Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Systematisch zählen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Listen werden schnell unübersichtlich: Manche Kombinationen stehen doppelt, andere fehlen. Die Gruppen kommen auf verschiedene Zahlen, etwa 9, 20 oder 24, und keine kann beweisen, dass ihre Zahl stimmt. Ordnung beweist Vollständigkeit: Haltet ein T-Shirt fest, geht alle Hosen durch und zu jeder Hose beide Paar Schuhe. Dann kommt das nächste T-Shirt. So entstehen 24 Möglichkeiten, und keine fehlt. Für einen ganzen Monat reicht es also nicht.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Alle Möglichkeiten findet man nur mit einer Ordnung: eine Wahl festhalten, dann die anderen durchgehen.

●39
Beim Mittagessen gibt es 5 Hauptgerichte und 5 Nachtische. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich?
Lösung zeigen
1. Zu jedem Hauptgericht passt jeder Nachtisch
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 Menüs
●40
5 Orte sollen so verbunden werden, dass von jedem Ort ein gerader Weg zu jedem anderen führt. Zeichne jeden Ort als Punkt. Wie viele Wege braucht man?
Lösung zeigen
1. Von jedem Punkt gehen 4 Verbindungen aus: 5 · 4 = 20.
2. So ist jede Verbindung doppelt gezählt: 20 : 2 = 10.
3. Man braucht 10 Wege.
Ergebnis:
10 Wege

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenJede Wahl verzweigt sich

Zählen heißt: Entscheidungen nacheinander treffen. Jede Entscheidung verzweigt den Weg. Hat jede Stufe gleich viele Äste, wächst die Zahl der Möglichkeiten durch Malnehmen, nicht durch Addieren.

WeiterdenkenDenk nach

Warum gibt es bei drei Hosen und vier Pullis mehr als sieben Möglichkeiten? Wie siehst du das, ohne alles aufzuschreiben?

1Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.

EntdeckenFrage

Wie lange braucht man, um bei einem Zahlenschloss mit drei Rädchen alle Einstellungen durchzuprobieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Rädchen hat die Ziffern 0 bis 9, also 10 · 10 · 10 = 1000 Einstellungen. Wer für jede Einstellung eine Sekunde braucht, ist nach 1000 Sekunden fertig, das sind knapp 17 Minuten. Deshalb sind Schlösser mit drei Rädchen für Fahrräder nicht besonders sicher.

MerkenGeordnete Liste

Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.

Dann nimm die nächste erste Wahl. So fehlt nichts, und nichts steht doppelt.

BeispielAlle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste

In der Pause gibt es vier Getränke (Saft, Wasser, Kakao, Tee) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat es? Ordne deine Liste, damit keine fehlt.

Schritt für Schritt

Saft: Saft mit Apfel, Saft mit Banane, Saft mit Müsliriegel
Wasser: Wasser mit Apfel, Wasser mit Banane, Wasser mit Müsliriegel
Kakao: Kakao mit Apfel, Kakao mit Banane, Kakao mit Müsliriegel
Tee: Tee mit Apfel, Tee mit Banane, Tee mit Müsliriegel
3 + 3 + 3 + 3 = 12

Saft: Saft mit Apfel, Saft mit Banane, Saft mit Müsliriegel
Wasser: Wasser mit Apfel, Wasser mit Banane, Wasser mit Müsliriegel
Kakao: Kakao mit Apfel, Kakao mit Banane, Kakao mit Müsliriegel
Tee: Tee mit Apfel, Tee mit Banane, Tee mit Müsliriegel
3 + 3 + 3 + 3 = 12

Ergebnis:

12 Möglichkeiten

AchtungMöglichkeiten vergessen oder doppelt aufgeschrieben

So nicht

3 T-Shirts, 2 Hosen: rot mit Jeans, blau mit Shorts, grün mit Jeans → 3 Möglichkeiten

So richtig

3 T-Shirts, 2 Hosen: zu jedem T-Shirt 2 Hosen → 2 + 2 + 2 = 6 Möglichkeiten

Erst die erste Wahl festhalten und alle anderen durchgehen, dann die nächste erste Wahl.

