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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●31
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    m Geschenkband12510
    Preis4,00 €8,00 €20,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 4,00 € : 1 = 4,00 €
    2. Lücke: 10 · 4,00 € = 40,00 €
    3. m Geschenkband12510
      Preis4,00 €8,00 €20,00 €? 40,00 €
      y : x4444

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 4,00 € je m Geschenkband. Damit ist die Lücke 10 · 4,00 €.

    Ergebnis:
    40,00 €
  2. ●32
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    GB Datenvolumen12510
    Preis5,00 €10,00 €25,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 5,00 € : 1 = 5,00 €
    2. Lücke: 10 · 5,00 € = 50,00 €
    3. GB Datenvolumen12510
      Preis5,00 €10,00 €25,00 €? 50,00 €
      y : x5555

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 5,00 € je GB Datenvolumen. Damit ist die Lücke 10 · 5,00 €.

    Ergebnis:
    50,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 366, 1 → 354, 2 → 342, 3 → 330, 4 → 318. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich das Guthaben je Minute?
Zeit in MinutenGuthaben in Cent03661354234233304318
Schritt für Schritt
  1. Von Spalte zu Spalte: 366 → 354, das sind 12 Cent weniger
  2. Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.
  1. Von Spalte zu Spalte: 366 → 354, das sind 12 Cent weniger
  2. Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.
Ergebnis:
Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt; 12 Cent weniger je Minute

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Am Anfang sind es 0 m, und je Sekunde kommen 2 m dazu. Nach wie vielen Sekunden sind es 20 m?
    gegebengesucht0 m2 m20 m?
    So fängst du an:
    Unterschied: 20 − 0 = 20
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 20 − 0 = 20
    2. Je Sekunde 2 m: 20 : 2 = 10
    3. Probe: 0 + 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    nach 10 Sekunden
  2. ●2
    Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 23, 1 → 38, 2 → 53, 3 → 68, 4 → 83. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Wassermenge je Minute?
    Zeit in MinutenWasser in Litern023138253368483
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 23 → 38, das sind 15 l mehr
    2. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken.
    Ergebnis:
    Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 15 l mehr je Minute
  3. ★3
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Am Anfang sind es 492 Cent, und je Minute gehen 12 Cent weg. Nach wie vielen Minuten sind es 408 Cent?
    gegebengesucht492 Cent12 Cent408 Cent?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 492 − 408 = 84
    2. Je Minute 12 Cent: 84 : 12 = 7
    3. Probe: 492 − 7 · 12 = 408
    Ergebnis:
    nach 7 Minuten

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 12 Uhr und 20 Uhr verändert?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. 12 Uhr: 20 °C
  2. 20 Uhr: 18 °C
  3. 20 − 18 = 2
  1. 12 Uhr: 20 °C
  2. 20 Uhr: 18 °C
  3. 20 − 18 = 2
Ergebnis:
2 °C weniger

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    So fängst du an:
    Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 22 °C
    Ergebnis:
    22 °C
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 12 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 12 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 26 °C
    Ergebnis:
    26 °C
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 12 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 12 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 600 Personen
    Ergebnis:
    600 Personen

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
02468101214020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
Schritt für Schritt
  1. A: 40 l in 4 min → 10 l je Minute
  2. C: 80 l in 2 min → 40 l je Minute
  3. Am meisten je Minute: Abschnitt C
  1. A: 40 l in 4 min → 10 l je Minute
  2. C: 80 l in 2 min → 40 l je Minute
  3. Am meisten je Minute: Abschnitt C
Ergebnis:
Abschnitt C, 40 l je Minute

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. Beschreibe Abschnitt D in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
    0246810020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
    So fängst du an:
    Abschnitt D: von 160 m auf 160 m
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt D: von 160 m auf 160 m
    2. Keine Änderung
    3. bleibt gleich bei 160 m
    Ergebnis:
    bleibt gleich bei 160 m
  2. ●8
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    02468020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    2. D: 60 l in 2 min → 30 l je Minute
    3. 100 − 40 = 60
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 30 l je Minute weniger
  3. ★9
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    024681012020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. A: 20 l in 2 min → 10 l je Minute
    2. B: 80 l in 2 min → 40 l je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt B
    Ergebnis:
    Abschnitt B, 40 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Schritt für Schritt
  1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
  2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
  3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
  1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
  2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
  3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
Ergebnis:
am Anfang; erst steil, dann immer flacher

