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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Zusammenhänge und Graphen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Beschreibungen werden lang und trotzdem ungenau. Wann war die Pause, wie lange hat sie gedauert, wie weit war das Kind beim Umkehren? Zwei Leute lesen aus demselben Text zwei verschiedene Wege heraus. Wir zeichnen den Weg: Nach rechts die Zeit, nach oben die Entfernung. Die Pause ist ein waagerechtes Stück, das Rennen ein steiles, der Rückweg geht nach unten. Ein Blick auf den Graphen beantwortet, wofür der Text einen Absatz braucht.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Eine Zuordnung verbindet jeden Wert mit genau einem Wert der anderen Größe.

  1. ●29
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis1,50 €3,00 €7,50 €?
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 1,50 € : 1 = 1,50 €
    2. Lücke: 10 · 1,50 € = 15,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis1,50 €3,00 €7,50 €? 15,00 €
      y : x1,501,501,501,50

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 1,50 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 10 · 1,50 €.

    Ergebnis:
    15,00 €
  2. ●30
    Proportionale Zuordnung – ergänze den fehlenden Wert:
    kg Bananen12510
    Preis3,00 €?15,00 €30,00 €
    Lösung zeigen
    1. Preis für eine Einheit: 3,00 € : 1 = 3,00 €
    2. Lücke: 2 · 3,00 € = 6,00 €
    3. kg Bananen12510
      Preis3,00 €? 6,00 €15,00 €30,00 €
      y : x3333

      In jeder Spalte steht unten dasselbe: 3,00 € je kg Bananen. Damit ist die Lücke 2 · 3,00 €.

    Ergebnis:
    6,00 €

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenEin Graph erzählt, wie sich etwas ändert

Nach rechts läuft meist die Zeit, nach oben steht die Größe, die sich ändert. Jeder Punkt sagt: zu diesem Zeitpunkt dieser Wert. Die Form des Graphen sagt, ob die Größe wächst, abnimmt oder gleich bleibt – und wie schnell.

Graph einer brennenden Kerze: Die Zeit läuft nach rechts, die Höhe nimmt ab, 2 Zentimeter je StundeStundencm20 cm16 cm12 cmKerze: 2 cm weniger je Stunde

WeiterdenkenDenk nach

Ein Graph zeigt die Entfernung eines Radfahrers von zu Hause und hat am Ende ein Stück, das nach unten geht. Fährt er dort bergab?

1Ich beschreibe, wie eine Größe von einer anderen abhängt – in Worten, Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum kostet eine Stunde und fünf Minuten im Parkhaus oft genauso viel wie zwei Stunden?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Viele Parkhäuser rechnen „je angefangene Stunde“. Der Preis bleibt dann eine Stunde lang gleich und springt an jeder vollen Stunde nach oben. Der Graph ist keine schräge Linie, sondern eine Treppe.

MerkenZusammenhang: je …, desto …

Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.

Je länger eine Kerze brennt, desto kürzer wird sie. Hier sind es 2 cm weniger je Stunde.

BeispielZusammenhang aus einer Tabelle beschreiben

Ein Handy wird geladen. Die Tabelle zeigt Zeit und Akkustand: 0 → 10, 1 → 12, 2 → 14, 3 → 16, 4 → 18. Beschreibe den Zusammenhang mit „je …, desto …“. Um wie viel ändert sich der Akkustand je Minute?
Zeit in MinutenAkkustand in %010112214316418
Schritt für Schritt
  1. Von Spalte zu Spalte: 10 → 12, das sind 2 % mehr
  2. Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku.
  1. Von Spalte zu Spalte: 10 → 12, das sind 2 % mehr
  2. Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku.
Ergebnis:
Je länger das Handy lädt, desto voller ist der Akku; 2 % mehr je Minute

AchtungRichtung oder Änderung falsch beschrieben

So nicht
Kerze: nach 0, 1, 2 Stunden 20, 18, 16 cm → je länger sie brennt, desto länger wird sie
So richtig
Die Höhe nimmt ab: je länger sie brennt, desto kürzer → 2 cm weniger je Stunde