ÜbenJetzt du

○1
In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Kakao, Tee) und zwei Pausensnacks (Apfel, Banane). Can wählt von jedem eines. Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
So fängst du an:
Saft: Saft mit Apfel, Saft mit Banane
Lösung zeigen
1. Saft: Saft mit Apfel, Saft mit Banane
2. Kakao: Kakao mit Apfel, Kakao mit Banane
3. Tee: Tee mit Apfel, Tee mit Banane
4. 2 + 2 + 2 = 6
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●2
Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen drei Brotsorten (Brötchen, Toast, Brezel) und drei Beläge (Käse, Marmelade, Quark). Schreibe alle Möglichkeiten geordnet auf. Wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Brötchen: Brötchen mit Käse, Brötchen mit Marmelade, Brötchen mit Quark
2. Toast: Toast mit Käse, Toast mit Marmelade, Toast mit Quark
3. Brezel: Brezel mit Käse, Brezel mit Marmelade, Brezel mit Quark
4. 3 + 3 + 3 = 9
Ergebnis:
9 Möglichkeiten
★3
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt drei Eissorten (Vanille, Schoko, Erdbeere) und zwei Gefäße (Waffel, Becher), dazu zwei Soßen (Karamell, Himbeere). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
1. Vanille: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
2. Schoko: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
3. Erdbeere: 2 · 2 Möglichkeiten, also 4
4. 4 + 4 + 4 = 12
Ergebnis:
12 Möglichkeiten

2Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.

EntdeckenFrage

Warum sperrt die Bank eine Karte schon nach drei falschen PIN-Versuchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine vierstellige PIN hat 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 Möglichkeiten. Wer rät, trifft mit drei Versuchen nur 3 von 10.000 Möglichkeiten. Dürfte man unbegrenzt probieren, wäre jede Karte irgendwann geknackt.

MerkenBaumdiagramm

Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.

Jedes Ende des Baumes ist genau eine Möglichkeit.

BeispielMit dem Baumdiagramm Möglichkeiten zählen

Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen zwei Brotsorten (Toast, Brezel) und drei Beläge (Käse, Honig, Marmelade). Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?

Schritt für Schritt

Stufe 1: 2 Äste.
Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 2 · 3 = 6 Enden.

Stufe 1: 2 Äste.
Stufe 2: an jedem Ast 3 neue Äste, also 2 · 3 = 6 Enden.

Ergebnis:

6 Möglichkeiten

AchtungAddiert statt malgenommen

So nicht

3 Hosen und 4 Pullis → 3 + 4 = 7 Möglichkeiten

So richtig

3 Hosen und 4 Pullis → 3 · 4 = 12 Möglichkeiten

Zu jeder ersten Wahl passen alle zweiten: malnehmen, nicht addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Eine Münze wird 3-mal geworfen. Jedes Mal zeigt sie Kopf (K) oder Zahl (Z). Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Enden hat es?
So fängst du an:
Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
Lösung zeigen
1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
3. 2 · 2 · 2 = 8
Ergebnis:
8 Enden
●5
Eine Münze wird 2-mal geworfen. Jedes Mal zeigt sie Kopf (K) oder Zahl (Z). Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Enden hat es?
Lösung zeigen
1. Jede Stufe hat 2 Äste: Kopf oder Zahl.
2. Nach Stufe 1: 2 Enden, jede weitere Stufe verdoppelt.
3. 2 · 2 = 4
Ergebnis:
4 Enden
★6
In der Pause gibt es drei Getränke (Saft, Kakao, Tee) und zwei Pausensnacks (Apfel, Banane). Außerdem gibt es zwei Orte zum Sitzen (Hof, Mensa). Can wählt von jedem eines. Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
Lösung zeigen
1. Stufe 1: 3 Äste.
2. Stufe 2: an jedem Ast 2 neue Äste, also 3 · 2 = 6 Enden.
3. Stufe 3: an jedem Ende 2 Äste, also 6 · 2 = 12 Enden.
Ergebnis:
12 Möglichkeiten

3Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.

