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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●29
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €?10,00 €20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    4,00 €
  2. ●30
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis3,00 €6,00 €?30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 5 · 3,00 € = 15,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis3,00 €6,00 €? 15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 5 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    15,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Ein Handy wird geladen. Die Tabelle zeigt Zeit und Akkustand: 0 → 17, 1 → 20, 2 → 23, 3 → 26, 4 → 29. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich der Akkustand je Minute?
Zeit in MinutenAkkustand in %017120223326429
Schritt für Schritt
  1. Von Spalte zu Spalte: 17 → 20, das sind 3 % mehr
  2. Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku.
  1. Von Spalte zu Spalte: 17 → 20, das sind 3 % mehr
  2. Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku.
Ergebnis:
Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku; 3 % mehr je Minute

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Handy wird geladen. Die Tabelle zeigt Zeit und Akkustand: 0 → 22, 1 → 24, 2 → 26, 3 → 28, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenAkkustand in %0221242263284?
    So fängst du an:
    Von einer Spalte zur nächsten: 24 − 22 = 2
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 24 − 22 = 2
    2. Die Änderung ist immer gleich: 2 % mehr je Minute
    3. 28 + 2 = 30
    Ergebnis:
    30 %
  2. ●2
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Am Anfang sind es 419 Cent, und je Minute gehen 12 Cent weg. Nach wie vielen Minuten sind es 347 Cent?
    gegebengesucht419 Cent12 Cent347 Cent?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 419 − 347 = 72
    2. Je Minute 12 Cent: 72 : 12 = 6
    3. Probe: 419 − 6 · 12 = 347
    Ergebnis:
    nach 6 Minuten
  3. ★3
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 456, 2 → 438, 4 → 420, 6 → ?, 8 → 384. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenGuthaben in Cent0456243844206?8384
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 438 − 456 = −18
    2. Die Änderung ist immer gleich: 9 Cent weniger je Minute
    3. 420 − 18 = 402
    Ergebnis:
    402 Cent

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 14 Uhr
  3. Dort abgelesen: 26 °C
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 14 Uhr
  3. Dort abgelesen: 26 °C
Ergebnis:
um 14 Uhr, 26 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 10 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    So fängst du an:
    Auf der Zeitachse 10 Uhr suchen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 10 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 18 °C
    Ergebnis:
    18 °C
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 400 Personen
    Ergebnis:
    400 Personen
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 6 Uhr und 18 Uhr verändert?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. 6 Uhr: 100 Personen
    2. 18 Uhr: 900 Personen
    3. 900 − 100 = 800
    Ergebnis:
    800 Personen mehr

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
02468020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt A: von 40 m auf 40 m
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 40 m
  1. Abschnitt A: von 40 m auf 40 m
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 40 m
Ergebnis:
bleibt gleich bei 40 m

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    0246810020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    So fängst du an:
    A: 20 l in 2 min → 10 l je Minute
    Lösung zeigen
    1. A: 20 l in 2 min → 10 l je Minute
    2. B: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt B
    Ergebnis:
    Abschnitt B, 20 l je Minute
  2. ●8
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    024681012020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt C
    2. C: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
    3. 140 − 60 = 80
    Ergebnis:
    Abschnitt C, 20 l je Minute weniger
  3. ★9
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Um wie viel l ändert sich die Größe vom Anfang bis zum Ende? Wie viel ist das im Durchschnitt je Minute?
    02468101214020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Anfang: 0 l, Ende: 80 l
    2. Änderung: 80 − 0 = 80
    3. Dauer: 4 + 2 + 4 + 4 = 14, also 14 min.
    4. 80 : 14 ≈ 5,7
    Ergebnis:
    80 l; im Durchschnitt 5,7 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
HöheZeit(A)(B)(C)
Schritt für Schritt
  1. Der Graph ist eine gerade Linie.
  2. Jeder Zentimeter braucht gleich viel Wasser.
  3. Das passt zum Gefäß (A): überall gleich breit
  1. Der Graph ist eine gerade Linie.
  2. Jeder Zentimeter braucht gleich viel Wasser.
  3. Das passt zum Gefäß (A): überall gleich breit
Ergebnis:
(A) überall gleich breit