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
    HöheZeit(A)(B)(C)
    So fängst du an:
    Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
    Lösung zeigen
    1. Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Das passt zum Gefäß (C): unten breit, oben schmal
    Ergebnis:
    (C) unten breit, oben schmal
  2. ●11
    In ein gerades Glas läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
    Gefäß(A)(B)(C)Höhe
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: überall gleich breit.
    2. Jeder Zentimeter braucht gleich viel Wasser.
    3. Also eine gerade Linie: Graph (B)
    Ergebnis:
    (B) eine gerade Linie
  3. ★12
    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
    Ergebnis:
    am Ende; erst flach, dann immer steiler

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt B, also von Minute 15 bis Minute 30? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
0102030400123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt B: 4 km in 15 min
  2. In 60 min: 4 km · 4
  3. 16 km/h
  1. Abschnitt B: 4 km in 15 min
  2. In 60 min: 4 km · 4
  3. 16 km/h
Ergebnis:
16 km/h

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Jonas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Jonas Pause, und wie weit ist Jonas dabei von zu Hause entfernt?
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 30 bis Minute 40, also 10 min
    3. Entfernung dabei: 3 km
    Ergebnis:
    10 min Pause, 3 km von zu Hause
  2. ●14
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Tim schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 3 km in 15 min → 12 km/h
    2. C: 1 km in 10 min → 6 km/h
    3. Schneller: Abschnitt A
    Ergebnis:
    Abschnitt A mit 12 km/h
  3. ★15
    Zeynep fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Zeynep schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 2 km in 10 min → 12 km/h
    2. C: 4 km in 30 min → 8 km/h
    3. Schneller: Abschnitt A
    Ergebnis:
    Abschnitt A mit 12 km/h

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
24−4−224681012
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
  2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
  3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
  1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
  2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
  3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
Ergebnis:
(0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Teile 12 durch die Zahl. Liegt der Punkt P(3 | 4) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    24624681012P
    So fängst du an:
    x = 3 einsetzen
    Lösung zeigen
    1. x = 3 einsetzen
    2. x = 3: 12 : 3 = 4
    3. 4 ist gleich 4: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24246810121416
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 0 · 0 = 0
    2. x = 1: 1 · 1 = 1
    3. Punkte: (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16)
    4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
    Ergebnis:
    (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16); nein, ein Bogen
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → 12 : x. Ergänze die Wertetabelle: 1 → 12, 2 → ?, 3 → ?, 4 → 3, 6 → 2.
    x12346Ergebnis12??32
    Lösung zeigen
    1. x = 2: 12 : 2 = 6
    2. x = 3: 12 : 3 = 4
    3. Tabelle: 1 → 12, 2 → 6, 3 → 4, 4 → 3, 6 → 2
    Ergebnis:
    für x = 2: 6; für x = 3: 4

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 6,00 €, bis 5 kg: 7,50 €, bis 10 kg: 10,00 €, bis 20 kg: 14,00 €. Was kostet ein Paket mit 0,5 kg?
0510152005101520Gewicht in kgPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 0,5 kg liegt über 0 kg und höchstens bei 2 kg.
  2. Also die Stufe „bis 2 kg“
  3. Preis: 6,00 €
  1. 0,5 kg liegt über 0 kg und höchstens bei 2 kg.
  2. Also die Stufe „bis 2 kg“
  3. Preis: 6,00 €
Ergebnis:
6,00 €

AchtungNachkommastellen beim Mal falsch gezählt

So nicht
0,3 · 0,2 = 0,6
So richtig
0,3 · 0,2 = 0,06

Zähl die Stellen nach dem Komma in beiden Zahlen zusammen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Du hast 22,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
    So fängst du an:
    22,50 € : 2,00 € ≈ 11,25
    Lösung zeigen
    1. 22,50 € : 2,00 € ≈ 11,25
    2. Nur ganze Stunden zählen: 11 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 12. Stunde.
    Ergebnis:
    11 Stunden
  2. ●20
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Du hast 14,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 14,50 € : 2,00 € ≈ 7,25
    2. Nur ganze Stunden zählen: 7 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 8. Stunde.
    Ergebnis:
    7 Stunden
  3. ★21
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 2 kg: 5,00 €, bis 5 kg: 6,50 €, bis 10 kg: 9,00 €, bis 20 kg: 13,00 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 5 kg?
    0510152005101520Gewicht in kgPreis in €
    Lösung zeigen
    1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
    2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
    3. Genau 5 kg gehört noch zu „bis 5 kg“: 6,50 €
    Ergebnis:
    waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,50 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Ein Graph zeigt die Höhe eines Fahrstuhls. Sara sagt: „Der Fahrstuhl fährt schräg nach oben, denn der Graph ist eine schräge Linie.“ Stimmt das? Begründe.
01234ZeitEntfernung
Schritt für Schritt
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Höhe eines Fahrstuhls.
  2. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit.
  3. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
  1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Höhe eines Fahrstuhls.
  2. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit.
  3. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.
Ergebnis:
Nein. Schräg heißt: Die Höhe wächst mit der Zeit. Der Fahrstuhl fährt senkrecht; die Zeit liegt nur auf der zweiten Achse.