EntdeckenFrage

Wie viele Spiele hat eine Bundesliga-Saison mit 18 Mannschaften?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jede Mannschaft spielt gegen jede andere zweimal, einmal zu Hause und einmal auswärts. Weil Heim und Gast verschieden sind, zählt die Reihenfolge: 18 · 17 = 306 Spiele. Das passt zu 34 Spieltagen mit je 9 Spielen.

MerkenZählregel

Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.

Drei Hosen und vier Pullis ergeben 3 · 4 = 12 Möglichkeiten.

BeispielZählregel: Möglichkeiten malnehmen

Ein Laden bietet 4 Teigsorten, 3 Soßen und 3 Beläge an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Pizzen es gibt.

Schritt für Schritt

An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
4 · 3 · 3 = 36

An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
4 · 3 · 3 = 36

Ergebnis:

36 Pizzen

AchtungPlus statt mal

So nicht

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 + 5 = 9

So richtig

4 Tüten mit je 5 Äpfeln: 4 · 5 = 20

Frag dich: Wie oft kommt die Zahl vor? Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Laden bietet 3 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 2 Nachtische an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Menüs es gibt.
So fängst du an:
An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 3 · 4 · 2 = 24
Ergebnis:
24 Menüs
●8
Beim Fahrradladen gibt es 3 Rahmenfarben, 4 Sattelfarben und 3 Klingeln. Von jedem wird eines gewählt. Wie viele verschiedene Fahrräder sind möglich?
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 3 · 4 · 3 = 36
Ergebnis:
36 Fahrräder
★9
Beim Schulfest-Menü gibt es 5 Vorspeisen und 4 Hauptgerichte. Insgesamt kann man 60 verschiedene Menüs zusammenstellen. Wie viele Nachtische gibt es?
Lösung zeigen
1. Zählregel: 5 · 4 · ? = 60
2. 5 · 4 = 20
3. 60 : 20 = 3
Ergebnis:
3 Nachtische

4Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand ein Kartenspiel genau so gemischt wie du eben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast sicher nicht. Für 52 Karten gibt es 52 · 51 · 50 · … · 2 · 1 Reihenfolgen. Das ist eine Zahl mit 68 Stellen. Selbst wenn alle Menschen seit Tausenden von Jahren jede Sekunde mischen würden, käme man nicht annähernd an diese Zahl heran.

MerkenReihenfolgen

Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.

Vier Kinder in einer Reihe: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

BeispielReihenfolgen zählen

Eine Staffel hat 3 Läuferinnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wer als Erste, Zweite und so weiter läuft?

Schritt für Schritt

Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3 · 2 · 1 = 6

Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3 · 2 · 1 = 6

Ergebnis:

6 Reihenfolgen

AchtungReihenfolgen ohne Abnahme gezählt

So nicht

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 4 · 4 · 4 = 256

So richtig

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ein besetzter Platz fehlt beim nächsten: 4 · 3 · 2 · 1, nicht 4 · 4 · 4 · 4.

ÜbenJetzt du

○10
Greta, Ali und Finn stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
So fängst du an:
Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
Lösung zeigen
1. Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 2.
2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Reihenfolgen
●11
Beim Sportfest laufen 5 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
Lösung zeigen
1. Gold: 5 Kinder möglich, Silber: noch 4, Bronze: noch 3.
2. 5 · 4 · 3 = 60
Ergebnis:
60 Möglichkeiten
★12
6 verschiedene Bücher sollen nebeneinander ins Regal. Auf wie viele Arten kann man sie anordnen?
Lösung zeigen
1. Für den ersten Platz gibt es 6 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 5.
2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Ergebnis:
720 Reihenfolgen

5Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.

EntdeckenFrage

Warum ist ein Sechser im Lotto so selten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, und die Reihenfolge ist egal. Geordnet gäbe es 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten. Jede Auswahl kommt dabei 720-mal vor, also teilt man und erhält 13.983.816 verschiedene Tippreihen.

MerkenZiffernkarten

Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.