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:
    Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
    2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
    3. Schneller am Anfang: zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
    Ergebnis:
    am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  2. ●11
    In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
    Gefäß(A)(B)(C)Höhe
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Also erst steil, dann immer flacher: Graph (C)
    Ergebnis:
    (C) erst steil, dann immer flacher
  3. ★12
    In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
    Ergebnis:
    am Anfang; erst steil, dann immer flacher

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Sara fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Sara schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. A: 4 km in 30 min → 8 km/h
  2. C: 3 km in 10 min → 18 km/h
  3. Schneller: Abschnitt C
  1. A: 4 km in 30 min → 8 km/h
  2. C: 3 km in 10 min → 18 km/h
  3. Schneller: Abschnitt C
Ergebnis:
Abschnitt C mit 18 km/h

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Mila fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Mila schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    A: 6 km in 20 min → 18 km/h
    Lösung zeigen
    1. A: 6 km in 20 min → 18 km/h
    2. C: 5 km in 30 min → 10 km/h
    3. Schneller: Abschnitt A
    Ergebnis:
    Abschnitt A mit 18 km/h
  2. ●14
    Emre fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Emre Pause, und wie weit ist Emre dabei von zu Hause entfernt?
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt C: von Minute 40 bis Minute 60, also 20 min
    3. Entfernung dabei: 10 km
    Ergebnis:
    20 min Pause, 10 km von zu Hause
  3. ★15
    Sara fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Sara Pause, und wie weit ist Sara dabei von zu Hause entfernt?
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 15 bis Minute 35, also 20 min
    3. Entfernung dabei: 1 km
    Ergebnis:
    20 min Pause, 1 km von zu Hause

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
24−4−224681012
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
  2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
  3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
  1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
  2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
  3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
Ergebnis:
(0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Liegt der Punkt P(4 | 13) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    242468101214P
    So fängst du an:
    x = 4 einsetzen
    Lösung zeigen
    1. x = 4 einsetzen
    2. x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
    3. 13 ist gleich 13: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Liegt der Punkt P(1 | −3) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    24−4−224681012P
    Lösung zeigen
    1. x = 1 einsetzen
    2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
    3. −3 ist gleich −3: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → x · x − 4. Liegt der Punkt P(−2 | 1) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    −22−4−22P
    Lösung zeigen
    1. x = −2 einsetzen
    2. x = −2: (−2) · (−2) − 4 = 0
    3. 0 ist nicht 1: P liegt nicht darauf
    Ergebnis:
    nein

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 6,00 €, bis 5 kg: 7,50 €, bis 10 kg: 10,00 €, bis 20 kg: 15,00 €. Was kostet ein Paket mit 8,5 kg?
0510152005101520Gewicht in kgPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 8,5 kg liegt über 5 kg und höchstens bei 10 kg.
  2. Also die Stufe „bis 10 kg“
  3. Preis: 10,00 €
  1. 8,5 kg liegt über 5 kg und höchstens bei 10 kg.
  2. Also die Stufe „bis 10 kg“
  3. Preis: 10,00 €
Ergebnis:
10,00 €