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Graph zeigt die Entfernung von Sara von zu Hause. Jonas sagt: „Am Ende geht der Graph nach unten, also fährt Sara bergab.“ Stimmt das? Begründe.
    01234ZeitEntfernung
    So fängst du an:
    Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    Lösung zeigen
    1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    2. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner.
    3. Sara fährt zurück nach Hause.
    Ergebnis:
    Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Sara fährt zurück nach Hause.
  2. ●23
    Der Graph zeigt die Entfernung von Ben von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Ben fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
    (B) Ben fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
    (C) Ben fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
    01234ZeitEntfernung
    Lösung zeigen
    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, nach oben, waagerecht
    3. Das ist Geschichte (C).
    Ergebnis:
    (C)
  3. ★24
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Ben soll ablesen, wie hoch sie nach 3 Stunden ist, und sucht 3 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 3 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 6 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 6 cm hoch

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Am Anfang sind es 0 m, und je Sekunde kommen 2 m dazu. Nach wie vielen Sekunden sind es 14 m?
    gegebengesucht0 m2 m14 m?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 14 − 0 = 14
    2. Je Sekunde 2 m: 14 : 2 = 7
    3. Probe: 0 + 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    nach 7 Sekunden
  2. ●26
    Der Graph im Bild geht nach rechts nach oben. Zu welcher Situation passt er?
    (A) die Zahl der Fahrgäste im Bus und die Zahl der freien Sitzplätze
    (B) die Fahrzeit bei gleichbleibendem Tempo und die gefahrene Strecke
    (C) die Wartezeit an der Haltestelle und die Abfahrtszeit laut Fahrplan
    Lösung zeigen
    1. Gesucht: Die erste Größe wird größer, die zweite steigt.
    2. (A): die zweite fällt
    3. (B): die zweite steigt
    4. (C): die zweite bleibt gleich
    Ergebnis:
    (B)
  3. ●27
    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24246
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 5 − 0 = 5
    2. x = 1: 5 − 1 = 4
    3. Punkte: (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
    Ergebnis:
    (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1); ja, eine Gerade
  4. ★28
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Am Anfang sind es 457 Cent, und je Minute gehen 12 Cent weg. Nach wie vielen Minuten sind es 313 Cent?
    gegebengesucht457 Cent313 Cent?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 457 − 313 = 144
    2. Je Minute 12 Cent: 144 : 12 = 12
    3. Probe: 457 − 12 · 12 = 313
    Ergebnis:
    nach 12 Minuten
  5. ★29
    Lea sagt: „Je größer die Uhrzeit an einem Vormittag, desto kleiner das Datum des Tages.“ Stimmt das? Verbessere den Satz.
    Lösung zeigen
    1. Stell dir vor: Die Uhrzeit an einem Vormittag wird größer.
    2. Dann bleibt das Datum des Tages gleich.
    3. Der Satz stimmt nicht: Die Richtung ist falsch.
    Ergebnis:
    Nein. Das Datum des Tages bleibt gleich.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

    30
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. nach 10 Sekunden
  2. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 15 l mehr je Minute
  3. nach 7 Minuten
  4. 22 °C
  5. 26 °C
  6. 600 Personen
  7. bleibt gleich bei 160 m
  8. Abschnitt D, 30 l je Minute weniger
  9. Abschnitt B, 40 l je Minute
  10. (C) unten breit, oben schmal
  11. (B) eine gerade Linie
  12. am Ende; erst flach, dann immer steiler
  13. 10 min Pause, 3 km von zu Hause
  14. Abschnitt A mit 12 km/h
  15. Abschnitt A mit 12 km/h
  16. ja
  17. (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16); nein, ein Bogen
  18. für x = 2: 6; für x = 3: 4
  19. 11 Stunden
  20. 7 Stunden
  21. waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,50 €
  22. Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Sara fährt zurück nach Hause.
  23. (C)
  24. Achsen verwechselt; die Kerze ist 6 cm hoch
  25. nach 7 Sekunden
  26. (B)
  27. (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1); ja, eine Gerade
  28. nach 12 Minuten
  29. Nein. Das Datum des Tages bleibt gleich.
  30. am Anfang; zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  31. 40,00 €
  32. 50,00 €