Ohne Wiederholung gibt es von Stelle zu Stelle eine Karte weniger. Eine 0 darf nicht vorn stehen.

BeispielZahlen aus Ziffernkarten zählen

Du hast die Ziffernkarten 4, 8 und 9. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele dreistellige Zahlen kannst du legen?

Schritt für Schritt

Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
3 · 2 · 1 = 6

Erste Stelle: 3 Karten, zweite: noch 2, dritte: noch 1.
3 · 2 · 1 = 6

Ergebnis:

6 Zahlen

AchtungBedingung nicht zuerst beachtet

So nicht

Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6

So richtig

Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

○13
Von den Ziffernkarten 1, 4 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
So fängst du an:
Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
Lösung zeigen
1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Zahlen
●14
Von den Ziffernkarten 2, 7 und 9 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
Lösung zeigen
1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Zahlen
★15
Du hast die Ziffernkarten 2, 4, 5 und 7. Jede Karte darf nur einmal liegen. Wie viele vierstellige Zahlen kannst du legen?
Lösung zeigen
1. Erste Stelle: 4 Karten, zweite: noch 3, dritte: noch 2, vierte: noch 1.
2. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Zahlen

6Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.

EntdeckenFrage

Wie viele Handschläge gibt es, wenn sich alle 28 Kinder einer Klasse begrüßen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Kind gibt 27 anderen die Hand, das ergibt 28 · 27 = 756. Dabei ist jeder Handschlag zweimal gezählt, einmal von jedem Kind aus. Also sind es 756 : 2 = 378 Handschläge.

MerkenUngeordnete Paare

Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.

Bei 5 Kindern gibt es 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge.

BeispielPaare zählen, wenn die Reihenfolge egal ist

Eine Eisdiele hat 4 Sorten. Emil will zwei verschiedene Kugeln. Die Reihenfolge im Becher ist ihm egal. Wie viele Möglichkeiten hat er?

Schritt für Schritt

Jede der 4 Sorten hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
12 : 2 = 6

Jede der 4 Sorten hat 3 Partner: 4 · 3 = 12
So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
12 : 2 = 6

Ergebnis:

6 Möglichkeiten

AchtungPaare doppelt gezählt

So nicht

5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 = 20 Handschläge

So richtig

5 Kinder geben sich die Hand → 5 · 4 : 2 = 10 Handschläge

Ist die Reihenfolge egal, kommt jedes Paar zweimal vor: halbieren.

ÜbenJetzt du

○16
8 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
So fängst du an:
Jedes der 8 Kinder hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
Lösung zeigen
1. Jedes der 8 Kinder hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Handschläge
●17
7 Kinder begrüßen sich. Jedes Kind gibt jedem anderen einmal die Hand. Wie viele Handschläge gibt es?
Lösung zeigen
1. Jedes der 7 Kinder hat 6 Partner: 7 · 6 = 42
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 42 : 2 = 21
Ergebnis:
21 Handschläge
★18
In einer Liga mit 12 Mannschaften spielt jede zweimal gegen jede andere, einmal zu Hause und einmal auswärts. Wie viele Spiele gibt es? Und wie viele wären es mit nur einem Spiel je Begegnung?
Lösung zeigen
1. Hin- und Rückspiel: Die Reihenfolge Heim und Gast zählt.
2. 12 · 11 = 132 Spiele
3. Nur ein Spiel je Begegnung: 132 : 2 = 66
Ergebnis:
132 Spiele, sonst 66

7Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.

EntdeckenFrage

Wie oft am Tag zeigt eine Digitaluhr eine Uhrzeit, die man vorwärts und rückwärts gleich liest, wie 12:21?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Minuten sind die Stunde rückwärts. Die zweite Stundenziffer wird zur ersten Minutenziffer und darf höchstens 5 sein. Bei 00 bis 15 sind das 12 Zeiten, bei 20 bis 23 noch 4. Zusammen sind es 16 Zeiten am Tag.

MerkenBedingungen

Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.

Danach verteilt man die übrigen Möglichkeiten mit der Zählregel.

