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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●29
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis4,00 €8,00 €20,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
    2. Lücke: 10 · 4,00 € = 40,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis4,00 €8,00 €20,00 €? 40,00 €
      y : x4444

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 10 · 4,00 €.

    Ergebnis:
    40,00 €
  2. ●30
    Ein Becken: 20 Liter pro Minute, zu Beginn sind schon 50 Liter drin.
    Welcher Graph gehört dazu? Begründe deine Wahl.
    (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt
    (B) Ursprungsgerade
    (C) waagerechte Gerade
    (A)xy(B)xy(C)xy
    Lösung zeigen
    1. Beispiel: 0 min → 50 l; 1 min → 70 l; 2 min → 90 l
    2. x = 0 → y = 50 l, nicht 0
    3. x verdoppelt → y wird nicht doppelt
    4. also nicht proportional
    5. Antwort: (A)
    Ergebnis:
    (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Eine Kerze brennt ab. Am Anfang sind es 29 cm, und je Stunde gehen 3 cm weg. Nach wie vielen Stunden sind es 8 cm?
gegebengesucht29 cm3 cm8 cm?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 29 − 8 = 21
  2. Je Stunde 3 cm: 21 : 3 = 7
  3. Probe: 29 − 7 · 3 = 8
  1. Unterschied: 29 − 8 = 21
  2. Je Stunde 3 cm: 21 : 3 = 7
  3. Probe: 29 − 7 · 3 = 8
Ergebnis:
nach 7 Stunden

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 0, 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in SekundenHöhe in m001224364?
    So fängst du an:
    Von einer Spalte zur nächsten: 2 − 0 = 2
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 2 − 0 = 2
    2. Die Änderung ist immer gleich: 2 m mehr je Sekunde
    3. 6 + 2 = 8
    Ergebnis:
    8 m
  2. ●2
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 472, 1 → 460, 2 → 448, 3 → ?, 4 → 424. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenGuthaben in Cent0472146024483?4424
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 460 − 472 = −12
    2. Die Änderung ist immer gleich: 12 Cent weniger je Minute
    3. 448 − 12 = 436
    Ergebnis:
    436 Cent
  3. ★3
    Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 92, 2 → 84, 4 → 76, 6 → 68, 8 → 60. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Temperatur je Minute?
    Zeit in MinutenTemperatur in °C092284476668860
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 92 → 84, das sind 8 °C weniger
    2. Das gilt für 2 Minuten, also für eine: 8 : 2 = 4
    3. Je länger der Topf draußen steht, desto kälter wird das Wasser.
    Ergebnis:
    Je länger der Topf draußen steht, desto kälter wird das Wasser; 4 °C weniger je Minute

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 14 Uhr
  3. Dort abgelesen: 26 °C
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 14 Uhr
  3. Dort abgelesen: 26 °C
Ergebnis:
um 14 Uhr, 26 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    So fängst du an:
    Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    Lösung zeigen
    1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    2. Er liegt über 16 Uhr
    3. Dort abgelesen: 1200 Personen
    Ergebnis:
    um 16 Uhr, 1200 Personen
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 300 Personen
    Ergebnis:
    300 Personen
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Wie viele Stunden liegen zwischen dem ersten Messpunkt und dem höchsten Wert? Um wie viel ist sie in dieser Zeit gewachsen?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    Lösung zeigen
    1. Erster Messpunkt: 6 Uhr, 8 °C
    2. Höchster Wert: 16 Uhr, 26 °C
    3. 16 − 6 = 10 und 26 − 8 = 18
    Ergebnis:
    10 Stunden, 18 °C mehr

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
02468020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt A: von 40 l auf 80 l
  2. A: 40 l in 2 min → 20 l je Minute
  3. steigt um 20 l je Minute
  1. Abschnitt A: von 40 l auf 80 l
  2. A: 40 l in 2 min → 20 l je Minute
  3. steigt um 20 l je Minute
Ergebnis:
steigt um 20 l je Minute

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    02468101214020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    So fängst du an:
    Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    2. D: 120 l in 4 min → 30 l je Minute
    3. 140 − 20 = 120
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 30 l je Minute weniger
  2. ●8
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    02468020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt B
    2. B: 40 l in 2 min → 20 l je Minute
    3. 100 − 60 = 40
    Ergebnis:
    Abschnitt B, 20 l je Minute weniger
  3. ★9
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    0246810121416020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. A: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
    2. D: 160 l in 4 min → 40 l je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt D
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 40 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
HöheZeit(A)(B)(C)
Schritt für Schritt
  1. Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
  2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
  3. Das passt zum Gefäß (B): unten breit, oben schmal
  1. Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
  2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
  3. Das passt zum Gefäß (B): unten breit, oben schmal
Ergebnis:
(B) unten breit, oben schmal

