Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

●29
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
m Geschenkband 1 2 5 10
Preis 5,00 € 10,00 € ? 50,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
2. Lücke: 5 · 5,00 € = 25,00 €
3. m Geschenkband 1 2 5 10
  Preis 5,00 € 10,00 € ? 25,00 € 50,00 €
  y : x 5 5 5 5
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 5 · 5,00 €.
Ergebnis:
25,00 €
●30
Benzin kostet 1,79 € pro Liter.
Welcher Graph gehört dazu? Begründe deine Wahl.
(A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt
(B) Ursprungsgerade
(C) fallende Kurve (Hyperbel)
Lösung zeigen
1. x = 0 → y = 0
2. x verdoppelt → y wird doppelt
3. also proportional
4. Antwort: (B)
Ergebnis:
(B) Ursprungsgerade

m Geschenkband	1	2	5	10
Preis	5,00 €	10,00 €	?	50,00 €

m Geschenkband	1	2	5	10
Preis	5,00 €	10,00 €	? 25,00 €	50,00 €
y : x	5	5	5	5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 301, 1 → 292, 2 → 283, 3 → 274, 4 → 265. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich das Guthaben je Minute?

Schritt für Schritt

Von Spalte zu Spalte: 301 → 292, das sind 9 Cent weniger
Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.

Von Spalte zu Spalte: 301 → 292, das sind 9 Cent weniger
Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.

Ergebnis:

Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt; 9 Cent weniger je Minute

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht

Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie

So richtig

Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

○1
Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Am Anfang sind es 12 l, und je Minute kommen 15 l dazu. Nach wie vielen Minuten sind es 132 l?
So fängst du an:
Unterschied: 132 − 12 = 120
Lösung zeigen
1. Unterschied: 132 − 12 = 120
2. Je Minute 15 l: 120 : 15 = 8
3. Probe: 12 + 8 · 15 = 132
Ergebnis:
nach 8 Minuten
●2
Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 8, 1 → 28, 2 → 48, 3 → 68, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Lösung zeigen
1. Von einer Spalte zur nächsten: 28 − 8 = 20
2. Die Änderung ist immer gleich: 20 l mehr je Minute
3. 68 + 20 = 88
Ergebnis:
88 l
★3
Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 24, 2 → 74, 4 → 124, 6 → 174, 8 → 224. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Wassermenge je Minute?
Lösung zeigen
1. Von Spalte zu Spalte: 24 → 74, das sind 50 l mehr
2. Das gilt für 2 Minuten, also für eine: 50 : 2 = 25
3. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken.
Ergebnis:
Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 25 l mehr je Minute

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 12 Uhr und 14 Uhr verändert?

Schritt für Schritt

12 Uhr: 800 Personen
14 Uhr: 900 Personen
900 − 800 = 100

12 Uhr: 800 Personen
14 Uhr: 900 Personen
900 − 800 = 100

Ergebnis:

100 Personen mehr

AchtungFalsch abgelesen

So nicht

Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000

So richtig

Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

○4
Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 8 Uhr und 18 Uhr verändert?
So fängst du an:
8 Uhr: 12 °C
Lösung zeigen
1. 8 Uhr: 12 °C
2. 18 Uhr: 12 °C
3. Beide gleich: keine Veränderung
Ergebnis:
keine Veränderung
●5
Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 8 Uhr?
Lösung zeigen
1. Auf der Zeitachse 8 Uhr suchen
2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
3. Abgelesen: 400 Personen
Ergebnis:
400 Personen
★6
Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 10 Uhr und 20 Uhr verändert?
Lösung zeigen
1. 10 Uhr: 18 °C
2. 20 Uhr: 22 °C
3. 22 − 18 = 4
Ergebnis:
4 °C mehr

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel m je Minute?