BeispielZählen mit Bedingungen

Mit den Karten 4, 6, 7 und 8 werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Die Zahl soll gerade sein. Wie viele gibt es?

Schritt für Schritt

Bedingung zuerst: Die letzte Stelle muss gerade sein, dafür gibt es 3 Karten.
Die erste Stelle: noch 3 Karten.
3 · 3 = 9

Bedingung zuerst: Die letzte Stelle muss gerade sein, dafür gibt es 3 Karten.
Die erste Stelle: noch 3 Karten.
3 · 3 = 9

Ergebnis:

9 Zahlen

AchtungNoch einmal: Bedingung nicht zuerst beachtet

So nicht

Karten 0, 3 und 5, dreistellige Zahlen → 3 · 2 · 1 = 6

So richtig

Karten 0, 3 und 5, vorn keine 0 → 2 · 2 · 1 = 4

Die Stelle mit der Bedingung zuerst besetzen – vorn darf keine 0 stehen.

ÜbenJetzt du

○19
Ali, Bea, Cem und Dana stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Ali möchte unbedingt ganz links stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
So fängst du an:
Bedingung zuerst: Der Platz ganz links ist fest, das ist 1 Möglichkeit.
Lösung zeigen
1. Bedingung zuerst: Der Platz ganz links ist fest, das ist 1 Möglichkeit.
2. Die übrigen 3 Kinder verteilen sich auf 3 Plätze.
3. 3 · 2 · 1 = 6
Ergebnis:
6 Möglichkeiten
●20
Ali, Bea, Cem, Dana und Eli stellen sich für ein Foto in eine Reihe. Ali möchte unbedingt ganz links stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
1. Bedingung zuerst: Der Platz ganz links ist fest, das ist 1 Möglichkeit.
2. Die übrigen 4 Kinder verteilen sich auf 4 Plätze.
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Möglichkeiten
★21
Mit den Karten 1, 2, 3 und 6 werden dreistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Wie viele davon sind größer als 399?
Lösung zeigen
1. Größer als 399 heißt: vorn steht eine Ziffer größer als 3.
2. Dafür gibt es 1 Karten, danach noch 3 und 2.
3. 1 · 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6 Zahlen

8Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.

EntdeckenFrage

Warum hat ein Dominospiel mit den Augen 0 bis 6 genau 28 Steine?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Es gibt 7 Doppelsteine von 0|0 bis 6|6. Für zwei verschiedene Zahlen gibt es 7 · 6 = 42 Reihenfolgen. Der Stein 3|5 ist aber derselbe wie 5|3, also teilt man durch 2 und erhält 21. Zusammen sind es 7 + 21 = 28 Steine.

MerkenKontrolle

Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Darf sich etwas wiederholen? Zum Schluss mit einer kleinen Liste prüfen.

BeispielZählaufgaben aus dem Alltag

In der Klasse stehen 6 Kinder zur Wahl. Gewählt werden eine Klassensprecherin und eine Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Schritt für Schritt

Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
Sprecherin: 6 Möglichkeiten, Stellvertreterin: noch 5.
6 · 5 = 30

Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
Sprecherin: 6 Möglichkeiten, Stellvertreterin: noch 5.
6 · 5 = 30

Ergebnis:

30 Möglichkeiten

AchtungNoch einmal: Reihenfolgen ohne Abnahme gezählt

So nicht

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 4 · 4 · 4 = 256

So richtig

4 Kinder in einer Reihe → 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Ein besetzter Platz fehlt beim nächsten: 4 · 3 · 2 · 1, nicht 4 · 4 · 4 · 4.