AchtungNoch einmal: Vorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 5,50 €, bis 5 kg: 7,50 €, bis 10 kg: 10,50 €, bis 20 kg: 15,50 €. Was kostet ein Paket mit 18 kg?
    051015200510152025Gewicht in kgPreis in €
    So fängst du an:
    18 kg liegt über 10 kg und höchstens bei 20 kg.
    Lösung zeigen
    1. 18 kg liegt über 10 kg und höchstens bei 20 kg.
    2. Also die Stufe „bis 20 kg“
    3. Preis: 15,50 €
    Ergebnis:
    15,50 €
  2. ●20
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 7,00 €, bis 5 kg: 9,00 €, bis 10 kg: 13,00 €. Was kostet ein Paket mit 0,5 kg?
    01234567891005101520Gewicht in kgPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 0,5 kg liegt über 0 kg und höchstens bei 1 kg.
    2. Also die Stufe „bis 1 kg“
    3. Preis: 5,50 €
    Ergebnis:
    5,50 €
  3. ★21
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 4 Stunden und 30 Minuten zu parken?
    012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 4 h 30 min: Die 5. Stunde ist angefangen.
    2. Also 5 Stunden bezahlen
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10,00 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Ein Graph zeigt die Höhe eines Fahrstuhls. Lukas sagt: „Der Fahrstuhl fährt schräg nach oben, denn der Graph ist eine schräge Linie.“ Stimmt das? Begründe.
01234ZeitEntfernung
Schritt für Schritt
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Höhe eines Fahrstuhls.
  2. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit.
  3. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Höhe eines Fahrstuhls.
  2. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit.
  3. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
Ergebnis:
Nein. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Graph zeigt die Entfernung von Zeynep von zu Hause. Lukas sagt: „Am Ende geht der Graph nach unten, also fährt Zeynep bergab.“ Stimmt das? Begründe.
    01234ZeitEntfernung
    So fängst du an:
    Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    Lösung zeigen
    1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    2. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner.
    3. Zeynep fährt zurück nach Hause.
    Ergebnis:
    Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Zeynep fährt zurück nach Hause.
  2. ●23
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Lukas soll ablesen, wie hoch sie nach 3 Stunden ist, und sucht 3 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 3 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 10 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 10 cm hoch
  3. ★24
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Lea soll ablesen, wie hoch sie nach 2 Stunden ist, und sucht 2 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 2 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 10 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 10 cm hoch

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Am Anfang sind es 0 m, und je Sekunde kommen 2 m dazu. Nach wie vielen Sekunden sind es 12 m?
    gegebengesucht0 m2 m12 m?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 12 − 0 = 12
    2. Je Sekunde 2 m: 12 : 2 = 6
    3. Probe: 0 + 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    nach 6 Sekunden
  2. ●26
    Nach rechts ist die Zahl der Personen, die sich eine Pizza teilen aufgetragen, nach oben ein Stück der Pizza. Welcher Graph passt? Begründe mit „je …, desto …“.
    (A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Die Zahl der Personen, die sich eine Pizza teilen wird größer.
    2. Dann wird ein Stück der Pizza kleiner.
    3. Die Linie muss nach rechts nach unten gehen.
    4. Also Graph (A)
    Ergebnis:
    (A) fällt
  3. ●27
    Ein Graph zeigt die Entfernung von Mira von zu Hause. Tim sagt: „Am Ende geht der Graph nach unten, also fährt Mira bergab.“ Stimmt das? Begründe.
    01234ZeitEntfernung
    Lösung zeigen
    1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    2. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner.
    3. Mira fährt zurück nach Hause.
    Ergebnis:
    Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Mira fährt zurück nach Hause.
  4. ★28
    Mira sagt: „Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto kleiner der Preis an der Kasse.“ Stimmt das? Verbessere den Satz.
    Lösung zeigen
    1. Stell dir vor: Die Anzahl der gekauften Hefte wird größer.
    2. Dann wird der Preis an der Kasse größer.
    3. Der Satz stimmt nicht: Die Richtung ist falsch.
    Ergebnis:
    Nein. Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. 30 %
  2. nach 6 Minuten
  3. 402 Cent
  4. 18 °C
  5. 400 Personen
  6. 800 Personen mehr
  7. Abschnitt B, 20 l je Minute
  8. Abschnitt C, 20 l je Minute weniger
  9. 80 l; im Durchschnitt 5,7 l je Minute
  10. am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  11. (C) erst steil, dann immer flacher
  12. am Anfang; erst steil, dann immer flacher
  13. Abschnitt A mit 18 km/h
  14. 20 min Pause, 10 km von zu Hause
  15. 20 min Pause, 1 km von zu Hause
  16. ja
  17. ja
  18. nein
  19. 15,50 €
  20. 5,50 €
  21. 10,00 €
  22. Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Zeynep fährt zurück nach Hause.
  23. Achsen verwechselt; die Kerze ist 10 cm hoch
  24. Achsen verwechselt; die Kerze ist 10 cm hoch
  25. nach 6 Sekunden
  26. (A) fällt
  27. Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Mira fährt zurück nach Hause.
  28. Nein. Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.
  29. 4,00 €
  30. 15,00 €