Schritt für Schritt

Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt B
B: 80 m in 2 min → 40 m je Minute
100 − 20 = 80

Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt B
B: 80 m in 2 min → 40 m je Minute
100 − 20 = 80

Ergebnis:

Abschnitt B, 40 m je Minute weniger

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht

Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute

So richtig

80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
So fängst du an:
Abschnitt A: von 20 l auf 60 l
Lösung zeigen
1. Abschnitt A: von 20 l auf 60 l
2. A: 40 l in 2 min → 20 l je Minute
3. steigt um 20 l je Minute
Ergebnis:
steigt um 20 l je Minute
●8
Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
Lösung zeigen
1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
2. D: 160 l in 4 min → 40 l je Minute
3. 160 − 0 = 160
Ergebnis:
Abschnitt D, 40 l je Minute weniger
★9
Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
Lösung zeigen
1. A: 40 l in 4 min → 10 l je Minute
2. B: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
3. Am meisten je Minute: Abschnitt B
Ergebnis:
Abschnitt B, 20 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.

Schritt für Schritt

Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher

Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher

Ergebnis:

am Anfang; erst steil, dann immer flacher

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht

Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab

So richtig

Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

○10
In ein gerades Glas läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
So fängst du an:
Das Gefäß: überall gleich breit.
Lösung zeigen
1. Das Gefäß: überall gleich breit.
2. Jeder Zentimeter braucht gleich viel Wasser.
3. Also eine gerade Linie: Graph (A)
Ergebnis:
(A) eine gerade Linie
●11
In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
Lösung zeigen
1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
3. Also erst flach, dann immer steiler: Graph (C)
Ergebnis:
(C) erst flach, dann immer steiler
★12
Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
Lösung zeigen
1. Der Graph ist erst steil, dann immer flacher.
2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
3. Das passt zum Gefäß (C): unten schmal, oben breit
Ergebnis:
(C) unten schmal, oben breit

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Jonas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Jonas Pause, und wie weit ist Jonas dabei von zu Hause entfernt?

Schritt für Schritt

Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
Abschnitt C: von Minute 25 bis Minute 40, also 15 min
Entfernung dabei: 2 km

Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
Abschnitt C: von Minute 25 bis Minute 40, also 15 min
Entfernung dabei: 2 km

Ergebnis:

15 min Pause, 2 km von zu Hause

ÜbenJetzt du

○13
Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Tim schneller: A oder B? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
So fängst du an:
A: 3 km in 15 min → 12 km/h
Lösung zeigen
1. A: 3 km in 15 min → 12 km/h
2. B: 2 km in 15 min → 8 km/h
3. Schneller: Abschnitt A
Ergebnis:
Abschnitt A mit 12 km/h
●14
Lukas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Lukas schneller: A oder B? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
Lösung zeigen
1. A: 5 km in 20 min → 15 km/h
2. B: 3 km in 20 min → 9 km/h
3. Schneller: Abschnitt A
Ergebnis:
Abschnitt A mit 15 km/h
★15
Noah fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Noah im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 10? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
Lösung zeigen
1. Abschnitt A: 2 km in 10 min
2. In 60 min: 2 km · 6
3. 12 km/h
Ergebnis:
12 km/h

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Ergänze die Wertetabelle: 0 → −4, 1 → −3, 2 → 0, 3 → ?, 4 → ?.

Schritt für Schritt

x = 3: 3 · 3 − 4 = 5
x = 4: 4 · 4 − 4 = 12
Tabelle: 0 → −4, 1 → −3, 2 → 0, 3 → 5, 4 → 12

x = 3: 3 · 3 − 4 = 5
x = 4: 4 · 4 − 4 = 12
Tabelle: 0 → −4, 1 → −3, 2 → 0, 3 → 5, 4 → 12

Ergebnis:

für x = 3: 5; für x = 4: 12

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht

Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €

So richtig

Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

○16
Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Liegt der Punkt P(4 | 15) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
So fängst du an:
x = 4 einsetzen
Lösung zeigen
1. x = 4 einsetzen
2. x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
3. 13 ist nicht 15: P liegt nicht darauf
Ergebnis:
nein
●17
Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Liegt der Punkt P(3 | 2) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
Lösung zeigen
1. x = 3 einsetzen
2. x = 3: 5 − 3 = 2
3. 2 ist gleich 2: P liegt darauf
Ergebnis:
ja
★18
Die Rechenvorschrift heißt: x → 5 − x. Liegt der Punkt P(−2 | 8) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
Lösung zeigen
1. x = −2 einsetzen
2. x = −2: 5 − (−2) = 7
3. 7 ist nicht 8: P liegt nicht darauf
Ergebnis:
nein

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 3 Stunden und 10 Minuten zu parken?

