Abiturvorbereitung: gemischte Aufgaben
Das lernst du
- Ich löse Analysis-Aufgaben im Abiturformat (Kurvendiskussion mit Sachbezug).
- Ich löse Integral-Aufgaben im Abiturformat.
- Ich löse e-Funktions-Aufgaben im Abiturformat.
- Ich löse Aufgaben zur analytischen Geometrie im Abiturformat.
- Ich löse Stochastik-Aufgaben im Abiturformat.
- Ich trainiere den hilfsmittelfreien Teil.
- Ich arbeite mit Operatoren (bestimmen, begründen, zeigen, beurteilen).
- Ich manage die Zeit in einer Prüfung.
- Ich bereite die Abiturklausur vor.
Merksätze
Reihenfolge: Nullstellen, f', Extrema, f'', Wendepunkte, Graph, Sachbezug deuten.
Nullstellen prüfen, aufteilen, Beträge – und immer die Einheit im Sachzusammenhang.
Ausklammern von e^(kx) zeigt Nullstellen; Asymptote nicht vergessen.
Skizze, Vektoren, Gleichungen – jede Behauptung mit Rechnung belegen.
Situation in n, p übersetzen; „mindestens“ über Gegenereignis; Erwartungswert deuten.
Ableitungen, Integrale und Vektorrechnung ohne Rechner sicher beherrschen.
„Bestimmen“ = rechnen, „begründen“ = Argument, „zeigen“ = lückenlos, „beurteilen“ = mit Kriterium bewerten.
Pro Punkt etwa 2 Minuten; hängen bleiben kostet mehr als ein übersprungener Teil.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Eine zylindrische Dose soll 250 cm³ fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Bestimme Radius und Höhe.
- Nebenbedingung: V = πr²h = 250 → h = 250/(πr²)
- Zielfunktion: O(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 500/r
- O'(r) = 4πr − 500/r² = 0 → r³ = 250/(2π)
- r ≈ 3,41 cm, h = 250/(π · 3,41²) ≈ 6,83 cm
- Bemerkenswert: h = 2r – die sparsamste Dose ist so hoch wie breit.
Ergebnis: r ≈ 3,41 cm, h ≈ 6,83 cm (O ≈ 219,7 cm²)
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x3 − 3x + 5.
- f'(x) = 3x2 − 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1
- f''(x) = 6x: f''(−1) < 0 → Hochpunkt, f''(1) > 0 → Tiefpunkt
- f(−1) = 7, f(1) = 3
Ergebnis: H(−1 | 7), T(1 | 3)
Brückenbogen. Der Bogen einer Brücke wird im Intervall [0; 4] durch f(x) = −x² + 4x beschrieben (x, f(x) in Metern).
a) Berechne die Nullstellen von f und deute sie im Sachzusammenhang.
b) Bestimme den höchsten Punkt des Bogens mit Hilfe der Ableitung. Weise nach, dass es sich um ein Maximum handelt.
c) Berechne die Fläche zwischen Bogen und Fahrbahn (x-Achse).
d) Bestimme die mittlere Höhe des Bogens über dem Intervall [0; 4].
- a) f(x) = x(4 − x) = 0 → x = 0 und x = 4: Anfang und Ende des Bogens, Spannweite 4 m
- b) f'(x) = −2x + 4 = 0 → x = 2; f''(x) = −2 < 0 → Maximum; f(2) = 4: Hochpunkt H(2 | 4), Bogen 4 m hoch
- c) ∫₀4 (−x² + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀4 = −21,33 + 32 = 10,67 m²
- d) Mittelwert = 10,67 : 4 = 2,67 m
Ergebnis: a) 0 und 4 · b) H(2 | 4) · c) ≈ 10,67 m² · d) ≈ 2,67 m
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen f(x) = x² und der Geraden g(x) = 1.
- Schnittstellen: x² = 1 → x = ±1
- Zwischen −1 und 1 liegt g oben: A = ∫₋11(1 − x²) dx
- = [1x − x³/3]₋11 = 2 · (1 − 0,333)
- A ≈ 1,33
Ergebnis: A ≈ 1,33 FE
Wörter
- Nullstelle
- wo der Graph die x-Achse trifft
- Extrempunkt
- ein höchster oder tiefster Punkt
- Wendepunkt
- wo die Kurve die Krümmung wechselt
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Extremstelle x = 2: H(2; 0) aus f' abgelesen
Extremstelle x = 2: y = f(2) = 5, also H(2; 5)
x in f einsetzen, nicht in f'.
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1: ∫ = 0, also Fläche 0
Fläche von x^3 zwischen −1 und 1 = 2 · ∫ von 0 bis 1 = 2 · 1/4 = 0,5
An Nullstellen aufteilen; unterhalb der x-Achse Betrag nehmen.
P(mindestens 1 Treffer) = P(X = 1)
P(mindestens 1 Treffer) = 1 − P(X = 0)
„Mindestens 1“ = 1 − P(X = 0).
Wo brauchst du das?
Die Prüfung selbst – Routine nimmt Angst. Beruf: Studium und Ausbildung setzen genau das voraus.
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- Berliner Prüfungsaufgaben (ISQ, MSA und Abitur): Aufgaben vergangener Jahre – MSA, eBBR, Abitur (für Schulen freigegeben – nur verlinkt)
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