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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●30
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis2,00 €?10,00 €20,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 2 · 2,00 € = 4,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis2,00 €? 4,00 €10,00 €20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 2 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    4,00 €
  2. ●31
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    30,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Eine Kerze brennt ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 26, 1 → 24, 2 → 22, 3 → ?, 4 → 18. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Zeit in StundenHöhe in cm0261242223?418
Schritt für Schritt
  1. Von einer Spalte zur nächsten: 24 − 26 = −2
  2. Die Änderung ist immer gleich: 2 cm weniger je Stunde
  3. 22 − 2 = 20
  1. Von einer Spalte zur nächsten: 24 − 26 = −2
  2. Die Änderung ist immer gleich: 2 cm weniger je Stunde
  3. 22 − 2 = 20
Ergebnis:
20 cm

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 91, 1 → 87, 2 → 83, 3 → ?, 4 → 75. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenTemperatur in °C0911872833?475
    So fängst du an:
    Von einer Spalte zur nächsten: 87 − 91 = −4
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 87 − 91 = −4
    2. Die Änderung ist immer gleich: 4 °C weniger je Minute
    3. 83 − 4 = 79
    Ergebnis:
    79 °C
  2. ●2
    Ein Handy wird geladen. Die Tabelle zeigt Zeit und Akkustand: 0 → 13, 1 → 15, 2 → 17, 3 → ?, 4 → 21. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenAkkustand in %0131152173?421
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 15 − 13 = 2
    2. Die Änderung ist immer gleich: 2 % mehr je Minute
    3. 17 + 2 = 19
    Ergebnis:
    19 %
  3. ★3
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Am Anfang sind es 0 m, und je Sekunde kommen 2 m dazu. Nach wie vielen Sekunden sind es 18 m?
    gegebengesucht0 m2 m18 m?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 18 − 0 = 18
    2. Je Sekunde 2 m: 18 : 2 = 9
    3. Probe: 0 + 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    nach 9 Sekunden

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 8 Uhr und 20 Uhr verändert?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
Schritt für Schritt
  1. 8 Uhr: 200 Personen
  2. 20 Uhr: 600 Personen
  3. 600 − 200 = 400
  1. 8 Uhr: 200 Personen
  2. 20 Uhr: 600 Personen
  3. 600 − 200 = 400
Ergebnis:
400 Personen mehr

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 14 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    So fängst du an:
    Auf der Zeitachse 14 Uhr suchen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 14 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 26 °C
    Ergebnis:
    26 °C
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 10 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 10 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 18 °C
    Ergebnis:
    18 °C
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 8 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 8 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 300 Personen
    Ergebnis:
    300 Personen

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. Beschreibe Abschnitt B in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
0246810020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt B: von 60 m auf 120 m
  2. B: 60 m in 2 min → 30 m je Minute
  3. steigt um 30 m je Minute
  1. Abschnitt B: von 60 m auf 120 m
  2. B: 60 m in 2 min → 30 m je Minute
  3. steigt um 30 m je Minute
Ergebnis:
steigt um 30 m je Minute

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    0246810020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
    So fängst du an:
    B: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
    Lösung zeigen
    1. B: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
    2. C: 40 m in 2 min → 20 m je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt C
    Ergebnis:
    Abschnitt C, 20 m je Minute
  2. ●8
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. Beschreibe Abschnitt D in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
    02468020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt D: von 40 l auf 40 l
    2. Keine Änderung
    3. bleibt gleich bei 40 l
    Ergebnis:
    bleibt gleich bei 40 l
  3. ★9
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    024681012020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    2. D: 160 l in 4 min → 40 l je Minute
    3. 160 − 0 = 160
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 40 l je Minute weniger

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Schritt für Schritt
  1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
  2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
  3. Schneller am Anfang: zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
  2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
  3. Schneller am Anfang: zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
Ergebnis:
am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:
    Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
    Ergebnis:
    am Anfang; erst steil, dann immer flacher
  2. ●11
    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
    Ergebnis:
    am Ende; erst flach, dann immer steiler
  3. ★12
    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
    HöheZeit(A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Der Graph ist zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil.
    2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
    3. Das passt zum Gefäß (B): zwei Teile, unten der breite
    Ergebnis:
    (B) zwei Teile, unten der breite

