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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●29
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis3,00 €6,00 €15,00 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 10 · 3,00 € = 30,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis3,00 €6,00 €15,00 €? 30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    30,00 €
  2. ●30
    Ein Becken: 20 Liter pro Minute, zu Beginn sind schon 50 Liter drin.
    Welcher Graph gehört dazu? Begründe deine Wahl.
    (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt
    (B) Ursprungsgerade
    (C) fallende Kurve (Hyperbel)
    Lösung zeigen
    1. x = 0 → y = 50 l, nicht 0
    2. x verdoppelt → y wird nicht doppelt
    3. also nicht proportional
    4. Antwort: (A)
    Ergebnis:
    (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Eine Kerze brennt ab. Am Anfang sind es 30 cm, und je Stunde gehen 2 cm weg. Nach wie vielen Stunden sind es 16 cm?
gegebengesucht30 cm2 cm16 cm?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 30 − 16 = 14
  2. Je Stunde 2 cm: 14 : 2 = 7
  3. Probe: 30 − 7 · 2 = 16
  1. Unterschied: 30 − 16 = 14
  2. Je Stunde 2 cm: 14 : 2 = 7
  3. Probe: 30 − 7 · 2 = 16
Ergebnis:
nach 7 Stunden

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 10, 1 → 30, 2 → 50, 3 → 70, 4 → 90. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Wassermenge je Minute?
    Zeit in MinutenWasser in Litern010130250370490
    So fängst du an:
    Von Spalte zu Spalte: 10 → 30, das sind 20 l mehr
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 10 → 30, das sind 20 l mehr
    2. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken.
    Ergebnis:
    Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 20 l mehr je Minute
  2. ●2
    Eine Kerze brennt ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Höhe: 0 → 27, 1 → 25, 2 → 23, 3 → 21, 4 → 19. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Höhe der Kerze je Stunde?
    Zeit in StundenHöhe in cm027125223321419
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 27 → 25, das sind 2 cm weniger
    2. Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie.
    Ergebnis:
    Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie; 2 cm weniger je Stunde
  3. ★3
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 375, 2 → 357, 4 → 339, 6 → 321, 8 → 303. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich das Guthaben je Minute?
    Zeit in MinutenGuthaben in Cent03752357433963218303
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 375 → 357, das sind 18 Cent weniger
    2. Das gilt für 2 Minuten, also für eine: 18 : 2 = 9
    3. Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt.
    Ergebnis:
    Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt; 9 Cent weniger je Minute

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 16 Uhr
  3. Dort abgelesen: 22 °C
  1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
  2. Er liegt über 16 Uhr
  3. Dort abgelesen: 22 °C
Ergebnis:
um 16 Uhr, 22 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 16 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    So fängst du an:
    Auf der Zeitachse 16 Uhr suchen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 16 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 600 Personen
    Ergebnis:
    600 Personen
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    2. Er liegt über 14 Uhr
    3. Dort abgelesen: 700 Personen
    Ergebnis:
    um 14 Uhr, 700 Personen
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 14 °C
    Ergebnis:
    14 °C

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. Beschreibe Abschnitt C in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
0246810020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt C: von 100 l auf 100 l
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 100 l
  1. Abschnitt C: von 100 l auf 100 l
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 100 l
Ergebnis:
bleibt gleich bei 100 l

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
    0246810020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    So fängst du an:
    Abschnitt A: von 0 l auf 60 l
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt A: von 0 l auf 60 l
    2. A: 60 l in 2 min → 30 l je Minute
    3. steigt um 30 l je Minute
    Ergebnis:
    steigt um 30 l je Minute
  2. ●8
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. Beschreibe Abschnitt B in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
    024681012020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt B: von 60 l auf 60 l
    2. Keine Änderung
    3. bleibt gleich bei 60 l
    Ergebnis:
    bleibt gleich bei 60 l
  3. ★9
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    024681012020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt C
    2. C: 40 l in 2 min → 20 l je Minute
    3. 160 − 120 = 40
    Ergebnis:
    Abschnitt C, 20 l je Minute weniger

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In einen Trichter, unten schmal und oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
Schritt für Schritt
  1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
  2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
  3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
  1. Das Gefäß: unten schmal, oben breit.
  2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
  3. Schneller am Anfang: erst steil, dann immer flacher
Ergebnis:
am Anfang; erst steil, dann immer flacher

