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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●30
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis3,00 €?15,00 €30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis3,00 €? 6,00 €15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 2 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●31
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    Liter Saft12510
    Preis2,00 €4,00 €10,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 2,00 € : 1 = 2,00 €
    2. Lücke: 10 · 2,00 € = 20,00 €
    3. Liter Saft12510
      Preis2,00 €4,00 €10,00 €? 20,00 €
      y : x2222

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 2,00 € je Liter Saft. Damit ist die Lücke 10 · 2,00 €.

    Ergebnis:
    20,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Eine Kerze brennt ab. Am Anfang sind es 26 cm, und je Stunde gehen 2 cm weg. Nach wie vielen Stunden sind es 14 cm?
gegebengesucht26 cm2 cm14 cm?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 26 − 14 = 12
  2. Je Stunde 2 cm: 12 : 2 = 6
  3. Probe: 26 − 6 · 2 = 14
  1. Unterschied: 26 − 14 = 12
  2. Je Stunde 2 cm: 12 : 2 = 6
  3. Probe: 26 − 6 · 2 = 14
Ergebnis:
nach 6 Stunden

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 34, 1 → 54, 2 → 74, 3 → 94, 4 → 114. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Wassermenge je Minute?
    Zeit in MinutenWasser in Litern0341542743944114
    So fängst du an:
    Von Spalte zu Spalte: 34 → 54, das sind 20 l mehr
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 34 → 54, das sind 20 l mehr
    2. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken.
    Ergebnis:
    Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 20 l mehr je Minute
  2. ●2
    Eine Kerze brennt ab. Am Anfang sind es 28 cm, und je Stunde gehen 2 cm weg. Nach wie vielen Stunden sind es 10 cm?
    gegebengesucht28 cm2 cm10 cm?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 28 − 10 = 18
    2. Je Stunde 2 cm: 18 : 2 = 9
    3. Probe: 28 − 9 · 2 = 10
    Ergebnis:
    nach 9 Stunden
  3. ★3
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 311, 2 → 293, 4 → ?, 6 → 257, 8 → 239. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenGuthaben in Cent031122934?62578239
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 293 − 311 = −18
    2. Die Änderung ist immer gleich: 9 Cent weniger je Minute
    3. 293 − 18 = 275
    Ergebnis:
    275 Cent

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 16 Uhr
  3. Dort abgelesen: 28 °C
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 16 Uhr
  3. Dort abgelesen: 28 °C
Ergebnis:
um 16 Uhr, 28 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 12 Uhr und 18 Uhr verändert?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    So fängst du an:
    12 Uhr: 700 Personen
    Lösung zeigen
    1. 12 Uhr: 700 Personen
    2. 18 Uhr: 500 Personen
    3. 700 − 500 = 200
    Ergebnis:
    200 Personen weniger
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    2. Er liegt über 16 Uhr
    3. Dort abgelesen: 1000 Personen
    Ergebnis:
    um 16 Uhr, 1000 Personen
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 10 Uhr und 14 Uhr verändert?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. 10 Uhr: 500 Personen
    2. 14 Uhr: 1000 Personen
    3. 1000 − 500 = 500
    Ergebnis:
    500 Personen mehr

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel m je Minute?
024681012020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
Schritt für Schritt
  1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
  2. D: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
  3. 160 − 120 = 40
  1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
  2. D: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
  3. 160 − 120 = 40
Ergebnis:
Abschnitt D, 10 m je Minute weniger

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    0246810020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
    So fängst du an:
    B: 40 m in 2 min → 20 m je Minute
    Lösung zeigen
    1. B: 40 m in 2 min → 20 m je Minute
    2. D: 60 m in 2 min → 30 m je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt D
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 30 m je Minute
  2. ●8
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    0246810020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt C
    2. C: 80 l in 4 min → 20 l je Minute
    3. 100 − 20 = 80
    Ergebnis:
    Abschnitt C, 20 l je Minute weniger
  3. ★9
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    0246810020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    2. D: 20 l in 2 min → 10 l je Minute
    3. 100 − 80 = 20
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 10 l je Minute weniger

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten breit, oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Schritt für Schritt
  1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
  2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
  3. Schneller am Ende: zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
  1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
  2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
  3. Schneller am Ende: zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
Ergebnis:
am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:
    Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
    Ergebnis:
    am Anfang; erst steil, dann immer flacher
  2. ●11
    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
    HöheZeit(A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Der Graph ist zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil.
    2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
    3. Das passt zum Gefäß (C): zwei Teile, unten der breite
    Ergebnis:
    (C) zwei Teile, unten der breite
  3. ★12
    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
    Ergebnis:
    am Ende; erst flach, dann immer steiler

