Rätsel aus dem Netz

Ein Lehrer will Ruhe und lässt 1 + 2 + … + 100 rechnen. Ein Neunjähriger ist nach Sekunden fertig – und hat recht.

Berechne 1 + 2 + 3 + … + 100 ohne Taschenrechner – in unter einer Minute.

Hilfen: Schreibe die Zahlen 1…100 und darunter 100…1. Was ergibt jede Spalte? → Jede Spalte ergibt 101. Wie viele Spalten sind es? → 100 · 101 = 10 100 – aber du hast jede Zahl doppelt gezählt.

Antwort: 5050 · Rückschau: Die Idee funktioniert für jede Summe 1 + … + n: n·(n+1)/2. Wo noch? Anzahl Händeschütteln, Spiele in einer Liga, Diagonalen im Vieleck.

Carl Friedrich Gauß, um 1786 (Anekdote)

Der Legende nach schieben Mönche 64 goldene Scheiben – wenn sie fertig sind, geht die Welt unter. Kein Grund zur Sorge, rechne nach.

Drei Stäbe, auf dem ersten liegen 4 Scheiben, die größte unten. