe 3: an jedem Ende 2 Äste, also 6 · 2 = 12 Enden.
    Ergebnis:
    12 Möglichkeiten

3Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Bundesliga-Saison mit 18 Mannschaften?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Mannschaft spielt gegen jede andere zweimal, einmal zu Hause und einmal auswärts. Weil Heim und Gast verschieden sind, zählt die Reihenfolge: 18 · 17 = 306 Spiele. Das passt zu 34 Spieltagen mit je 9 Spielen.

MerkenZählregel

Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.

Drei Hosen und vier Pullis ergeben 3 · 4 = 12 Möglichkeiten.

BeispielZählregel: Möglichkeiten malnehmen

Von Nordheim nach Mittelstadt führen 5 Wege, von Mittelstadt nach Südhafen 4 Wege. Wie viele verschiedene Wege gibt es von Nordheim nach Südhafen?
NordheimMittelstadtSüdhafen
Schritt für Schritt
  1. Zu jedem Weg der ersten Strecke passt jeder Weg der zweiten.
  2. 5 · 4 = 20
  1. Zu jedem Weg der ersten Strecke passt jeder Weg der zweiten.
  2. 5 · 4 = 20
Ergebnis:
20 Wege

AchtungPlus statt mal

So nicht
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9
So richtig
4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Beim Schulfest-Menü gibt es 4 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 4 Nachtische. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
    Vorspeis 1Vorspeis 2Vorspeis 3Vorspeis 4Hauptgericht 1Hauptgericht 2Hauptgericht 3Hauptgericht 4Nachtisch 1Nachtisch 2Nachtisch 3Nachtisch 4
    So fängst du an:
    An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 4 · 4 · 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Menüs
  2. ●8
    Ein Laden bietet 5 Vorspeisen, 3 Hauptgerichte und 3 Nachtische an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Menüs es gibt.
    Lösung zeigen
    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 5 · 3 · 3 = 45
    Ergebnis:
    45 Menüs
  3. ★9
    Beim Sticker-Automat gibt es 2 Formen, 2 Farben und 2 Motive. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Sticker sind möglich?
    Form 1Form 2Farb 1Farb 2Motiv 1Motiv 2
    Lösung zeigen
    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 2 · 2 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Sticker

4Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand ein Kartenspiel genau so gemischt wie du eben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast sicher nicht. Für 52 Karten gibt es 52 · 51 · 50 · … · 2 · 1 Reihenfolgen. Das ist eine Zahl mit 68 Stellen. Selbst wenn alle Menschen seit Tausenden von Jahren jede Sekunde mischen würden, käme man nicht annähernd an diese Zahl heran.

MerkenReihenfolgen

Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.

Vier Kinder in einer Reihe: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

BeispielReihenfolgen zählen

3 verschiedene Bücher sollen nebeneinander ins Regal. Auf wie viele Arten kann man sie anordnen?
Schritt für Schritt
  1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
  2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
  3. 3 · 2 · 1 = 6
  1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
  2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
  3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Reihenfolgen

AchtungReihenfolgen ohne Abnahme gezählt

So nicht
4 Kinder in einer Reihe → 4 · 4 · 4 · 4 = 256
So richtig
4 Kinder in einer Reihe → 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ein besetzter Platz fehlt beim nächsten: 4 · 3 · 2 · 1, nicht 4 · 4 · 4 · 4.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Beim Sportfest laufen 6 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
    So fängst du an:
    Gold: 6 Kinder möglich, Silber: noch 5, Bronze: noch 4.
    Lösung zeigen
    1. Gold: 6 Kinder möglich, Silber: noch 5, Bronze: noch 4.
    2. 6 · 5 · 4 = 120
    Ergebnis:
    120 Möglichkeiten
  2. ●11
    Eine Staffel hat 4 Läuferinnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wer als Erste, Zweite und so weiter läuft?
    Lösung zeigen
    1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
    Ergebnis:
    24 Reihenfolgen
  3. ★12
    Dana, Ali, Eli, Cem, Finn und Greta stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
    Lösung zeigen
    1. Für den ersten Platz gibt es 6 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 5.
    2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
    3. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
    Ergebnis:
    720 Reihenfolgen

5Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Sechser im Lotto so selten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, und die Reihenfolge ist egal. Geordnet gäbe es 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten. Jede Auswahl kommt dabei 720-mal vor, also teilt man und erhält 13.983.816 verschiedene Tippreihen.

MerkenZiffernkarten

Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.

Ohne Wiederholung gibt es von Stelle zu Stelle eine Karte weniger. Eine 0 darf nicht vorn stehen.

BeispielZahlen aus Ziffernkarten zählen

Lege mit den Karten 5, 7 und 8 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
578?
Schritt für Schritt
  1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
  2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 875.
  3. Die kleinste wäre 578.
  1. Anzahl: 3 · 2 · 1 = 6
  2. Größte Zahl: die größte Ziffer nach vorn, also 875.
  3. Die kleinste wäre 578.
Ergebnis:
6 Zahlen, größte 875

AchtungBedingung nicht zuerst beachtet

So nicht
Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6
So richtig
Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Du hast die Ziffernkarten 2, 3 und 7. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
    237?
    So fängst du an:
    Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
    Lösung zeigen
    1. Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
    2. 3 · 2 · 1 = 6
    Ergebnis:
    6 Zahlen
  2. ●14
    Von den Ziffernkarten 3, 4 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
    348?
    Lösung zeigen
    1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Zahlen
  3. ★15
    Von den Ziffernkarten 1, 3 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
    138?
    Lösung zeigen
    1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    2. 3 · 3 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27 Zahlen

6Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Handschläge gibt es, wenn sich alle 28 Kinder einer Klasse begrüßen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Kind gibt 27 anderen die Hand, das ergibt 28 · 27 = 756. Dabei ist jeder Handschlag zweimal gezählt, einmal von jedem Kind aus. Also sind es 756 : 2 = 378 Handschläge.

MerkenUngeordnete Paare

Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.

Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielPaare zählen, wenn die Reihenfolge egal ist

4 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
1234
Schritt für Schritt
  1. Jedes der 4 Kinder hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
  2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
  3. 12 : 2 = 6
  1. Jedes der 4 Kinder hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
  2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
  3. 12 : 2 = 6
Ergebnis:
6 Handschläge

AchtungPaare doppelt gezählt

So nicht
5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 = 20 Handschläge
So richtig
5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge

Ist die Reihenfolge egal, kommt jedes Paar zweimal vor: halbieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Bei einem Turnier spielen 6 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    123456
    So fängst du an:
    Jede der 6 Mannschaften hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
    Lösung zeigen
    1. Jede der 6 Mannschaften hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 30 : 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Spiele
  2. ●17
    8 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
    12345678
    Lösung zeigen
    1. Jedes der 8 Kinder hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 56 : 2 = 28
    Ergebnis:
    28 Handschläge
  3. ★18
    Bei einem Turnier spielen 12 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    123456789101112
    Lösung zeigen
    1. Jede der 12 Mannschaften hat 11 Partner: 12 · 11 = 132
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 132 : 2 = 66
    Ergebnis:
    66 Spiele

7Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

EntdeckenFrage

Wie oft am Tag zeigt eine Digitaluhr eine Uhrzeit, die man vorwärts und rückwärts gleich liest, wie 12:21?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Minuten sind die Stunde rückwärts. Die zweite Stundenziffer wird zur ersten Minutenziffer und darf höchstens 5 sein. Bei 00 bis 15 sind das 12 Zeiten, bei 20 bis 23 noch 4. Zusammen sind es 16 Zeiten am Tag.

MerkenBedingungen

Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.

Danach verteilt man die übrigen Möglichkeiten mit der Zählregel.

BeispielZählen mit Bedingungen

Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
Schritt für Schritt
  1. Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
  2. Jedes andere Rädchen: 9 Möglichkeiten, zusammen 9 · 9 = 81.
  3. 5 · 81 = 405
  1. Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
  2. Jedes andere Rädchen: 9 Möglichkeiten, zusammen 9 · 9 = 81.
  3. 5 · 81 = 405
Ergebnis:
405 Einstellungen

AchtungNoch einmal: Bedingung nicht zuerst beachtet

So nicht
Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6
So richtig
Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist ungerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
    So fängst du an:
    Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
    Lösung zeigen
    1. Erstes Rädchen: 1, 3, 5, 7 oder 9. Das sind 5 Möglichkeiten.
    2. Jedes andere Rädchen: 9 Möglichkeiten, zusammen 9 · 9 = 81.
    3. 5 · 81 = 405
    Ergebnis:
    405 Einstellungen
  2. ●20
    Mit den Karten 3, 5, 7 und 8 werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Die Zahl soll gerade sein. Wie viele gibt es?
    3578?
    Lösung zeigen
    1. Bedingung zuerst: Die letzte Stelle muss gerade sein, dafür gibt es 1 Karten.
    2. Die erste Stelle: noch 3 Karten.
    3. 1 · 3 = 3
    Ergebnis:
    3 Zahlen
  3. ★21
    Mit den Karten 2, 3, 4 und 6 werden dreistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Wie viele davon sind größer als 399?
    2346?
    Lösung zeigen
    1. Größer als 399 heißt: vorn steht eine Ziffer größer als 3.
    2. Dafür gibt es 2 Karten, danach noch 3 und 2.
    3. 2 · 3 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Zahlen

8Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Dominospiel mit den Augen 0 bis 6 genau 28 Steine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 7 Doppelsteine von 0|0 bis 6|6. Für zwei verschiedene Zahlen gibt es 7 · 6 = 42 Reihenfolgen. Der Stein 3|5 ist aber derselbe wie 5|3, also teilt man durch 2 und erhält 21. Zusammen sind es 7 + 21 = 28 Steine.

MerkenKontrolle

Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Darf sich etwas wiederholen? Zum Schluss mit einer kleinen Liste prüfen.

BeispielZählaufgaben aus dem Alltag

Für die Theateraufführung gibt es 3 Hüte und 2 Umhänge. Jede Figur trägt von jedem Teil genau eines. Wie viele verschiedene Kostüme gibt es?
Schritt für Schritt
  1. Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
  2. 3 · 2 = 6
  3. Kontrolle: Ein Baumdiagramm hätte genauso viele Enden.
  1. Jedes Teil ist eine Stufe, zu jeder Wahl passen alle anderen.
  2. 3 · 2 = 6
  3. Kontrolle: Ein Baumdiagramm hätte genauso viele Enden.
Ergebnis:
6 Kostüme

AchtungNoch einmal: Addiert statt malgenommen

So nicht
3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten
So richtig
3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Code für den Spind besteht aus zwei Farben hintereinander. Es gibt 3 Farben, und eine Farbe darf mehrmals vorkommen. Wie viele Codes gibt es?
    123
    So fängst du an:
    Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
    Lösung zeigen
    1. Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
    2. Wiederholen ist erlaubt: jede Stelle hat alle Farben.
    3. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Codes
  2. ●23
    5 Freundinnen schicken sich zum Geburtstag Karten. Jede schreibt jeder anderen genau eine Karte. Wie viele Karten werden verschickt? Und wie viele Paare von Freundinnen gibt es?
    12345
    Lösung zeigen
    1. Karten: Die Reihenfolge zählt, Absenderin und Empfängerin sind verschieden.
    2. 5 · 4 = 20 Karten
    3. Paare: jedes Paar zweimal gezählt, 20 : 2 = 10
    Ergebnis:
    20 Karten, 10 Paare
  3. ★24
    Ein Code für den Spind besteht aus drei Farben hintereinander. Es gibt 4 Farben, und eine Farbe darf mehrmals vorkommen. Wie viele Codes gibt es?
    1234
    Lösung zeigen
    1. Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
    2. Wiederholen ist erlaubt: jede Stelle hat alle Farben.
    3. 4 · 4 · 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Codes

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt zwei Eissorten (Schoko, Erdbeere) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    SchokoErdbeereWaffelBecher
    Lösung zeigen
    1. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
    2. Erdbeere: Erdbeere in der Waffel, Erdbeere im Becher
    3. 2 + 2 = 4
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten
  2. ●26
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen zwei Brotsorten (Brötchen, Brezel) und zwei Beläge (Marmelade, Quark). Jonas hat die Möglichkeiten aufgeschrieben: Brezel mit Quark; Brötchen mit Marmelade; Brezel mit Marmelade. Eine Möglichkeit fehlt. Welche ist es?
    BrötchenBrezelMarmeladeQuark
    Lösung zeigen
    1. Es müssten 2 · 2 = 4 Möglichkeiten sein.
    2. Ordne nach der ersten Wahl:
    3. Brötchen: Brötchen mit Marmelade, Brötchen mit Quark
    4. Brezel: Brezel mit Marmelade, Brezel mit Quark
    5. Es fehlt: Brötchen mit Quark.
    Ergebnis:
    Brötchen mit Quark
  3. ●27
    In der Pause gibt es zwei Getränke (Saft, Tee) und zwei Pausensnacks (Apfel, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
    SaftApfelMüsliriegelTeeApfelMüsliriegelAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    1. Stufe 1: 2 Äste.
    2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 2 · 2 = 4 Enden.
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten
  4. ●28
    Beim Pizzabäckerei gibt es 4 Teigsorten, 4 Soßen und 3 Beläge. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Pizzen sind möglich?
    Teigsort 1Teigsort 2Teigsort 3Teigsort 4Soß 1Soß 2Soß 3Soß 4Beläg 1Beläg 2Beläg 3
    Lösung zeigen
    1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
    2. 4 · 4 · 3 = 48
    Ergebnis:
    48 Pizzen
  5. ●29
    Von den Ziffernkarten 1, 4 und 9 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
    149?
    Lösung zeigen
    1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
    2. 3 · 3 = 9
    Ergebnis:
    9 Zahlen
  6. ●30
    6 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
    123456
    Lösung zeigen
    1. Jedes der 6 Kinder hat 5 Partner: 6 · 5 = 30
    2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
    3. 30 : 2 = 15
    Ergebnis:
    15 Handschläge

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Geordnete Liste
Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.
Baumdiagramm
Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.
Zählregel
Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.
Reihenfolgen
Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.
Ziffernkarten
Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.
Ungeordnete Paare
Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.
Bedingungen
Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.
Kontrolle
Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

    31
    In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Kakao, Tee) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    SaftKakaoTeeApfelBananeMüsliriegel
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9 Möglichkeiten

  2. Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

    32
    Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen zwei Brotsorten (Brötchen, Toast) und zwei Beläge (Käse, Honig). Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
    BrötchenKäseHonigToastKäseHonigAnzahl der Enden:?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Möglichkeiten

  3. Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

    33
    Ein Laden bietet 3 Teigsorten, 4 Soßen und 3 Beläge an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Pizzen es gibt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36 Pizzen

  4. Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

    34
    Eli, Ali und Greta stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Reihenfolgen

  5. Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

    35
    Du hast die Ziffernkarten 2, 6 und 8. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?
    268?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Zahlen

  6. Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

    36
    Bei einem Turnier spielen 4 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
    1234
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6 Spiele

  7. Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

    37
    Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist nicht gerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    405 Einstellungen

  8. Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

    38
    4 Freundinnen schicken sich zum Geburtstag Karten. Jede schreibt jeder anderen genau eine Karte. Wie viele Karten werden verschickt? Und wie viele Paare von Freundinnen gibt es?
    1234
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Karten, 6 Paare

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die geordnete Liste, die beweist, dass keine Möglichkeit fehlt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Outfits kombinieren, einen Turnierplan aufstellen, ein Zahlenschloss einschätzen. Beruf: Sicherheit von Passwörtern, Routenplanung in der Logistik, Menüplanung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

Darauf baut auf: Daten vergleichen und Zufall untersuchen

Lösungen

  1. 8 Möglichkeiten
  2. 4 Möglichkeiten
  3. 8 Möglichkeiten
  4. 4 Enden
  5. 4 Möglichkeiten
  6. 12 Möglichkeiten
  7. 64 Menüs
  8. 45 Menüs
  9. 8 Sticker
  10. 120 Möglichkeiten
  11. 24 Reihenfolgen
  12. 720 Reihenfolgen
  13. 6 Zahlen
  14. 9 Zahlen
  15. 27 Zahlen
  16. 15 Spiele
  17. 28 Handschläge
  18. 66 Spiele
  19. 405 Einstellungen
  20. 3 Zahlen
  21. 12 Zahlen
  22. 9 Codes
  23. 20 Karten, 10 Paare
  24. 64 Codes
  25. 4 Möglichkeiten
  26. Brötchen mit Quark
  27. 4 Möglichkeiten
  28. 48 Pizzen
  29. 9 Zahlen
  30. 15 Handschläge
  31. 9 Möglichkeiten
  32. 4 Möglichkeiten
  33. 36 Pizzen
  34. 6 Reihenfolgen
  35. 6 Zahlen
  36. 6 Spiele
  37. 405 Einstellungen
  38. 12 Karten, 6 Paare
  39. 12 Wege
  40. 6 Spiele