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten breit, oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    So fängst du an:
    Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
    2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
    3. Schneller am Ende: zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
    Ergebnis:
    am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
  2. ●11
    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
    HöheZeit(A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Der Graph ist erst steil, dann immer flacher.
    2. Unten braucht ein Zentimeter wenig Wasser, oben viel.
    3. Das passt zum Gefäß (C): unten schmal, oben breit
    Ergebnis:
    (C) unten schmal, oben breit
  3. ★12
    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 200 cm² Bodenfläche, oben 100 cm². Jede Minute fließen 1200 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
    Lösung zeigen
    1. Unten: 1200 : 200 = 6, also 6 cm je Minute.
    2. Oben: 1200 : 100 = 12, also 12 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.
    Ergebnis:
    unten 6 cm, oben 12 cm je Minute; erst flach, dann steil

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Lea fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Lea schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
0102030400123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. A: 4 km in 10 min → 24 km/h
  2. C: 6 km in 20 min → 18 km/h
  3. Schneller: Abschnitt A
  1. A: 4 km in 10 min → 24 km/h
  2. C: 6 km in 20 min → 18 km/h
  3. Schneller: Abschnitt A
Ergebnis:
Abschnitt A mit 24 km/h

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Mira fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Mira Pause, und wie weit ist Mira dabei von zu Hause entfernt?
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 10 bis Minute 25, also 15 min
    3. Entfernung dabei: 3 km
    Ergebnis:
    15 min Pause, 3 km von zu Hause
  2. ●14
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Tim im Abschnitt C, also von Minute 40 bis Minute 60? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt C: 5 km in 20 min
    2. In 60 min: 5 km · 3
    3. 15 km/h
    Ergebnis:
    15 km/h
  3. ★15
    Noah fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Noah Pause, und wie weit ist Noah dabei von zu Hause entfernt?
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt B: von Minute 15 bis Minute 30, also 15 min
    3. Entfernung dabei: 5 km
    Ergebnis:
    15 min Pause, 5 km von zu Hause

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Subtrahiere die Zahl von 5. Ergänze die Wertetabelle: 0 → ?, 1 → ?, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1.
x01234Ergebnis??321
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 5 − 0 = 5
  2. x = 1: 5 − 1 = 4
  3. Tabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1
  1. x = 0: 5 − 0 = 5
  2. x = 1: 5 − 1 = 4
  3. Tabelle: 0 → 5, 1 → 4, 2 → 3, 3 → 2, 4 → 1
Ergebnis:
für x = 0: 5; für x = 1: 4

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Verdopple die Zahl und subtrahiere 3. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24−4−2246
    So fängst du an:
    x = 0: 2 · 0 − 3 = −3
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 2 · 0 − 3 = −3
    2. x = 1: 2 · 1 − 3 = −1
    3. Punkte: (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5)
    4. Gleiche Schritte in x, gleiche Änderung: eine Gerade
    Ergebnis:
    (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst. Liegt der Punkt P(3 | 9) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    24246810121416P
    Lösung zeigen
    1. x = 3 einsetzen
    2. x = 3: 3 · 3 = 9
    3. 9 ist gleich 9: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → 5 − x. Liegt der Punkt P(−1 | 6) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    −222468P
    Lösung zeigen
    1. x = −1 einsetzen
    2. x = −1: 5 − (−1) = 6
    3. 6 ist gleich 6: P liegt darauf
    Ergebnis:
    ja

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Du hast 16,00 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 16,00 € : 2,00 € ≈ 8
  2. Nur ganze Stunden zählen: 8 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 9. Stunde.
  1. 16,00 € : 2,00 € ≈ 8
  2. Nur ganze Stunden zählen: 8 Stunden
  3. Eine Minute mehr wäre die 9. Stunde.
Ergebnis:
8 Stunden

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 3,00 €. Was kostet es, 1 Stunde und 5 Minuten zu parken?
    012345605101520Parkdauer in StundenPreis in €
    So fängst du an:
    1 h 5 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
    Lösung zeigen
    1. 1 h 5 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
    2. Also 2 Stunden bezahlen
    3. 2 · 3 = 6
    Ergebnis:
    6,00 €
  2. ●20
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 13,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 13,50 € : 1,50 € ≈ 9
    2. Nur ganze Stunden zählen: 9 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 10. Stunde.
    Ergebnis:
    9 Stunden
  3. ★21
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,00 €. Was kostet es, 4 Stunden und 20 Minuten zu parken?
    012345602468101214Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 4 h 20 min: Die 5. Stunde ist angefangen.
    2. Also 5 Stunden bezahlen
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10,00 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Sara soll ablesen, wie hoch sie nach 5 Stunden ist, und sucht 5 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
012345010203040Zeit in hHöhe in cm
Schritt für Schritt
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 5 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 16 cm
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 5 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 16 cm
Ergebnis:
Achsen verwechselt; die Kerze ist 16 cm hoch