Stell dir vor, die erste Größe wird größer. Was passiert dann mit der zweiten, und um wie viel ändert sie sich je Schritt?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ein Topf Wasser kühlt auf dem Balkon ab. Die Tabelle zeigt Zeit und Temperatur: 0 → 92, 1 → 87, 2 → 82, 3 → ?, 4 → 72. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenTemperatur in °C0921872823?472
    So fängst du an:
    Von einer Spalte zur nächsten: 87 − 92 = −5
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 87 − 92 = −5
    2. Die Änderung ist immer gleich: 5 °C weniger je Minute
    3. 82 − 5 = 77
    Ergebnis:
    77 °C
  2. ●2
    Ein Fahrstuhl fährt aus dem Keller nach oben. Am Anfang sind es 0 m, und je Sekunde kommen 3 m dazu. Nach wie vielen Sekunden sind es 36 m?
    gegebengesucht0 m3 m36 m?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 36 − 0 = 36
    2. Je Sekunde 3 m: 36 : 3 = 12
    3. Probe: 0 + 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    nach 12 Sekunden
  3. ★3
    Ein Handy wird geladen. Am Anfang sind es 27 %, und je Minute kommen 2 % dazu. Nach wie vielen Minuten sind es 41 %?
    gegebengesucht27 %2 %41 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 41 − 27 = 14
    2. Je Minute 2 %: 14 : 2 = 7
    3. Probe: 27 + 7 · 2 = 41
    Ergebnis:
    nach 7 Minuten

2Ich lese Werte und Zeitpunkte aus Graphen ab.

EntdeckenFrage

Warum ist es an einem Sommertag meist nicht mittags, sondern erst am Nachmittag am heißesten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Sonne steht mittags am höchsten, aber der Boden gibt noch Stunden danach mehr Wärme an die Luft ab, als sie verliert. Deshalb liegt der höchste Punkt der Temperaturkurve meist am frühen Nachmittag.

MerkenWerte am Graphen ablesen

Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.

Von dort geht es waagerecht zur Achse nach oben. Beispiel: um 14 Uhr 28 °C.

BeispielWerte und Zeitpunkte am Graphen ablesen

Der Graph zeigt die Temperatur an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 18 Uhr?
6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr04812162024283236UhrzeitTemperatur in °C
Schritt für Schritt
  1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
  2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
  3. Abgelesen: 12 °C
  1. Auf der Zeitachse 18 Uhr suchen
  2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
  3. Abgelesen: 12 °C
Ergebnis:
12 °C

AchtungFalsch abgelesen

So nicht
Freibad: um 12 Uhr 600, um 16 Uhr 400 Personen → Veränderung 600 + 400 = 1000
So richtig
Veränderung heißt Unterschied: 600 − 400 = 200 Personen weniger

Erst den Wert auf der Achse nach rechts suchen, dann senkrecht bis zum Graphen, dann waagerecht zur Achse nach oben.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel Uhr ist sie am größten, und wie groß ist sie dann?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    So fängst du an:
    Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    Lösung zeigen
    1. Den höchsten Punkt des Graphen suchen
    2. Er liegt über 14 Uhr
    3. Dort abgelesen: 1000 Personen
    Ergebnis:
    um 14 Uhr, 1000 Personen
  2. ●5
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Um wie viel hat sie sich zwischen 10 Uhr und 20 Uhr verändert?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. 10 Uhr: 700 Personen
    2. 20 Uhr: 700 Personen
    3. Beide gleich: keine Veränderung
    Ergebnis:
    keine Veränderung
  3. ★6
    Der Graph zeigt die Besucherzahl im Freibad an einem Sommertag. Lies ab: Wie groß ist sie um 12 Uhr?
    6 Uhr8 Uhr10 Uhr12 Uhr14 Uhr16 Uhr18 Uhr20 Uhr020040060080010001200UhrzeitPersonen
    Lösung zeigen
    1. Auf der Zeitachse 12 Uhr suchen
    2. Senkrecht nach oben bis zum Punkt, dann waagerecht zur anderen Achse
    3. Abgelesen: 500 Personen
    Ergebnis:
    500 Personen

3Ich beschreibe Abschnitte eines Graphen: steigt, fällt, bleibt gleich – und wie schnell.

EntdeckenFrage

Warum ist es auf hohen Bergen kälter?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Luft wird mit der Höhe dünner und kühlt ab. Im Mittel sinkt die Temperatur um etwa 0,65 °C je 100 m. Je höher, desto kälter: Auf 2000 m ist es im Schnitt rund 13 °C kälter als am Meer.

MerkenSteigen und fallen – wie schnell?

Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.

Waagerecht bleibt sie gleich. Tempo heißt Änderung je Minute: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute.

BeispielAbschnitte eines Graphen beschreiben

Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. Beschreibe Abschnitt A in einem Satz: Steigt der Graph, fällt er oder bleibt er gleich – und um wie viel je Minute?
024681012020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
Schritt für Schritt
  1. Abschnitt A: von 0 l auf 0 l
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 0 l
  1. Abschnitt A: von 0 l auf 0 l
  2. Keine Änderung
  3. bleibt gleich bei 0 l
Ergebnis:
bleibt gleich bei 0 l

AchtungNur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Graph zeigt die Höhe eines Heißluftballons. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    024681012020406080100120140160Zeit in minHöhe in mABCD
    So fängst du an:
    A: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
    Lösung zeigen
    1. A: 40 m in 4 min → 10 m je Minute
    2. D: 40 m in 2 min → 20 m je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt D
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 20 m je Minute
  2. ●8
    Der Graph zeigt den Füllstand eines Wassertanks. In welchem Abschnitt nimmt die Größe ab? Um wie viel l je Minute?
    024681012020406080100120140160Zeit in minTank in lABCD
    Lösung zeigen
    1. Der Graph geht nach rechts nach unten: Abschnitt D
    2. D: 160 l in 4 min → 40 l je Minute
    3. 160 − 0 = 160
    Ergebnis:
    Abschnitt D, 40 l je Minute weniger
  3. ★9
    Der Graph zeigt die Wassermenge in einer Badewanne. In welchem Abschnitt steigt er am schnellsten? Begründe mit einer Rechnung.
    0246810020406080100120140160Zeit in minWasser in lABCD
    Lösung zeigen
    1. A: 40 l in 4 min → 10 l je Minute
    2. C: 60 l in 2 min → 30 l je Minute
    3. Am meisten je Minute: Abschnitt C
    Ergebnis:
    Abschnitt C, 30 l je Minute

4Ich ordne Füllgraphen den passenden Gefäßen zu.

EntdeckenFrage

Wie schnell läuft jemand, der einen Marathon in genau vier Stunden schafft?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. In 4 Stunden sind das 42,195 : 4 ≈ 10,5 km je Stunde. Im Weg-Zeit-Diagramm ist das der Durchschnitt, echte Läufe haben flachere und steilere Stücke.

MerkenFüllgraphen

Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.

Bei einer Vase, unten breit und oben schmal, ist der Füllgraph erst flach, dann steil.

BeispielFüllgraph und Gefäß zuordnen

In eine Vase, unten breit und oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
Gefäß(A)(B)(C)Höhe
Schritt für Schritt
  1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
  2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
  3. Also erst flach, dann immer steiler: Graph (C)
  1. Das Gefäß: unten breit, oben schmal.
  2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
  3. Also erst flach, dann immer steiler: Graph (C)
Ergebnis:
(C) erst flach, dann immer steiler

AchtungGraph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Der Graph links zeigt, wie die Höhe des Wassers beim gleichmäßigen Füllen wächst. Welches Gefäß wurde gefüllt?
    HöheZeit(A)(B)(C)
    So fängst du an:
    Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
    Lösung zeigen
    1. Der Graph ist erst flach, dann immer steiler.
    2. Unten braucht ein Zentimeter viel Wasser, oben wenig.
    3. Das passt zum Gefäß (A): unten breit, oben schmal
    Ergebnis:
    (A) unten breit, oben schmal
  2. ●11
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten breit, oben schmal läuft gleichmäßig Wasser. Steigt die Höhe am Anfang oder am Ende schneller? Skizziere den Füllgraphen.
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der breite.
    2. Im breiten Teil steigt das Wasser langsam, im schmalen schnell.
    3. Schneller am Ende: zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
    Ergebnis:
    am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
  3. ★12
    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 300 cm² Bodenfläche, oben 100 cm². Jede Minute fließen 600 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
    Lösung zeigen
    1. Unten: 600 : 300 = 2, also 2 cm je Minute.
    2. Oben: 600 : 100 = 6, also 6 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst flach, dann steil.
    Ergebnis:
    unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil

5Ich lese Weg-Zeit-Diagramme und berechne Geschwindigkeiten in Abschnitten.

EntdeckenFrage

Warum steigt das Wasser beim Füllen einer Flasche am Hals plötzlich so schnell?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Pro Sekunde fließt gleich viel Wasser hinein. Im breiten Bauch verteilt es sich auf eine große Fläche, im schmalen Hals auf eine kleine. Dieselbe Wassermenge ergibt dort mehr Höhe: Der Füllgraph wird steil.

Ausprobieren: Lineare Funktion y = m · x + b

Steigung und Achsenabschnitt mit Reglern oder Ziehpunkten verändern – mit Steigungsdreieck und Wertetabelle.

MerkenWeg-Zeit-Diagramm

Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.

Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit. 3 km in 15 min sind 12 km in 60 min, also 12 km/h.

BeispielWeg-Zeit-Diagramm lesen

Sara fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. In welchem Abschnitt fährt Sara schneller: A oder C? Begründe mit den Geschwindigkeiten.
01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
Schritt für Schritt
  1. A: 6 km in 30 min → 12 km/h
  2. C: 1 km in 15 min → 4 km/h
  3. Schneller: Abschnitt A
  1. A: 6 km in 30 min → 12 km/h
  2. C: 1 km in 15 min → 4 km/h
  3. Schneller: Abschnitt A
Ergebnis:
Abschnitt A mit 12 km/h

AchtungNoch einmal: Nur die Richtung, nicht das Tempo

So nicht
Abschnitt B: von 20 l auf 100 l in 4 min → steigt um 80 l je Minute
So richtig
80 l in 4 min: 80 : 4 = 20 l je Minute

Änderung durch Dauer teilen: 40 l in 2 min sind 20 l je Minute. Für km/h auf 60 Minuten hochrechnen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Zeynep fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie schnell fährt Zeynep im Abschnitt B, also von Minute 20 bis Minute 40? Gib die Geschwindigkeit in km/h an.
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    So fängst du an:
    Abschnitt B: 4 km in 20 min
    Lösung zeigen
    1. Abschnitt B: 4 km in 20 min
    2. In 60 min: 4 km · 3
    3. 12 km/h
    Ergebnis:
    12 km/h
  2. ●14
    Tim fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Tim Pause, und wie weit ist Tim dabei von zu Hause entfernt?
    01020304050600123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt C: von Minute 40 bis Minute 55, also 15 min
    3. Entfernung dabei: 7 km
    Ergebnis:
    15 min Pause, 7 km von zu Hause
  3. ★15
    Lea fährt mit dem Rad. Das Diagramm zeigt die Entfernung von zu Hause. Wie lange macht Lea Pause, und wie weit ist Lea dabei von zu Hause entfernt?
    010203040500123456789101112Zeit in minEntfernung in kmABC
    Lösung zeigen
    1. Pause heißt: Die Zeit läuft, die Entfernung bleibt gleich – ein waagerechtes Stück.
    2. Abschnitt C: von Minute 30 bis Minute 50, also 20 min
    3. Entfernung dabei: 6 km
    Ergebnis:
    20 min Pause, 6 km von zu Hause

6Ich lege zu einer Rechenvorschrift eine Wertetabelle an und zeichne die Punkte.

EntdeckenFrage

Warum kostet ein Brief mit 21 Gramm mehr Porto als einer mit 20 Gramm?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Post hat Gewichtsstufen: Standardbrief bis 20 g, Kompaktbrief bis 50 g, Großbrief bis 500 g. Ein Gramm über der Grenze bringt den Brief in die nächste Stufe. Der Graph des Portos ist eine Treppe.

Ausprobieren: Funktionslabor: Gerade und Parabel

Gerade oder Parabel mit Reglern einstellen, erst schätzen, dann zeigen – mit Spur, Wertetabelle, zweiter Geraden und Zoom.

MerkenVon der Vorschrift zur Wertetabelle

Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.

Aus „mal 3 plus 1“ wird 0 → 1, 1 → 4, 2 → 7. Jedes Paar ist ein Punkt.