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:
    Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
    Ergebnis:
    am Ende; erst flach, dann immer steiler
  2. ●11
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
    2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
    3. Schneller am Anfang: zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
    Ergebnis:
    am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  3. ★12
    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 300 cm² Bodenfläche, oben 100 cm². Jede Minute fließen 600 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
    Lösung zeigen
    1. Unten: 600 : 300 = 2, also 2 cm je Minute.
    2. Oben: 600 : 100 = 6, also 6 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.
    Ergebnis:
    unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Mila fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Mila Pause, und wie weit ist Mila dabei von zu Hause entfernt?
01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
  2. Abschnitt C: von Minute 45 bis Minute 55, also 10 min
  3. Entfernung dabei: 9 km
  1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
  2. Abschnitt C: von Minute 45 bis Minute 55, also 10 min
  3. Entfernung dabei: 9 km
Ergebnis:
10 min Pause, 9 km von zu Hause

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lea fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Lea Pause, und wie weit ist Lea dabei von zu Hause entfernt?
    0102030400123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 15 bis Minute 25, also 10 min
    3. Entfernung dabei: 1 km
    Ergebnis:
    10 min Pause, 1 km von zu Hause
  2. ●14
    Noah fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Noah Pause, und wie weit ist Noah dabei von zu Hause entfernt?
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 15 bis Minute 25, also 10 min
    3. Entfernung dabei: 4 km
    Ergebnis:
    10 min Pause, 4 km von zu Hause
  3. ★15
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie viele Kilometer fährt Tim insgesamt? Achtung: Das Diagramm zeigt die Entfernung, nicht den gefahrenen Weg.
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 1 km
    2. B: 0 km
    3. C: 1 km zurück
    4. Zusammen: 1 + 0 + 1 = 2
    Ergebnis:
    2 km, obwohl Tim am Ende wieder zu Hause ist

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Liegt der Punkt P(4 | 13) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
242468101214P
Schritt für Schritt
  1. x = 4 einsetzen
  2. x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
  3. 13 ist gleich 13: P liegt darauf
  1. x = 4 einsetzen
  2. x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
  3. 13 ist gleich 13: P liegt darauf
Ergebnis:
ja

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Ergänze die Wertetabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → ?, 3 → 2, 4 → ?.
    x01234Ergebnis54?2?
    So fängst du an:
    x = 2: 5 − 2 = 3
    Lösung zeigen
    1. x = 2: 5 − 2 = 3
    2. x = 4: 5 − 4 = 1
    3. Tabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1
    Ergebnis:
    für x = 2: 3; für x = 4: 1
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Liegt der Punkt P(3 | 1) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    24246P
    Lösung zeigen
    1. x = 3 einsetzen
    2. x = 3: 5 − 3 = 2
    3. 2 ist nicht 1: P liegt nicht darauf
    Ergebnis:
    nein
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → x · x. Ergänze die Wertetabelle: −2 → 4, −1 → 1, 0 → ?, 1 → 1, 2 → ?.
    x−2−1012Ergebnis41?1?
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 0 · 0 = 0
    2. x = 2: 2 · 2 = 4
    3. Tabelle: −2 → 4, −1 → 1, 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4
    Ergebnis:
    für x = 0: 0; für x = 2: 4

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 7,50 €, bis 5 kg: 10,00 €, bis 10 kg: 15,00 €. Was kostet ein Paket mit 6 kg?
01234567891005101520Gewicht in kgPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 6 kg liegt über 5 kg und höchstens bei 10 kg.
  2. Also die Stufe „bis 10 kg“
  3. Preis: 15,00 €
  1. 6 kg liegt über 5 kg und höchstens bei 10 kg.
  2. Also die Stufe „bis 10 kg“
  3. Preis: 15,00 €
Ergebnis:
15,00 €

AchtungKomma nur im Teiler verschoben

So nicht
13,76 : 1,72 = 13,76 : 172
So richtig
13,76 : 1,72 = 1376 : 172 = 8

Verschiebe das Komma in beiden Zahlen gleich weit.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 7,00 €, bis 5 kg: 10,00 €, bis 10 kg: 14,00 €. Was kostet ein Paket mit 2 kg?
    01234567891005101520Gewicht in kgPreis in €
    So fängst du an:
    2 kg liegt über 1 kg und höchstens bei 3 kg.
    Lösung zeigen
    1. 2 kg liegt über 1 kg und höchstens bei 3 kg.
    2. Also die Stufe „bis 3 kg“
    3. Preis: 7,00 €
    Ergebnis:
    7,00 €
  2. ●20
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 4,50 €, bis 5 kg: 6,00 €, bis 10 kg: 8,50 €, bis 20 kg: 12,50 €. Was kostet ein Paket mit 2 kg?
    0510152005101520Gewicht in kgPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 2 kg liegt über 0 kg und höchstens bei 2 kg.
    2. Also die Stufe „bis 2 kg“
    3. Preis: 4,50 €
    Ergebnis:
    4,50 €
  3. ★21
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 13,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 13,50 € : 1,50 € ≈ 9
    2. Nur ganze Stunden zählen: 9 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 10. Stunde.
    Ergebnis:
    9 Stunden

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Ein Graph zeigt die Entfernung von Noah zur Schule. Ben sagt: „Das waagerechte Stück heißt: Noah fährt auf einer geraden Straße.“ Stimmt das? Begründe.
01234ZeitEntfernung
Schritt für Schritt
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
  2. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht.
  3. Noah steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
  2. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht.
  3. Noah steht still, zum Beispiel an einer Ampel.
Ergebnis:
Nein. Waagerecht heißt: Die Entfernung ändert sich nicht. Noah steht still, zum Beispiel an einer Ampel.