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Emre fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Emre Pause, und wie weit ist Emre dabei von zu Hause entfernt?
0102030400123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
  2. Abschnitt B: von Minute 10 bis Minute 20, also 10 min
  3. Entfernung dabei: 2 km
  1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
  2. Abschnitt B: von Minute 10 bis Minute 20, also 10 min
  3. Entfernung dabei: 2 km
Ergebnis:
10 min Pause, 2 km von zu Hause

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 15? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
    0102030400123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Abschnitt A: 2 km in 15 min
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt A: 2 km in 15 min
    2. In 60 min: 2 km · 4
    3. 8 km/h
    Ergebnis:
    8 km/h
  2. ●14
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie viele Kilometer fährt Tim insgesamt? Achtung: Das Diagramm zeigt die Entfernung, nicht den gefahrenen Weg.
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 5 km
    2. B: 5 km
    3. C: 0 km
    4. Zusammen: 5 + 5 + 0 = 10
    Ergebnis:
    10 km
  3. ★15
    Mila fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie viele Kilometer fährt Mila insgesamt? Achtung: Das Diagramm zeigt die Entfernung, nicht den gefahrenen Weg.
    01020300123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 2 km
    2. B: 0 km
    3. C: 2 km zurück
    4. Zusammen: 2 + 0 + 2 = 4
    Ergebnis:
    4 km, obwohl Mila am Ende wieder zu Hause ist

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
242468101214
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
  2. x = 1: 3 · 1 + 1 = 4
  3. Punkte: (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10), (4 | 13)
  4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
  1. x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
  2. x = 1: 3 · 1 + 1 = 4
  3. Punkte: (0 | 1), (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10), (4 | 13)
  4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
Ergebnis:
(0 | 1), (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10), (4 | 13); ja, eine Gerade

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24−4−224681012
    So fängst du an:
    x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
    2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
    3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
    4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
    Ergebnis:
    (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Ergänze die Wertetabelle: 0 → 5, 1 → ?, 2 → ?, 3 → 2, 4 → 1.
    x01234Ergebnis5??21
    Lösung zeigen
    1. x = 1: 5 − 1 = 4
    2. x = 2: 5 − 2 = 3
    3. Tabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1
    Ergebnis:
    für x = 1: 4; für x = 2: 3
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → x · x. Lege eine Wertetabelle für x = −2, −1, 0, 1, 2 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    −2224
    Lösung zeigen
    1. x = −2: (−2) · (−2) = 4
    2. x = −1: (−1) · (−1) = 1
    3. Punkte: (−2 | 4), (−1 | 1), (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4)
    4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
    Ergebnis:
    (−2 | 4), (−1 | 1), (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4); nein, ein Bogen

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 17,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 17,50 € : 1,50 € ≈ 11,67
  2. Nur ganze Stunden zählen: 11 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 12. Stunde.
  1. 17,50 € : 1,50 € ≈ 11,67
  2. Nur ganze Stunden zählen: 11 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 12. Stunde.
Ergebnis:
11 Stunden

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 6,50 €, bis 5 kg: 8,50 €, bis 10 kg: 12,50 €. Was kostet ein Paket mit 1,5 kg?
    01234567891005101520Gewicht in kgPreis in €
    So fängst du an:
    1,5 kg liegt über 1 kg und höchstens bei 3 kg.
    Lösung zeigen
    1. 1,5 kg liegt über 1 kg und höchstens bei 3 kg.
    2. Also die Stufe „bis 3 kg“
    3. Preis: 6,50 €
    Ergebnis:
    6,50 €
  2. ●20
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Was kostet es, 4 Stunden und 5 Minuten zu parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 4 h 5 min: Die 5. Stunde ist angefangen.
    2. Also 5 Stunden bezahlen
    3. 5 · 1,5 = 7,5
    Ergebnis:
    7,50 €
  3. ★21
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,50 €. Was kostet es, 2 Stunden und 30 Minuten zu parken?
    0123456051015Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 2 h 30 min: Die 3. Stunde ist angefangen.
    2. Also 3 Stunden bezahlen
    3. 3 · 2,5 = 7,5
    Ergebnis:
    7,50 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Zeynep soll ablesen, wie hoch sie nach 1 Stunden ist, und sucht 1 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
0123450102030Zeit in hHöhe in cm
Schritt für Schritt
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 1 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 21 cm
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 1 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 21 cm
Ergebnis:
Achsen verwechselt; die Kerze ist 21 cm hoch

