Zusammenhänge und Graphen

◆ÜbenJetzt du

1. ○1

   Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 361, 1 → 349, 2 → 337, 3 → 325, 4 → 313. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich das Guthaben je Minute?
   So fängst du an:

   Von Spalte zu Spalte: 361 → 349, das sind 12 Cent weniger
   Lösung zeigen

   1. Von Spalte zu Spalte: 361 → 349, das sind 12 Cent weniger
   2. Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.

   Ergebnis:

   Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt; 12 Cent weniger je Minute
2. ●2

   Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 80, 1 → 75, 2 → ?, 3 → 65, 4 → 60. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
   Lösung zeigen

   1. Von einer Spalte zur nächsten: 75 − 80 = −5
   2. Die Änderung ist immer gleich: 5 °C weniger je Minute
   3. 75 − 5 = 70

   Ergebnis:

   70 °C
3. ★3

   Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 88, 2 → 80, 4 → 72, 6 → ?, 8 → 56. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
   Lösung zeigen

   1. Von einer Spalte zur nächsten: 80 − 88 = −8
   2. Die Änderung ist immer gleich: 4 °C weniger je Minute
   3. 72 − 8 = 64

   Ergebnis:

   64 °C

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4. ○4

   Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 8 Uhr und 16 Uhr verändert?
   So fängst du an:

   8 Uhr: 200 Personen
   Lösung zeigen

   1. 8 Uhr: 200 Personen
   2. 16 Uhr: 400 Personen
   3. 400 − 200 = 200

   Ergebnis:

   200 Personen mehr
5. ●5

   Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
   Lösung zeigen

   1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
   2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
   3. Abgelesen: 22 °C

   Ergebnis:

   22 °C
6. ★6

   Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Wie viele Stunden liegen zwischen dem ersten Messpunkt und dem höchsten Wert? Um wie viel ist sie in dieser Zeit gewachsen?
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   1. Erster Messpunkt: 6 Uhr, 14 °C
   2. Höchster Wert: 14 Uhr, 30 °C
   3. 14 − 6 = 8 und 30 − 14 = 16

   Ergebnis:

   8 Stunden, 16 °C mehr

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7. ○7

   Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
   So fängst du an:

   A: 60 l in 2 min → 30 l je Minute
   Lösung zeigen

   1. A: 60 l in 2 min → 30 l je Minute
   2. C: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
   3. Am meisten je Minute: Abschnitt A

   Ergebnis:

   Abschnitt A, 30 l je Minute
8. ●8

   Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
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   1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt C
   2. C: 80 l in 2 min → 40 l je Minute
   3. 160 − 80 = 80

   Ergebnis:

   Abschnitt C, 40 l je Minute weniger
9. ★9

   Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. Um wie viel l ändert sich die Größe vom Anfang bis zum Ende? Wie viel ist das im Durchschnitt je Minute?
   Lösung zeigen

   1. Anfang: 40 l, Ende: 40 l
   2. Änderung: 40 − 40 = 0
   3. Dauer: 4 + 2 + 2 + 2 = 10, also 10 min.
   4. 0 : 10 = 0

   Ergebnis:

   0 l; im Durchschnitt 0 l je Minute

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10. ○10

    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
    So fängst du an:

    Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
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    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Also erst flach, dann immer steiler: Graph (C)

    Ergebnis:

    (C) erst flach, dann immer steiler
11. ●11

    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
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    1. Der Graph ist erst steil, dann immer flacher.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Das passt zum Gefäß (C): unten schmal, oben breit

    Ergebnis:

    (C) unten schmal, oben breit
12. ★12

    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 200 cm² Bodenfläche, oben 100 cm². Jede Minute fließen 600 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
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    1. Unten: 600 : 200 = 3, also 3 cm je Minute.
    2. Oben: 600 : 100 = 6, also 6 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.

    Ergebnis:

    unten 3 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil

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13. ○13

    Mira fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie viele Kilometer fährt Mira insgesamt? Achtung: Das Diagramm zeigt die Entfernung, nicht den gefahrenen Weg.
    So fängst du an:

    A: 2 km
    Lösung zeigen

    1. A: 2 km
    2. B: 2 km
    3. C: 0 km
    4. Zusammen: 2 + 2 + 0 = 4

    Ergebnis:

    4 km
14. ●14

    Zeynep fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Zeynep Pause, und wie weit ist Zeynep dabei von zu Hause entfernt?
    Lösung zeigen

    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt C: von Minute 30 bis Minute 45, also 15 min
    3. Entfernung dabei: 4 km

    Ergebnis:

    15 min Pause, 4 km von zu Hause
15. ★15

    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 15? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
    Lösung zeigen

    1. Abschnitt A: 1 km in 15 min
    2. In 60 min: 1 km · 4
    3. 4 km/h

    Ergebnis:

    4 km/h

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16. ○16

    Die Rechenvorschrift heißt: Teile 12 durch die Zahl. Ergänze die Wertetabelle: 1 → ?, 2 → 6, 3 → 4, 4 → 3, 6 → ?.
    So fängst du an:

    x = 1: 12 : 1 = 12
    Lösung zeigen

    1. x = 1: 12 : 1 = 12
    2. x = 6: 12 : 6 = 2
    3. Tabelle: 1 → 12, 2 → 6, 3 → 4, 4 → 3, 6 → 2

    Ergebnis:

    für x = 1: 12; für x = 6: 2
17. ●17

    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    Lösung zeigen

    1. x = 0: 5 − 0 = 5
    2. x = 1: 5 − 1 = 4
    3. Punkte: (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade

    Ergebnis:

    (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1); ja, eine Gerade
18. ★18

    Die Rechenvorschrift heißt: x → 3 · x + 1. Liegt der Punkt P(2 | 7) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    Lösung zeigen

    1. x = 2 einsetzen
    2. x = 2: 3 · 2 + 1 = 7
    3. 7 ist gleich 7: P liegt darauf

    Ergebnis:

    ja

◆ÜbenJetzt du

19. ○19

    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,50 €. Du hast 8,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    So fängst du an:

    8,50 € : 2,50 € ≈ 3,4
    Lösung zeigen

    1. 8,50 € : 2,50 € ≈ 3,4
    2. Nur ganze Stunden zählen: 3 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 4. Stunde.

    Ergebnis:

    3 Stunden
20. ●20

    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 3,00 €. Was kostet es, 2 Stunden und 10 Minuten zu parken?
    Lösung zeigen

    1. 2 h 10 min: Die 3. Stunde ist angefangen.
    2. Also 3 Stunden bezahlen
    3. 3 · 3 = 9

    Ergebnis:

    9,00 €
21. ★21

    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 6,50 €, bis 5 kg: 9,00 €, bis 10 kg: 15,00 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 3 kg?
    Lösung zeigen

    1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
    2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
    3. Genau 3 kg gehört noch zu „bis 3 kg“: 6,50 €

    Ergebnis:

    waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,50 €

◆ÜbenJetzt du

22. ○22

    Der Graph zeigt die Entfernung von Ben von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Ben fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
    (B) Ben wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
    (C) Ben fährt los, kehrt um, weil etwas vergessen wurde, und fährt noch einmal los.
    So fängst du an:

    Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    Lösung zeigen

    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, nach unten, nach oben
    3. Das ist Geschichte (C).

    Ergebnis:

    (C)
23. ●23

    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Mira soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
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    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 15 cm

    Ergebnis:

    Achsen verwechselt; die Kerze ist 15 cm hoch
24. ★24

    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Ben soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
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    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 20 cm

    Ergebnis:

    Achsen verwechselt; die Kerze ist 20 cm hoch