Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

●29
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
m Geschenkband 1 2 5 10
Preis 1,50 € 3,00 € ? 15,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
2. Lücke: 5 · 1,50 € = 7,50 €
3. m Geschenkband 1 2 5 10
  Preis 1,50 € 3,00 € ? 7,50 € 15,00 €
  y : x 1,50 1,50 1,50 1,50
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 5 · 1,50 €.
Ergebnis:
7,50 €
●30
Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
Liter Saft 1 2 5 10
Preis 4,00 € ? 20,00 € 40,00 €
Lösung zeigen
1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
2. Lücke: 2 · 4,00 € = 8,00 €
3. Liter Saft 1 2 5 10
  Preis 4,00 € ? 8,00 € 20,00 € 40,00 €
  y : x 4 4 4 4
  In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 4,00 €.
Ergebnis:
8,00 €

m Geschenkband	1	2	5	10
Preis	1,50 €	3,00 €	?	15,00 €

m Geschenkband	1	2	5	10
Preis	1,50 €	3,00 €	? 7,50 €	15,00 €
y : x	1,50	1,50	1,50	1,50

Liter Saft	1	2	5	10
Preis	4,00 €	?	20,00 €	40,00 €

Liter Saft	1	2	5	10
Preis	4,00 €	? 8,00 €	20,00 €	40,00 €
y : x	4	4	4	4

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 2, 2 → ?, 3 → 6, 4 → 8. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?

Schritt für Schritt

Von einer Spalte zur nächsten: 2 − 0 = 2
Die Änderung ist immer gleich: 2 m mehr je Sekunde
2 + 2 = 4

Von einer Spalte zur nächsten: 2 − 0 = 2
Die Änderung ist immer gleich: 2 m mehr je Sekunde
2 + 2 = 4

Ergebnis:

4 m

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht

Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie

So richtig

Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

○1
Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Am Anfang sind es 18 l, und je Minute kommen 25 l dazu. Nach wie vielen Minuten sind es 318 l?
So fängst du an:
Unterschied: 318 − 18 = 300
Lösung zeigen
1. Unterschied: 318 − 18 = 300
2. Je Minute 25 l: 300 : 25 = 12
3. Probe: 18 + 12 · 25 = 318
Ergebnis:
nach 12 Minuten
●2
Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 89, 1 → 85, 2 → 81, 3 → ?, 4 → 73. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Lösung zeigen
1. Von einer Spalte zur nächsten: 85 − 89 = −4
2. Die Änderung ist immer gleich: 4 °C weniger je Minute
3. 81 − 4 = 77
Ergebnis:
77 °C
★3
Ein Handy wird geladen. Die Tabelle zeigt Zeit und Akkustand: 0 → 20, 2 → 26, 4 → 32, 6 → 38, 8 → 44. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich der Akkustand je Minute?
Lösung zeigen
1. Von Spalte zu Spalte: 20 → 26, das sind 6 % mehr
2. Das gilt für 2 Minuten, also für eine: 6 : 2 = 3
3. Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku.
Ergebnis:
Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku; 3 % mehr je Minute

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?

Schritt für Schritt

Den höchsten Punkt des Graphen suchen
Er liegt über 14 Uhr
Dort abgelesen: 20 °C

Den höchsten Punkt des Graphen suchen
Er liegt über 14 Uhr
Dort abgelesen: 20 °C

Ergebnis:

um 14 Uhr, 20 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht

Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000

So richtig

Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

○4
Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 8 Uhr?
So fängst du an:
Auf der Zeitachse 8 Uhr suchen
Lösung zeigen
1. Auf der Zeitachse 8 Uhr suchen
2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
3. Abgelesen: 300 Personen
Ergebnis:
300 Personen
●5
Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
Lösung zeigen
1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
2. Er liegt über 16 Uhr
3. Dort abgelesen: 800 Personen
Ergebnis:
um 16 Uhr, 800 Personen
★6
Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Wie viele Stunden liegen zwischen dem ersten Messpunkt und dem höchsten Wert? Um wie viel ist sie in dieser Zeit gewachsen?
Lösung zeigen
1. Erster Messpunkt: 6 Uhr, 100 Personen
2. Höchster Wert: 12 Uhr, 700 Personen
3. 12 − 6 = 6 und 700 − 100 = 600
Ergebnis:
6 Stunden, 600 Personen mehr

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. Beschreibe Abschnitt B in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?

Schritt für Schritt

Abschnitt B: von 100 m auf 100 m
Keine Änderung
bleibt gleich bei 100 m

Abschnitt B: von 100 m auf 100 m
Keine Änderung
bleibt gleich bei 100 m

Ergebnis:

bleibt gleich bei 100 m

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht

Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute

So richtig

80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
So fängst du an:
A: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
Lösung zeigen
1. A: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
2. B: 80 m in 2 min → 40 m je Minute
3. Am meisten je Minute: Abschnitt B
Ergebnis:
Abschnitt B, 40 m je Minute
●8
Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
Lösung zeigen
1. Abschnitt A: von 20 l auf 60 l
2. A: 40 l in 4 min → 10 l je Minute
3. steigt um 10 l je Minute
Ergebnis:
steigt um 10 l je Minute
★9
Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Um wie viel l ändert sich die Größe vom Anfang bis zum Ende? Wie viel ist das im Durchschnitt je Minute?
Lösung zeigen
1. Anfang: 20 l, Ende: 20 l
2. Änderung: 20 − 20 = 0
3. Dauer: 2 + 2 + 2 + 4 = 10, also 10 min.
4. 0 : 10 = 0
Ergebnis:
0 l; im Durchschnitt 0 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?