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Graph zeigt die Entfernung von Tim von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Tim fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
    (B) Tim fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
    (C) Tim fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
    01234ZeitEntfernung
    So fängst du an:
    Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    Lösung zeigen
    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, waagerecht, nach unten
    3. Das ist Geschichte (C).
    Ergebnis:
    (C)
  2. ●23
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Ben soll ablesen, wie hoch sie nach 2 Stunden ist, und sucht 2 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 2 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 12 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 12 cm hoch
  3. ★24
    Eine Kerze ist 16 cm hoch und brennt jede Stunde 2 cm ab. Mila zeichnet die Zeit nach oben und die Höhe nach rechts. Was ist falsch? Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt?
    0246801020Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit gehört auf die Achse nach rechts, die Höhe auf die Achse nach oben.
    2. Abbrennen: 16 : 2 = 8
    3. Der Graph trifft nach 8 Stunden die Zeitachse.
    Ergebnis:
    Achsen vertauscht; nach 8 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Handy wird geladen. Am Anfang sind es 28 %, und je Minute kommen 3 % dazu. Nach wie vielen Minuten sind es 49 %?
    gegebengesucht28 %3 %49 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 49 − 28 = 21
    2. Je Minute 3 %: 21 : 3 = 7
    3. Probe: 28 + 7 · 3 = 49
    Ergebnis:
    nach 7 Minuten
  2. ●26
    Wie hängen diese Größen zusammen: die Zahl der Fahrgäste im Bus und die Zahl der freien Sitzplätze? Ergänze „Je größer …, desto …“ – oder begründe, warum es keinen solchen Satz gibt.
    Lösung zeigen
    1. Stell dir vor: Die Zahl der Fahrgäste im Bus wird größer.
    2. Dann wird die Zahl der freien Sitzplätze kleiner.
    Ergebnis:
    Je größer die Zahl der Fahrgäste im Bus, desto kleiner die Zahl der freien Sitzplätze.
  3. ●27
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    2. Er liegt über 12 Uhr
    3. Dort abgelesen: 700 Personen
    Ergebnis:
    um 12 Uhr, 700 Personen
  4. ●28
    Die Rechenvorschrift heißt: Verdopple die Zahl und subtrahiere 3. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24−4−2246
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 2 · 0 − 3 = −3
    2. x = 1: 2 · 1 − 3 = −1
    3. Punkte: (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
    Ergebnis:
    (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  5. ★29
    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 300 cm² Bodenfläche, oben 100 cm². Jede Minute fließen 600 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
    Lösung zeigen
    1. Unten: 600 : 300 = 2, also 2 cm je Minute.
    2. Oben: 600 : 100 = 6, also 6 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.
    Ergebnis:
    unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. 79 °C
  2. 19 %
  3. nach 9 Sekunden
  4. 26 °C
  5. 18 °C
  6. 300 Personen
  7. Abschnitt C, 20 m je Minute
  8. bleibt gleich bei 40 l
  9. Abschnitt D, 40 l je Minute weniger
  10. am Anfang; erst steil, dann immer flacher
  11. am Ende; erst flach, dann immer steiler
  12. (B) zwei Teile, unten der breite
  13. 8 km/h
  14. 10 km
  15. 4 km, obwohl Mila am Ende wieder zu Hause ist
  16. (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen
  17. für x = 1: 4; für x = 2: 3
  18. (−2 | 4), (−1 | 1), (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4); nein, ein Bogen
  19. 6,50 €
  20. 7,50 €
  21. 7,50 €
  22. (C)
  23. Achsen verwechselt; die Kerze ist 12 cm hoch
  24. Achsen vertauscht; nach 8 Stunden
  25. nach 7 Minuten
  26. Je größer die Zahl der Fahrgäste im Bus, desto kleiner die Zahl der freien Sitzplätze.
  27. um 12 Uhr, 700 Personen
  28. (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  29. unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil
  30. 4,00 €
  31. 30,00 €