BeispielWertetabelle zu einer Rechenvorschrift

Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
24246810121416
Schritt für Schritt
  1. x = 0: 0 · 0 = 0
  2. x = 1: 1 · 1 = 1
  3. Punkte: (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
  1. x = 0: 0 · 0 = 0
  2. x = 1: 1 · 1 = 1
  3. Punkte: (0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16)
  4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
Ergebnis:
(0 | 0), (1 | 1), (2 | 4), (3 | 9), (4 | 16); nein, ein Bogen

AchtungVorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit 3 und addiere 1. Liegt der Punkt P(4 | 11) auf ihrem Graphen? Rechne nach.
    242468101214P
    So fängst du an:
    x = 4 einsetzen
    Lösung zeigen
    1. x = 4 einsetzen
    2. x = 4: 3 · 4 + 1 = 13
    3. 13 ist nicht 11: P liegt nicht darauf
    Ergebnis:
    nein
  2. ●17
    Die Rechenvorschrift heißt: Multipliziere die Zahl mit sich selbst und subtrahiere 4. Lege eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4 an. Welche Punkte trägst du ins Koordinatensystem ein? Liegen sie auf einer Geraden?
    24−4−224681012
    Lösung zeigen
    1. x = 0: 0 · 0 − 4 = −4
    2. x = 1: 1 · 1 − 4 = −3
    3. Punkte: (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12)
    4. Die Änderung wechselt: keine Gerade, ein Bogen
    Ergebnis:
    (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen
  3. ★18
    Die Rechenvorschrift heißt: x → 12 : x. Ergänze die Wertetabelle: 1 → ?, 2 → 6, 3 → 4, 4 → ?, 6 → 2.
    x12346Ergebnis?64?2
    Lösung zeigen
    1. x = 1: 12 : 1 = 12
    2. x = 4: 12 : 4 = 3
    3. Tabelle: 1 → 12, 2 → 6, 3 → 4, 4 → 3, 6 → 2
    Ergebnis:
    für x = 1: 12; für x = 4: 3

7Ich lese Stufen-Zusammenhänge wie Porto und Parkgebühren aus Tabelle und Graph.

EntdeckenFrage

Warum zahlt man in Berlins Bussen und Bahnen am 15. Geburtstag plötzlich mehr als am Tag davor?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Im Tarif des Verkehrsverbunds fahren Kinder unter 6 Jahren kostenlos und von 6 bis einschließlich 14 Jahren ermäßigt. Ab dem 15. Geburtstag gilt der volle Preis. Der Preis hängt also stufenweise vom Alter ab: Der Graph ist eine Treppe mit einem Sprung an jedem Stichtag.

MerkenStufen und Sprünge

Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.

Zählt jede angefangene Stunde, kosten 2 h 10 min so viel wie 3 Stunden. Der Graph ist eine Treppe.

BeispielPreise in Stufen: Parken und Pakete

Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 2,50 €. Was kostet es, 1 Stunde und 10 Minuten zu parken?
0123456051015Parkdauer in StundenPreis in €
Schritt für Schritt
  1. 1 h 10 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
  2. Also 2 Stunden bezahlen
  3. 2 · 2,5 = 5
  1. 1 h 10 min: Die 2. Stunde ist angefangen.
  2. Also 2 Stunden bezahlen
  3. 2 · 2,5 = 5
Ergebnis:
5,00 €

AchtungNoch einmal: Vorschrift oder Stufe falsch angewendet

So nicht
Jede angefangene Stunde 2 €, geparkt 2 h 10 min: 2 · 2 € = 4 €
So richtig
Die 3. Stunde ist angefangen: 3 · 2 € = 6 €

Jede Zahl einzeln in die Vorschrift einsetzen. Bei Stufen zählt jede angefangene Stunde voll, und die Treppe wird nicht schräg verbunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 5,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    So fängst du an:
    5,50 € : 1,50 € ≈ 3,67
    Lösung zeigen
    1. 5,50 € : 1,50 € ≈ 3,67
    2. Nur ganze Stunden zählen: 3 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 4. Stunde.
    Ergebnis:
    3 Stunden
  2. ●20
    Im Parkhaus kostet jede angefangene Stunde 1,50 €. Du hast 12,50 € dabei. Wie lange darfst du höchstens parken?
    01234560246810Parkdauer in StundenPreis in €
    Lösung zeigen
    1. 12,50 € : 1,50 € ≈ 8,33
    2. Nur ganze Stunden zählen: 8 Stunden
    3. Eine Minute mehr wäre die 9. Stunde.
    Ergebnis:
    8 Stunden
  3. ★21
    Ein Paketdienst hat diese Preise: bis 1 kg: 5,00 €, bis 3 kg: 6,50 €, bis 5 kg: 8,50 €, bis 10 kg: 13,50 €. Warum ist der Graph eine Treppe und keine schräge Linie? Was kostet ein Paket mit genau 3 kg?
    01234567891005101520Gewicht in kgPreis in €
    Lösung zeigen
    1. Innerhalb einer Stufe ist der Preis gleich: waagerechte Stücke.
    2. An der Grenze springt er: ein Sprung nach oben.
    3. Genau 3 kg gehört noch zu „bis 3 kg“: 6,50 €
    Ergebnis:
    waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,50 €

8Ich erkenne Fehler beim Lesen von Graphen und erzähle Geschichten zu Graphen.