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Noah fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Noah im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 30? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
010203040506070800123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt A: 5 km in 30 min
  2. In 60 min: 5 km · 2
  3. 10 km/h
  1. Abschnitt A: 5 km in 30 min
  2. In 60 min: 5 km · 2
  3. 10 km/h
Ergebnis:
10 km/h

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Lea fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Lea im Abschnitt A, also von Minute 0 bis Minute 30? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Abschnitt A: 2 km in 30 min
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt A: 2 km in 30 min
    2. In 60 min: 2 km · 2
    3. 4 km/h
    Ergebnis:
    4 km/h
  2. ●14
    Noah fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Noah schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. A: 4 km in 20 min → 12 km/h
    2. C: 4 km in 15 min → 16 km/h
    3. Schneller: Abschnitt C
    Ergebnis:
    Abschnitt C mit 16 km/h
  3. ★15
    Lukas fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Lukas Pause, und wie weit ist Lukas dabei von zu Hause entfernt?
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 10 bis Minute 30, also 20 min
    3. Entfernung dabei: 1 km
    Ergebnis:
    20 min Pause, 1 km von zu Hause

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Ergänze die Wertetabelle: 0 → ?, 1 → 4, 2 → 7, 3 → ?, 4 → 13.
x01234Ergebnis?47?13
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
  2. x = 3: 3 · 3 + 1 = 10
  3. Tabelle: 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7, 3 → 10, 4 → 13
  1. x = 0: 3 · 0 + 1 = 1
  2. x = 3: 3 · 3 + 1 = 10
  3. Tabelle: 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7, 3 → 10, 4 → 13
Ergebnis:
für x = 0: 1; für x = 3: 10

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Verdopple die Zahl und subtrahiere 3. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24−4−2246
    So fängst du an:
    x = 0: 2 · 0 − 3 = −3
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 2 · 0 − 3 = −3
    2. x = 1: 2 · 1 − 3 = −1
    3. Punkte: (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
    Ergebnis:
    (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24246
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 5 − 0 = 5
    2. x = 1: 5 − 1 = 4
    3. Punkte: (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
    Ergebnis:
    (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1); ja, eine Gerade
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → 3 · x + 1. Liegt der Punkt P(−1 | −2) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    −22−6−4−22468P
    Lösung zeigen
    1. x = −1 einsetzen
    2. x = −1: 3 · (−1) + 1 = −2
    3. −2 ist gleich −2: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Du hast 18,00 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 18,00 € : 2,00 € ≈ 9
  2. Nur ganze Stunden zählen: 9 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 10. Stunde.
  1. 18,00 € : 2,00 € ≈ 9
  2. Nur ganze Stunden zählen: 9 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 10. Stunde.
Ergebnis:
9 Stunden

AchtungNoch einmal: Vorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Was kostet es, 1 Stunde und 45 Minuten zu parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    So fängst du an:
    1 h 45 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
    Lösung zeigen
    1. 1 h 45 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
    2. Also 2 Stunden bezahlen
    3. 2 · 1,5 = 3
    Ergebnis:
    3,00 €
  2. ●20
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 2 Stunden und 20 Minuten zu parken?
    012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 2 h 20 min: Die 3. Stunde ist angefangen.
    2. Also 3 Stunden bezahlen
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6,00 €
  3. ★21
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,50 €, bis 3 kg: 7,50 €, bis 5 kg: 9,50 €, bis 10 kg: 15,50 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 3 kg?
    0123456789100510152025Gewicht in kgPreis in €
    Lösung zeigen
    1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
    2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
    3. Genau 3 kg gehört noch zu „bis 3 kg“: 7,50 €
    Ergebnis:
    waagerechte Stufen mit Sprüngen; 7,50 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Der Graph zeigt die Entfernung von Lukas von zu Hause. Welche Geschichte passt?
(A) Lukas fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
(B) Lukas fährt los, kehrt um, weil etwas vergessen wurde, und fährt noch einmal los.
(C) Lukas wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
01234ZeitEntfernung
Schritt für Schritt
  1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
  2. Der Graph: nach oben, waagerecht, nach unten
  3. Das ist Geschichte (A).
  1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
  2. Der Graph: nach oben, waagerecht, nach unten
  3. Das ist Geschichte (A).
Ergebnis:
(A)