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Graph zeigt die Entfernung von Zeynep von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Zeynep fährt los, kehrt um, weil etwas vergessen wurde, und fährt noch einmal los.
    (B) Zeynep fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
    (C) Zeynep wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
    01234ZeitEntfernung
    So fängst du an:
    Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    Lösung zeigen
    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, nach oben, waagerecht
    3. Das ist Geschichte (B).
    Ergebnis:
    (B)
  2. ●23
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Ben soll ablesen, wie hoch sie nach 5 Stunden ist, und sucht 5 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    0123450102030Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 5 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 15 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 15 cm hoch
  3. ★24
    Eine Kerze ist 24 cm hoch und brennt jede Stunde 4 cm ab. Emre zeichnet die Zeit nach oben und die Höhe nach rechts. Was ist falsch? Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt?
    02460102030Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit gehört auf die Achse nach rechts, die Höhe auf die Achse nach oben.
    2. Abbrennen: 24 : 4 = 6
    3. Der Graph trifft nach 6 Stunden die Zeitachse.
    Ergebnis:
    Achsen vertauscht; nach 6 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Eine Kerze brennt ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 25, 1 → 22, 2 → 19, 3 → 16, 4 → 13. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Höhe der Kerze je Stunde?
    Zeit in StundenHöhe in cm025122219316413
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 25 → 22, das sind 3 cm weniger
    2. Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie.
    Ergebnis:
    Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie; 3 cm weniger je Stunde
  2. ●26
    Nach rechts ist die Anzahl der gekauften Hefte aufgetragen, nach oben der Preis an der Kasse. Welcher Graph passt? Begründe mit „je …, desto …“.
    (A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Die Anzahl der gekauften Hefte wird größer.
    2. Dann wird der Preis an der Kasse größer.
    3. Die Linie muss nach rechts nach oben gehen.
    4. Also Graph (A)
    Ergebnis:
    (A) steigt
  3. ●27
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst. Ergänze die Wertetabelle: 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4, 3 → ?, 4 → ?.
    x01234Ergebnis014??
    Lösung zeigen
    1. x = 3: 3 · 3 = 9
    2. x = 4: 4 · 4 = 16
    3. Tabelle: 0 → 0, 1 → 1, 2 → 4, 3 → 9, 4 → 16
    Ergebnis:
    für x = 3: 9; für x = 4: 16
  4. ★28
    Mila sagt: „Je größer die Fahrzeit bei gleichbleibendem Tempo, desto kleiner die gefahrene Strecke.“ Stimmt das? Verbessere den Satz.
    Lösung zeigen
    1. Stell dir vor: Die Fahrzeit bei gleichbleibendem Tempo wird größer.
    2. Dann wird die gefahrene Strecke größer.
    3. Der Satz stimmt nicht: Die Richtung ist falsch.
    Ergebnis:
    Nein. Je größer die Fahrzeit bei gleichbleibendem Tempo, desto größer die gefahrene Strecke.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. 8 m
  2. 436 Cent
  3. Je länger der Topf draußen steht, desto kälter wird das Wasser; 4 °C weniger je Minute
  4. um 16 Uhr, 1200 Personen
  5. 300 Personen
  6. 10 Stunden, 18 °C mehr
  7. Abschnitt D, 30 l je Minute weniger
  8. Abschnitt B, 20 l je Minute weniger
  9. Abschnitt D, 40 l je Minute
  10. am Ende; erst flach, dann immer steiler
  11. am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  12. unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil
  13. 10 min Pause, 1 km von zu Hause
  14. 10 min Pause, 4 km von zu Hause
  15. 2 km, obwohl Tim am Ende wieder zu Hause ist
  16. für x = 2: 3; für x = 4: 1
  17. nein
  18. für x = 0: 0; für x = 2: 4
  19. 7,00 €
  20. 4,50 €
  21. 9 Stunden
  22. (B)
  23. Achsen verwechselt; die Kerze ist 15 cm hoch
  24. Achsen vertauscht; nach 6 Stunden
  25. Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie; 3 cm weniger je Stunde
  26. (A) steigt
  27. für x = 3: 9; für x = 4: 16
  28. Nein. Je größer die Fahrzeit bei gleichbleibendem Tempo, desto größer die gefahrene Strecke.
  29. 40,00 €
  30. (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt