Zusammenhänge und Graphen

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 3, 2 → 6, 3 → 9, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
   So fängst du an:

   Von einer Spalte zur nächsten: 3 − 0 = 3
   Lösung zeigen

   1. Von einer Spalte zur nächsten: 3 − 0 = 3
   2. Die Änderung ist immer gleich: 3 m mehr je Sekunde
   3. 9 + 3 = 12

   Ergebnis:

   12 m
2. ●2

   Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, 4 → 8. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Höhe des Fahrstuhls je Sekunde?
   Lösung zeigen

   1. Von Spalte zu Spalte: 0 → 2, das sind 2 m mehr
   2. Je länger der Fahrstuhl fährt, desto höher ist er.

   Ergebnis:

   Je länger der Fahrstuhl fährt, desto höher ist er; 2 m mehr je Sekunde
3. ★3

   Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Am Anfang sind es 40 l, und je Minute kommen 25 l dazu. Nach wie vielen Minuten sind es 265 l?
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   1. Unterschied: 265 − 40 = 225
   2. Je Minute 25 l: 225 : 25 = 9
   3. Probe: 40 + 9 · 25 = 265

   Ergebnis:

   nach 9 Minuten

◆ÜbenJetzt du

4. ○4

   Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 10 Uhr und 18 Uhr verändert?
   So fängst du an:

   10 Uhr: 14 °C
   Lösung zeigen

   1. 10 Uhr: 14 °C
   2. 18 Uhr: 18 °C
   3. 18 − 14 = 4

   Ergebnis:

   4 °C mehr
5. ●5

   Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 12 Uhr?
   Lösung zeigen

   1. Auf der Zeitachse 12 Uhr suchen
   2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
   3. Abgelesen: 700 Personen

   Ergebnis:

   700 Personen
6. ★6

   Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 8 Uhr?
   Lösung zeigen

   1. Auf der Zeitachse 8 Uhr suchen
   2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
   3. Abgelesen: 400 Personen

   Ergebnis:

   400 Personen

◆ÜbenJetzt du

7. ○7

   Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
   So fängst du an:

   A: 80 m in 2 min → 40 m je Minute
   Lösung zeigen

   1. A: 80 m in 2 min → 40 m je Minute
   2. C: 40 m in 2 min → 20 m je Minute
   3. Am meisten je Minute: Abschnitt A

   Ergebnis:

   Abschnitt A, 40 m je Minute
8. ●8

   Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
   Lösung zeigen

   1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
   2. D: 120 l in 4 min → 30 l je Minute
   3. 160 − 40 = 120

   Ergebnis:

   Abschnitt D, 30 l je Minute weniger
9. ★9

   Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Um wie viel l ändert sich die Größe vom Anfang bis zum Ende? Wie viel ist das im Durchschnitt je Minute?
   Lösung zeigen

   1. Anfang: 0 l, Ende: 60 l
   2. Änderung: 60 − 0 = 60
   3. Dauer: 2 + 2 + 2 + 2 = 8, also 8 min.
   4. 60 : 8 = 7,5

   Ergebnis:

   60 l; im Durchschnitt 7,5 l je Minute

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10. ○10

    In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:

    Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    Lösung zeigen

    1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher

    Ergebnis:

    am Anfang; erst steil, dann immer flacher
11. ●11

    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten breit, oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen

    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
    2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
    3. Schneller am Ende: zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil

    Ergebnis:

    am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
12. ★12

    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen

    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
    2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
    3. Schneller am Anfang: zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach

    Ergebnis:

    am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach

◆ÜbenJetzt du

13. ○13

    Mira fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Mira Pause, und wie weit ist Mira dabei von zu Hause entfernt?
    So fängst du an:

    Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    Lösung zeigen

    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt C: von Minute 60 bis Minute 80, also 20 min
    3. Entfernung dabei: 10 km

    Ergebnis:

    20 min Pause, 10 km von zu Hause
14. ●14

    Sara fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Sara im Abschnitt C, also von Minute 25 bis Minute 45? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
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    1. Abschnitt C: 2 km in 20 min
    2. In 60 min: 2 km · 3
    3. 6 km/h

    Ergebnis:

    6 km/h
15. ★15

    Lukas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Lukas schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
    Lösung zeigen

    1. A: 4 km in 20 min → 12 km/h
    2. C: 3 km in 10 min → 18 km/h
    3. Schneller: Abschnitt C

    Ergebnis:

    Abschnitt C mit 18 km/h

◆ÜbenJetzt du

16. ○16

    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    So fängst du an:

    x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
    Lösung zeigen

    1. x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
    2. x = 1: 3 · 1 + 1 = 4
    3. Punkte: (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10), (4 | 13)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade

    Ergebnis:

    (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10), (4 | 13); ja, eine Gerade
17. ●17

    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Liegt der Punkt P(2 | 2) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    Lösung zeigen

    1. x = 2 einsetzen
    2. x = 2: 5 − 2 = 3
    3. 3 ist nicht 2: P liegt nicht darauf

    Ergebnis:

    nein
18. ★18

    Die Rechenvorschrift heißt: x → 3 · x + 1. Lege eine Wertetabelle für x = −2, −1, 0, 1, 2 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    Lösung zeigen

    1. x = −2: 3 · (−2) + 1 = −5
    2. x = −1: 3 · (−1) + 1 = −2
    3. Punkte: (−2 | −5), (−1 | −2), (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade

    Ergebnis:

    (−2 | −5), (−1 | −2), (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7); ja, eine Gerade

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,50 €. Du hast 10,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    So fängst du an:

    10,50 € : 2,50 € ≈ 4,2
    Lösung zeigen

    1. 10,50 € : 2,50 € ≈ 4,2
    2. Nur ganze Stunden zählen: 4 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 5. Stunde.

    Ergebnis:

    4 Stunden
20. ●20

    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 15,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    Lösung zeigen

    1. 15,50 € : 1,50 € ≈ 10,33
    2. Nur ganze Stunden zählen: 10 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 11. Stunde.

    Ergebnis:

    10 Stunden
21. ★21

    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 1 Stunde und 20 Minuten zu parken?
    Lösung zeigen

    1. 1 h 20 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
    2. Also 2 Stunden bezahlen
    3. 2 · 2 = 4

    Ergebnis:

    4,00 €

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Ein Graph zeigt die Entfernung von Mila zur Schule. Ben sagt: „Das waagerechte Stück heißt: Mila fährt auf einer geraden Straße.“ Stimmt das? Begründe.
    So fängst du an:

    Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    Lösung zeigen

    1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    2. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht.
    3. Mila steht still, zum Beispiel an einer Ampel.

    Ergebnis:

    Nein. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht. Mila steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
23. ●23

    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Jonas soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    Lösung zeigen

    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 6 cm

    Ergebnis:

    Achsen verwechselt; die Kerze ist 6 cm hoch
24. ★24

    Eine Kerze ist 21 cm hoch und brennt jede Stunde 3 cm ab. Mila zeichnet die Zeit nach oben und die Höhe nach rechts. Was ist falsch? Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt?
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    1. Die Zeit gehört auf die Achse nach rechts, die Höhe auf die Achse nach oben.
    2. Abbrennen: 21 : 3 = 7
    3. Der Graph trifft nach 7 Stunden die Zeitachse.

    Ergebnis:

    Achsen vertauscht; nach 7 Stunden