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Aylin soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    012345010203040Zeit in hHöhe in cm
    So fängst du an:
    Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 20 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 20 cm hoch
  2. ●23
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Jonas soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    0123450102030Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 9 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 9 cm hoch
  3. ★24
    Eine Kerze ist 28 cm hoch und brennt jede Stunde 4 cm ab. Jonas zeichnet die Zeit nach oben und die Höhe nach rechts. Was ist falsch? Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt?
    02460102030Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit gehört auf die Achse nach rechts, die Höhe auf die Achse nach oben.
    2. Abbrennen: 28 : 4 = 7
    3. Der Graph trifft nach 7 Stunden die Zeitachse.
    Ergebnis:
    Achsen vertauscht; nach 7 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 86, 1 → 81, 2 → 76, 3 → 71, 4 → ?. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenTemperatur in °C0861812763714?
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 81 − 86 = −5
    2. Die Änderung ist immer gleich: 5 °C weniger je Minute
    3. 71 − 5 = 66
    Ergebnis:
    66 °C
  2. ●26
    Wie hängen diese Größen zusammen: die Anzahl der gekauften Hefte und der Preis an der Kasse? Ergänze „Je größer …, desto …“ – oder begründe, warum es keinen solchen Satz gibt.
    Lösung zeigen
    1. Stell dir vor: Die Anzahl der gekauften Hefte wird größer.
    2. Dann wird der Preis an der Kasse größer.
    Ergebnis:
    Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.
  3. ●27
    Ein Graph zeigt die Entfernung von Jonas von zu Hause. Ben sagt: „Am Ende geht der Graph nach unten, also fährt Jonas bergab.“ Stimmt das? Begründe.
    01234ZeitEntfernung
    Lösung zeigen
    1. Erst lesen, was die Achse nach oben zeigt: Entfernung.
    2. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner.
    3. Jonas fährt zurück nach Hause.
    Ergebnis:
    Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Jonas fährt zurück nach Hause.
  4. ★28
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Am Anfang sind es 344 Cent, und je Minute gehen 12 Cent weg. Nach wie vielen Minuten sind es 260 Cent?
    gegebengesucht344 Cent12 Cent260 Cent?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 344 − 260 = 84
    2. Je Minute 12 Cent: 84 : 12 = 7
    3. Probe: 344 − 7 · 12 = 260
    Ergebnis:
    nach 7 Minuten
  5. ★29
    Der Graph im Bild geht nach rechts nach oben. Zu welcher Situation passt er?
    (A) die Uhrzeit an einem Vormittag und das Datum des Tages
    (B) die Zahl der Apps auf dem Handy und der belegte Speicher
    (C) die Zahl der Personen, die sich eine Pizza teilen und ein Stück der Pizza
    Lösung zeigen
    1. Gesucht: Die erste Größe wird größer, die zweite steigt.
    2. (A): die zweite bleibt gleich
    3. (B): die zweite steigt
    4. (C): die zweite fällt
    Ergebnis:
    (B)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 20 l mehr je Minute
  2. nach 9 Stunden
  3. 275 Cent
  4. 200 Personen weniger
  5. um 16 Uhr, 1000 Personen
  6. 500 Personen mehr
  7. Abschnitt D, 30 m je Minute
  8. Abschnitt C, 20 l je Minute weniger
  9. Abschnitt D, 10 l je Minute weniger
  10. am Anfang; erst steil, dann immer flacher
  11. (C) zwei Teile, unten der breite
  12. am Ende; erst flach, dann immer steiler
  13. 4 km/h
  14. Abschnitt C mit 16 km/h
  15. 20 min Pause, 1 km von zu Hause
  16. (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  17. (0 | 5), (1 | 4), (2 | 3), (3 | 2), (4 | 1); ja, eine Gerade
  18. ja
  19. 3,00 €
  20. 6,00 €
  21. waagerechte Stufen mit Sprüngen; 7,50 €
  22. Achsen verwechselt; die Kerze ist 20 cm hoch
  23. Achsen verwechselt; die Kerze ist 9 cm hoch
  24. Achsen vertauscht; nach 7 Stunden
  25. 66 °C
  26. Je größer die Anzahl der gekauften Hefte, desto größer der Preis an der Kasse.
  27. Nein. Nach unten heißt: Die Entfernung von zu Hause wird kleiner. Jonas fährt zurück nach Hause.
  28. nach 7 Minuten
  29. (B)
  30. 6,00 €
  31. 20,00 €