Schritt für Schritt

3 h 10 min: Die 4. Stunde ist angefangen.
Also 4 Stunden bezahlen
4 · 2 = 8

3 h 10 min: Die 4. Stunde ist angefangen.
Also 4 Stunden bezahlen
4 · 2 = 8

Ergebnis:

8,00 €

ÜbenJetzt du

○19
Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 3 Stunden und 30 Minuten zu parken?
So fängst du an:
3 h 30 min: Die 4. Stunde ist angefangen.
Lösung zeigen
1. 3 h 30 min: Die 4. Stunde ist angefangen.
2. Also 4 Stunden bezahlen
3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8,00 €
●20
Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 3,00 €. Was kostet es, 4 Stunden und 50 Minuten zu parken?
Lösung zeigen
1. 4 h 50 min: Die 5. Stunde ist angefangen.
2. Also 5 Stunden bezahlen
3. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15,00 €
★21
Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 4,50 €, bis 5 kg: 6,00 €, bis 10 kg: 8,50 €, bis 20 kg: 13,50 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 5 kg?
Lösung zeigen
1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
3. Genau 5 kg gehört noch zu „bis 5 kg“: 6,00 €
Ergebnis:
waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,00 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Der Graph zeigt die Entfernung von Mira von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Mira fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
(B) Mira wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
(C) Mira fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.

Schritt für Schritt

Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
Der Graph: nach oben, waagerecht, nach unten
Das ist Geschichte (C).

Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
Der Graph: nach oben, waagerecht, nach unten
Das ist Geschichte (C).

Ergebnis:

(C)

ÜbenJetzt du

○22
Der Graph zeigt die Entfernung von Sara von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Sara fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
(B) Sara fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
(C) Sara fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
So fängst du an:
Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
Lösung zeigen
1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
2. Der Graph: nach oben, waagerecht, nach oben
3. Das ist Geschichte (B).
Ergebnis:
(B)
●23
Ein Graph zeigt die Höhe eines Fahrstuhls. Lea sagt: „Der Fahrstuhl fährt schräg nach oben, denn der Graph ist eine schräge Linie.“ Stimmt das? Begründe.
Lösung zeigen
1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Höhe eines Fahrstuhls.
2. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit.
3. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
Ergebnis:
Nein. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
★24
Der Graph zeigt die Entfernung von Tim von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Tim wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
(B) Tim fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
(C) Tim fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
Lösung zeigen
1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
2. Der Graph: nach oben, nach oben, waagerecht
3. Das ist Geschichte (C).
Ergebnis:
(C)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Lösung zeigen
1. Von einer Spalte zur nächsten: 2 − 0 = 2
2. Die Änderung ist immer gleich: 2 m mehr je Sekunde
3. 6 + 2 = 8
Ergebnis:
8 m
●26
Wie hängen diese Größen zusammen: die Anzahl der gekauften Hefte und der Preis an der Kasse? Ergänze „Je größer …, desto …“ – oder begründe, warum es keinen solchen Satz gibt.
Lösung zeigen
1. Stell dir vor: Die Anzahl der gekauften Hefte wird größer.
2. Dann wird der Preis an der Kasse größer.
Ergebnis:
Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.
★27
In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Lösung zeigen
1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
Ergebnis:
am Ende; erst flach, dann immer steiler

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …: Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen: Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?: Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen: Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm: Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle: Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge: Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen: Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.
28
In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
am Ende; erst flach, dann immer steiler

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

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Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

nach 8 Minuten
88 l
Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 25 l mehr je Minute
keine Veränderung
400 Personen
4 °C mehr
steigt um 20 l je Minute
Abschnitt D, 40 l je Minute weniger
Abschnitt B, 20 l je Minute
(A) eine gerade Linie
(C) erst flach, dann immer steiler
(C) unten schmal, oben breit
Abschnitt A mit 12 km/h
Abschnitt A mit 15 km/h
12 km/h
nein
ja
nein
8,00 €
15,00 €
waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,00 €
(B)
Nein. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
(C)
8 m
Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.
am Ende; erst flach, dann immer steiler
am Ende; erst flach, dann immer steiler
25,00 €
(B) Ursprungsgerade