EntdeckenFrage

Wie kann ein Balken doppelt so hoch aussehen wie ein anderer, obwohl sein Wert nur 5 % größer ist?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Achse beginnt nicht bei 0, sondern bei 95. Dann ist der Balken für 100 nur 5 Kästchen hoch und der für 105 genau 10 Kästchen. Wer nur die Höhen vergleicht, liest „doppelt so viel“. Deshalb schaut man zuerst auf den Anfang der Achse.

MerkenFehler beim Ablesen

Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Wächst die Entfernung von zu Hause, fährt jemand weg – auch bergab.

BeispielFehler beim Lesen von Graphen

Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Ben soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
0123450102030Zeit in hHöhe in cm
Schritt für Schritt
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 15 cm
  1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
  2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
  3. Abgelesen: 15 cm
Ergebnis:
Achsen verwechselt; die Kerze ist 15 cm hoch

AchtungNoch einmal: Graph als Bild gelesen

So nicht
Graph der Entfernung von zu Hause fällt am Ende → das Rad fährt bergab
So richtig
Die Entfernung wird kleiner → das Rad fährt zurück nach Hause

Der Graph ist kein Foto. Erst lesen, was auf den Achsen steht: Ein breites Gefäß ergibt einen flachen Graphen, eine fallende Entfernung heißt Rückweg.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Tim soll ablesen, wie hoch sie nach 1 Stunden ist, und sucht 1 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    01234501020Zeit in hHöhe in cm
    So fängst du an:
    Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 1 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 14 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 14 cm hoch
  2. ●23
    Eine Kerze brennt ab. Der Graph zeigt ihre Höhe in cm nach der Zeit in Stunden. Aylin soll ablesen, wie hoch sie nach 4 Stunden ist, und sucht 4 auf der Höhenachse. Was ist falsch? Wie hoch ist die Kerze wirklich?
    012345010203040Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit steht auf der Achse nach rechts, die Höhe auf der Achse nach oben.
    2. 4 Stunden nach rechts suchen, dann nach oben zum Graphen
    3. Abgelesen: 16 cm
    Ergebnis:
    Achsen verwechselt; die Kerze ist 16 cm hoch
  3. ★24
    Eine Kerze ist 27 cm hoch und brennt jede Stunde 3 cm ab. Aylin zeichnet die Zeit nach oben und die Höhe nach rechts. Was ist falsch? Nach wie vielen Stunden ist die Kerze abgebrannt?
    024680102030Zeit in hHöhe in cm
    Lösung zeigen
    1. Die Zeit gehört auf die Achse nach rechts, die Höhe auf die Achse nach oben.
    2. Abbrennen: 27 : 3 = 9
    3. Der Graph trifft nach 9 Stunden die Zeitachse.
    Ergebnis:
    Achsen vertauscht; nach 9 Stunden