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Mila soll ablesen, wie hoch sie nach 2 Stunden ist, und sucht 2 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    So fängst du an:
    Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 2 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 12 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 12 cm hoch
  2. ●23
    Der Graph zeigt die Entfernung von Ben von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Ben wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
    (B) Ben fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
    (C) Ben fährt los, wartet an einer Ampel und fährt dann weiter.
    01234ZeitEntfernung
    Lösung zeigen
    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, waagerecht, nach oben
    3. Das ist Geschichte (C).
    Ergebnis:
    (C)
  3. ★24
    Der Graph zeigt die Entfernung von Emre von zu Hause. Welche Geschichte passt?
    (A) Emre wartet erst, fährt dann los und bleibt am Ziel.
    (B) Emre fährt los, fährt dann schneller weiter und bleibt am Ziel.
    (C) Emre fährt los, macht Pause und fährt dann zurück nach Hause.
    01234ZeitEntfernung
    Lösung zeigen
    1. Nach oben: weiter weg. Waagerecht: steht. Nach unten: näher nach Hause.
    2. Der Graph: nach oben, nach oben, waagerecht
    3. Das ist Geschichte (B).
    Ergebnis:
    (B)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ein Planschbecken wird mit dem Gartenschlauch gefüllt. Die Tabelle zeigt Zeit und Wasser: 0 → 25, 1 → 50, 2 → 75, 3 → 100, 4 → 125. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich die Wassermenge je Minute?
    Zeit in MinutenWasser in Litern02515027531004125
    Lösung zeigen
    1. Von Spalte zu Spalte: 25 → 50, das sind 25 l mehr
    2. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken.
    Ergebnis:
    Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 25 l mehr je Minute
  2. ●26
    Nach rechts ist die Zahl der gelesenen Seiten eines Buches aufgetragen, nach oben der Rest, der noch zu lesen ist. Welcher Graph passt? Begründe mit „je …, desto …“.
    (A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Die Zahl der gelesenen Seiten eines Buches wird größer.
    2. Dann wird der Rest, der noch zu lesen ist kleiner.
    3. Die Linie muss nach rechts nach unten gehen.
    4. Also Graph (A)
    Ergebnis:
    (A) fällt
  3. ●27
    In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Schneller am Ende: erst flach, dann immer steiler
    Ergebnis:
    am Ende; erst flach, dann immer steiler
  4. ★28
    Der Graph im Bild ist eine waagerechte Linie. Zu welcher Situation passt er?
    (A) die Anzahl der gekauften Hefte und der Preis an der Kasse
    (B) die Zahl der gefahrenen Kilometer und das Benzin im Tank
    (C) die Uhrzeit an einem Vormittag und das Datum des Tages
    Lösung zeigen
    1. Gesucht: Die erste Größe wird größer, die zweite bleibt gleich.
    2. (A): die zweite steigt
    3. (B): die zweite fällt
    4. (C): die zweite bleibt gleich
    Ergebnis:
    (C)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 20 l mehr je Minute
  2. Je länger die Kerze brennt, desto kürzer wird sie; 2 cm weniger je Stunde
  3. Je länger telefoniert wird, desto weniger Guthaben bleibt; 9 Cent weniger je Minute
  4. 600 Personen
  5. um 14 Uhr, 700 Personen
  6. 14 °C
  7. steigt um 30 l je Minute
  8. bleibt gleich bei 60 l
  9. Abschnitt C, 20 l je Minute weniger
  10. am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
  11. (C) unten schmal, oben breit
  12. unten 6 cm, oben 12 cm je Minute; erst flach, dann steil
  13. 15 min Pause, 3 km von zu Hause
  14. 15 km/h
  15. 15 min Pause, 5 km von zu Hause
  16. (0 | −3), (1 | −1), (2 | 1), (3 | 3), (4 | 5); ja, eine Gerade
  17. ja
  18. ja
  19. 6,00 €
  20. 9 Stunden
  21. 10,00 €
  22. Achsen verwechselt; die Kerze ist 12 cm hoch
  23. (C)
  24. (B)
  25. Je länger das Wasser läuft, desto mehr Wasser ist im Becken; 25 l mehr je Minute
  26. (A) fällt
  27. am Ende; erst flach, dann immer steiler
  28. (C)
  29. 30,00 €
  30. (A) Gerade, die nicht bei 0 beginnt