ÜbenJetzt du

○22
In der Klasse stehen 4 Kinder zur Wahl. Gewählt werden eine Klassensprecherin und eine Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
So fängst du an:
Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
Lösung zeigen
1. Die Reihenfolge zählt: Sprecherin und Stellvertreterin sind verschiedene Ämter.
2. Sprecherin: 4 Möglichkeiten, Stellvertreterin: noch 3.
3. 4 · 3 = 12
Ergebnis:
12 Möglichkeiten
●23
Ein Code für den Spind besteht aus zwei Farben hintereinander. Es gibt 3 Farben, und eine Farbe darf mehrmals vorkommen. Wie viele Codes gibt es?
Lösung zeigen
1. Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
2. Wiederholen ist erlaubt: jede Stelle hat alle Farben.
3. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Codes
★24
Ein Code für den Spind besteht aus drei Farben hintereinander. Es gibt 4 Farben, und eine Farbe darf mehrmals vorkommen. Wie viele Codes gibt es?
Lösung zeigen
1. Die Reihenfolge zählt: Rot-Blau ist ein anderer Code als Blau-Rot.
2. Wiederholen ist erlaubt: jede Stelle hat alle Farben.
3. 4 · 4 · 4 = 64
Ergebnis:
64 Codes

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt vier Eissorten (Vanille, Schoko, Zitrone, Mango) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Halte zuerst die erste Wahl fest und gehe die anderen durch. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Lösung zeigen
1. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
2. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
3. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
4. Mango: Mango in der Waffel, Mango im Becher
5. 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Ergebnis:
8 Möglichkeiten
●26
Emil kauft eine Kugel Eis. Es gibt drei Eissorten (Vanille, Schoko, Zitrone) und zwei Gefäße (Waffel, Becher). Diese Möglichkeiten hat die Gruppe gefunden: Vanille in der Waffel; Zitrone in der Waffel; Schoko im Becher; Schoko in der Waffel; Vanille im Becher. Eine Möglichkeit fehlt. Welche ist es?
Lösung zeigen
1. Es müssten 3 · 2 = 6 Möglichkeiten sein.
2. Ordne nach der ersten Wahl:
3. Vanille: Vanille in der Waffel, Vanille im Becher
4. Schoko: Schoko in der Waffel, Schoko im Becher
5. Zitrone: Zitrone in der Waffel, Zitrone im Becher
6. Es fehlt: Zitrone im Becher.
Ergebnis:
Zitrone im Becher
●27
Ein Laden bietet 5 Vorspeisen, 2 Hauptgerichte und 2 Nachtische an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Menüs es gibt.
Lösung zeigen
1. An jeder Stufe gleich viele Äste: Die Anzahlen werden malgenommen.
2. 5 · 2 · 2 = 20
Ergebnis:
20 Menüs
●28
Cem, Eli, Ali und Bea stellen sich in einer Reihe an der Kasse an. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?
Lösung zeigen
1. Für den ersten Platz gibt es 4 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 3.
2. Mit jedem Platz wird es eine Möglichkeit weniger.
3. 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ergebnis:
24 Reihenfolgen
●29
Von den Ziffernkarten 4, 6 und 8 gibt es jeweils so viele, wie du brauchst. Ziffern dürfen sich also wiederholen. Wie viele zweistellige Zahlen kannst du legen?
Lösung zeigen
1. Jede Stelle hat alle 3 Ziffern zur Wahl.
2. 3 · 3 = 9
Ergebnis:
9 Zahlen
●30
Eine Eisdiele hat 8 Sorten. Emil will zwei verschiedene Kugeln. Die Reihenfolge im Becher ist ihm egal. Wie viele Möglichkeiten hat er?
Lösung zeigen
1. Jede der 8 Sorten hat 7 Partner: 8 · 7 = 56
2. So kommt jedes Paar zweimal vor, einmal von jeder Seite.
3. 56 : 2 = 28
Ergebnis:
28 Möglichkeiten

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Geordnete Liste: Halte die erste Wahl fest und gehe alle anderen durch.
Baumdiagramm: Jede Stufe verzweigt sich in ihre Möglichkeiten.
Zählregel: Hat jede Stufe gleich viele Äste, nimmt man die Anzahlen mal.
Reihenfolgen: Mit jedem besetzten Platz bleibt eine Möglichkeit weniger.
Ziffernkarten: Beim Legen von Zahlen ist jede Stelle eine Stufe.
Ungeordnete Paare: Ist die Reihenfolge egal, erst geordnet zählen und dann halbieren.
Bedingungen: Die Stelle mit der Bedingung wird zuerst besetzt.
Kontrolle: Vor dem Rechnen zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an?