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Auf einer Prepaid-Karte wird Guthaben für Anrufe verbraucht. Die Tabelle zeigt Zeit und Guthaben: 0 → 420, 1 → 411, 2 → ?, 3 → 393, 4 → 384. Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
    Zeit in MinutenGuthaben in Cent042014112?33934384
    Lösung zeigen
    1. Von einer Spalte zur nächsten: 411 − 420 = −9
    2. Die Änderung ist immer gleich: 9 Cent weniger je Minute
    3. 411 − 9 = 402
    Ergebnis:
    402 Cent
  2. ●26
    Nach rechts ist die Wartezeit an der Haltestelle aufgetragen, nach oben die Abfahrtszeit laut Fahrplan. Welcher Graph passt? Begründe mit „je …, desto …“.
    (A)(B)(C)
    Lösung zeigen
    1. Die Wartezeit an der Haltestelle wird größer.
    2. Dann bleibt die Abfahrtszeit laut Fahrplan gleich.
    3. Eine waagerechte Linie heißt: keine Änderung.
    4. Also Graph (A)
    Ergebnis:
    (A) bleibt gleich
  3. ●27
    In ein Gefäß aus zwei Teilen: unten schmal, oben breit läuft gleichmäßig Wasser. Welcher Graph zeigt, wie die Höhe des Wassers mit der Zeit wächst? Begründe.
    Gefäß(A)(B)(C)Höhe
    Lösung zeigen
    1. Das Gefäß: zwei Teile, unten der schmale.
    2. Im schmalen Teil steigt das Wasser schnell, im breiten langsam.
    3. Also zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach: Graph (A)
    Ergebnis:
    (A) zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  4. ★28
    Ein Gefäß hat zwei Teile: unten 100 cm² Bodenfläche, oben 300 cm². Jede Minute fließen 600 cm³ Wasser hinein. Wie schnell steigt das Wasser unten, wie schnell oben? Wie sieht der Füllgraph aus?
    Lösung zeigen
    1. Unten: 600 : 100 = 6, also 6 cm je Minute.
    2. Oben: 600 : 300 = 2, also 2 cm je Minute.
    3. Zwei gerade Stücke: erst steil, dann flach.
    Ergebnis:
    unten 6 cm, oben 2 cm je Minute; erst steil, dann flach

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Zusammenhang: je …, desto …
Ein Zusammenhang sagt, wie sich eine Größe ändert, wenn die andere wächst.
Werte am Graphen ablesen
Suche den Wert auf der Achse nach rechts und gehe senkrecht bis zum Graphen.
Steigen und fallen – wie schnell?
Geht der Graph nach oben, wächst die Größe, nach unten nimmt sie ab.
Füllgraphen
Je breiter das Gefäß an einer Stelle, desto langsamer steigt dort das Wasser.
Weg-Zeit-Diagramm
Im Weg-Zeit-Diagramm heißt ein waagerechtes Stück: Pause.
Von der Vorschrift zur Wertetabelle
Setze jede Zahl in die Vorschrift ein und schreibe das Ergebnis in die Tabelle.
Stufen und Sprünge
Ein Preis in Stufen bleibt eine Weile gleich und springt dann.
Fehler beim Ablesen
Ein Graph ist kein Bild der Landschaft: Lies zuerst, was die Achse nach oben zeigt.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Kind geht los, wartet an der Ampel, rennt zum Bus und läuft kurz zurück. Beschreibe nur mit Worten, wie weit es von zu Hause weg ist. Kann jemand daraus genau sagen, wann es wie weit weg war?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Graph als Sprache für Änderung: nach oben, nach unten, waagerecht – und wie steil.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Wetterkurven, Akkustand, Parkgebühren und Paketpreise. Beruf: Messkurven in Labor und Technik, Fahrtenschreiber im Lkw, Füllstände in der Produktion.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Zuordnungen, Koordinatensystem und Symmetrie

Darauf baut auf: Lineare Funktionen

Lösungen

  1. 77 °C
  2. nach 12 Sekunden
  3. nach 7 Minuten
  4. um 14 Uhr, 1000 Personen
  5. keine Veränderung
  6. 500 Personen
  7. Abschnitt D, 20 m je Minute
  8. Abschnitt D, 40 l je Minute weniger
  9. Abschnitt C, 30 l je Minute
  10. (A) unten breit, oben schmal
  11. am Ende; zwei gerade Stücke, erst flach, dann steil
  12. unten 2 cm, oben 6 cm je Minute; erst flach, dann steil
  13. 12 km/h
  14. 15 min Pause, 7 km von zu Hause
  15. 20 min Pause, 6 km von zu Hause
  16. nein
  17. (0 | −4), (1 | −3), (2 | 0), (3 | 5), (4 | 12); nein, ein Bogen
  18. für x = 1: 12; für x = 4: 3
  19. 3 Stunden
  20. 8 Stunden
  21. waagerechte Stufen mit Sprüngen; 6,50 €
  22. Achsen verwechselt; die Kerze ist 14 cm hoch
  23. Achsen verwechselt; die Kerze ist 16 cm hoch
  24. Achsen vertauscht; nach 9 Stunden
  25. 402 Cent
  26. (A) bleibt gleich
  27. (A) zwei gerade Stücke, erst steil, dann flach
  28. unten 6 cm, oben 2 cm je Minute; erst steil, dann flach
  29. 15,00 €
  30. 6,00 €