Schritt für Schritt

Der Graph ist zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach.
Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
Das passt zum Gefäß (B): zwei Teile, unten der schmale

Der Graph ist zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach.
Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
Das passt zum Gefäß (B): zwei Teile, unten der schmale

Ergebnis:

(B) zwei Teile, unten der schmale

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht

Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab

So richtig

Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

○10
In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
So fängst du an:
Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
Lösung zeigen
1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
3. Also erst flach, dann immer steiler: Graph (C)
Ergebnis:
(C) erst flach, dann immer steiler
●11
In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Lösung zeigen
1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
Ergebnis:
am Ende; erst flach, dann immer steiler
★12
Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 150 cm² Bodenfläche, oben 50 cm². Jede Minute fließen 1200 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
Lösung zeigen
1. Unten: 1200 : 150 = 8, also 8 cm je Minute.
2. Oben: 1200 : 50 = 24, also 24 cm je Minute.
3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.
Ergebnis:
unten 8 cm, oben 24 cm je Minute; erst flach, dann steil

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Mira fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Mira schneller: A oder B? Begründe mit den Geschwindigkeiten.

Schritt für Schritt

A: 2 km in 20 min → 6 km/h
B: 2 km in 15 min → 8 km/h
Schneller: Abschnitt B

A: 2 km in 20 min → 6 km/h
B: 2 km in 15 min → 8 km/h
Schneller: Abschnitt B

Ergebnis:

Abschnitt B mit 8 km/h

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht

Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute

So richtig

80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

○13
Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt C, also von Minute 35 bis Minute 45? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
So fängst du an:
Abschnitt C: 3 km in 10 min
Lösung zeigen
1. Abschnitt C: 3 km in 10 min
2. In 60 min: 3 km · 6
3. 18 km/h
Ergebnis:
18 km/h
●14
Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 20? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
Lösung zeigen
1. Abschnitt A: 6 km in 20 min
2. In 60 min: 6 km · 3
3. 18 km/h
Ergebnis:
18 km/h
★15
Jonas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie viele Kilometer fährt Jonas insgesamt? Achtung: Das Diagramm zeigt die Entfernung, nicht den gefahrenen Weg.
Lösung zeigen
1. A: 2 km
2. B: 5 km
3. C: 0 km
4. Zusammen: 2 + 5 + 0 = 7
Ergebnis:
7 km

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Teile 12 durch die Zahl. Liegt der Punkt P(4 | 4) auf ihrem Graphen? Rechne nach.

Schritt für Schritt

x = 4 einsetzen
x = 4: 12 : 4 = 3
3 ist nicht 4: P liegt nicht darauf

x = 4 einsetzen
x = 4: 12 : 4 = 3
3 ist nicht 4: P liegt nicht darauf

Ergebnis:

nein

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht

Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €

So richtig

Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

○16
Die Rechenvorschrift heißt: Teile 12 durch die Zahl. Liegt der Punkt P(6 | 4) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
So fängst du an:
x = 6 einsetzen
Lösung zeigen
1. x = 6 einsetzen
2. x = 6: 12 : 6 = 2
3. 2 ist nicht 4: P liegt nicht darauf
Ergebnis:
nein
●17
Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Ergänze die Wertetabelle: 0 → ?, 1 → ?, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1.
Lösung zeigen
1. x = 0: 5 − 0 = 5
2. x = 1: 5 − 1 = 4
3. Tabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1
Ergebnis:
für x = 0: 5; für x = 1: 4
★18
Die Rechenvorschrift heißt: x → 12 : x. Ergänze die Wertetabelle: 1 → 12, 2 → 6, 3 → 4, 4 → ?, 6 → ?.
Lösung zeigen
1. x = 4: 12 : 4 = 3
2. x = 6: 12 : 6 = 2
3. Tabelle: 1 → 12, 2 → 6, 3 → 4, 4 → 3, 6 → 2
Ergebnis:
für x = 4: 3; für x = 6: 2

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Was kostet es, 2 Stunden und 5 Minuten zu parken?

Schritt für Schritt

2 h 5 min: Die 3. Stunde ist angefangen.
Also 3 Stunden bezahlen
3 · 1,5 = 4,5

2 h 5 min: Die 3. Stunde ist angefangen.
Also 3 Stunden bezahlen
3 · 1,5 = 4,5

Ergebnis:

4,50 €

AchtungNoch einmal: Vorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht

Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €

So richtig

Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

○19
Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 3,00 €. Du hast 30,00 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
So fängst du an:
30,00 € : 3,00 € ≈ 10
Lösung zeigen
1. 30,00 € : 3,00 € ≈ 10
2. Nur ganze Stunden zählen: 10 Stunden
3. Eine Minute mehr wäre die 11. Stunde.
Ergebnis:
10 Stunden
●20
Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Du hast 18,00 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
Lösung zeigen
1. 18,00 € : 2,00 € ≈ 9
2. Nur ganze Stunden zählen: 9 Stunden
3. Eine Minute mehr wäre die 10. Stunde.
Ergebnis:
9 Stunden
★21
Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 5,00 €, bis 5 kg: 7,00 €, bis 10 kg: 10,00 €, bis 20 kg: 15,00 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 5 kg?
Lösung zeigen
1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
3. Genau 5 kg gehört noch zu „bis 5 kg“: 7,00 €
Ergebnis:
waagerechte Stufen mit Sprüngen; 7,00 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Noah soll ablesen, wie hoch sie nach 2 Stunden ist, und sucht 2 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?

Schritt für Schritt

Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
2 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
Abgelesen: 18 cm

Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
2 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
Abgelesen: 18 cm

Ergebnis:

Achsen verwechselt; die Kerze ist 18 cm hoch

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht

Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab

So richtig

Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

○22
Ein Graph zeigt die Entfernung von Aylin zur Schule. Lukas sagt: „Das waagerechte Stück heißt: Aylin fährt auf einer geraden Straße.“ Stimmt das? Begründe.
So fängst du an:
Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
Lösung zeigen
1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
2. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht.
3. Aylin steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
Ergebnis:
Nein. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht. Aylin steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
●23
Der Graph zeigt die Entfernung von Aylin von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Aylin wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
(B) Aylin fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
(C) Aylin fährt los, kehrt um, weil etwas vergessen wurde, und fährt noch einmal los.
Lösung zeigen
1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
2. Der Graph: nach oben, nach unten, nach oben
3. Das ist Geschichte (C).
Ergebnis:
(C)
★24
Der Graph zeigt die Entfernung von Aylin von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Aylin wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
(B) Aylin fährt los, kehrt um, weil etwas vergessen wurde, und fährt noch einmal los.
(C) Aylin fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
Lösung zeigen
1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
2. Der Graph: nach oben, nach unten, nach oben
3. Das ist Geschichte (B).
Ergebnis:
(B)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 3, 2 → 6, 3 → 9, 4 → 12. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Höhe des Fahrstuhls je Sekunde?
Lösung zeigen
1. Von Spalte zu Spalte: 0 → 3, das sind 3 m mehr
2. Je länger der Fahrstuhl fährt, desto höher ist er.
Ergebnis:
Je länger der Fahrstuhl fährt, desto höher ist er; 3 m mehr je Sekunde
●26
Wie hängen diese Größen zusammen: die Zahl der Fahrgäste im Bus und die Zahl der freien Sitzplätze? Ergänze „Je größer …, desto …“ – oder begründe, warum es keinen solchen Satz gibt.
Lösung zeigen
1. Stell dir vor: Die Zahl der Fahrgäste im Bus wird größer.
2. Dann wird die Zahl der freien Sitzplätze kleiner.
Ergebnis:
Je größer die Zahl der Fahrgäste im Bus, desto kleiner die Zahl der freien Sitzplätze.
●27
Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 10 Uhr und 18 Uhr verändert?
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1. 10 Uhr: 18 °C
2. 18 Uhr: 20 °C
3. 20 − 18 = 2
Ergebnis:
2 °C mehr
★28
Nach rechts ist die Zeit im heißen Backofen aufgetragen, nach oben die Temperatur des Kuchens. Welcher Graph passt? Begründe mit „je …, desto …“.
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1. Die Zeit im heißen Backofen wird größer.
2. Dann wird die Temperatur des Kuchens größer.
3. Die Linie muss nach rechts nach oben gehen.
4. Also Graph (C)
Ergebnis:
(C) steigt

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …: Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen: Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?: Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen: Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm: Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle: Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge: Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen: Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

nach 12 Minuten
77 °C
Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku; 3 % mehr je Minute
300 Personen
um 16 Uhr, 800 Personen
6 Stunden, 600 Personen mehr
Abschnitt B, 40 m je Minute
steigt um 10 l je Minute
0 l; im Durchschnitt 0 l je Minute
(C) erst flach, dann immer steiler
am Ende; erst flach, dann immer steiler
unten 8 cm, oben 24 cm je Minute; erst flach, dann steil
18 km/h
18 km/h
7 km
nein
für x = 0: 5; für x = 1: 4
für x = 4: 3; für x = 6: 2
10 Stunden
9 Stunden
waagerechte Stufen mit Sprüngen; 7,00 €
Nein. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht. Aylin steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
(C)
(B)
Je länger der Fahrstuhl fährt, desto höher ist er; 3 m mehr je Sekunde
Je größer die Zahl der Fahrgäste im Bus, desto kleiner die Zahl der freien Sitzplätze.
2 °C mehr
(C) steigt
7,50 €
8,00 €