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich finde alle Möglichkeiten mit einer geordneten Liste.
31
In der Pause gibt es vier Getränke (Saft, Wasser, Kakao, Tee) und drei Pausensnacks (Apfel, Banane, Müsliriegel). Can wählt von jedem eines. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat es? Ordne deine Liste, damit keine fehlt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
12 Möglichkeiten
Ich zeichne ein Baumdiagramm, um Möglichkeiten zu zählen.
32
Lina frühstückt. Zur Auswahl stehen zwei Brotsorten (Brötchen, Brezel) und drei Beläge (Käse, Marmelade, Quark). Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Wie viele Enden hat es?
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Ergebnis:
6 Möglichkeiten
Ich nutze die Zählregel: Möglichkeiten der Stufen malnehmen.
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Ein Laden bietet 2 Teigsorten, 3 Soßen und 3 Beläge an. Berechne mit der Zählregel, wie viele Pizzen es gibt.
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Ergebnis:
18 Pizzen
Ich zähle, wie viele Reihenfolgen es für Dinge oder Personen gibt.
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Beim Sportfest laufen 6 Kinder um die Wette. Es gibt eine Gold-, eine Silber- und eine Bronzemedaille. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Medaillen zu verteilen?
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Ergebnis:
120 Möglichkeiten
Ich bilde Zahlen aus Ziffernkarten und zähle sie.
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Lege mit den Karten 2, 6 und 9 jede dreistellige Zahl einmal. Wie viele sind es, und welche ist die größte?
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Ergebnis:
6 Zahlen, größte 962
Ich zähle Paare, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
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Bei einem Turnier spielen 6 Mannschaften. Jede spielt genau einmal gegen jede andere. Wie viele Spiele gibt es?
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Ergebnis:
15 Spiele
Ich zähle Möglichkeiten mit Bedingungen.
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Ein Zahlenschloss hat 3 Rädchen mit den Ziffern 1 bis 9. Die erste Ziffer ist ungerade, die anderen sind beliebig. Wie viele Einstellungen passen dazu?
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Ergebnis:
405 Einstellungen
Ich löse Zählaufgaben aus dem Alltag und prüfe, ob ich nichts doppelt gezählt habe.
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In der Klasse stehen 6 Kinder zur Wahl. Gewählt werden eine Klassensprecherin und eine Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
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Ergebnis:
30 Möglichkeiten

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Mia hat 4 T-Shirts, 3 Hosen und 2 Paar Schuhe. Sie sagt: „Damit kann ich einen ganzen Monat lang jeden Tag anders aussehen.“ Stimmt das? Finde es heraus, ohne zu raten.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die geordnete Liste, die beweist, dass keine Möglichkeit fehlt.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Outfits kombinieren, einen Turnierplan aufstellen, ein Zahlenschloss einschätzen. Beruf: Sicherheit von Passwörtern, Routenplanung in der Logistik, Menüplanung in der Gastronomie.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Geometrische Grundbegriffe und Vierecke

Darauf baut auf: Daten vergleichen und Zufall untersuchen

Lösungen

6 Möglichkeiten
9 Möglichkeiten
12 Möglichkeiten
8 Enden
4 Enden
12 Möglichkeiten
24 Menüs
36 Fahrräder
3 Nachtische
6 Reihenfolgen
60 Möglichkeiten
720 Reihenfolgen
9 Zahlen
9 Zahlen
24 Zahlen
28 Handschläge
21 Handschläge
132 Spiele, sonst 66
6 Möglichkeiten
24 Möglichkeiten
6 Zahlen
12 Möglichkeiten
9 Codes
64 Codes
8 Möglichkeiten
Zitrone im Becher
20 Menüs
24 Reihenfolgen
9 Zahlen
28 Möglichkeiten
12 Möglichkeiten
6 Möglichkeiten
18 Pizzen
120 Möglichkeiten
6 Zahlen, größte 962
15 Spiele
405 Einstellungen
30 Möglichkeiten
25 Menüs
10 Wege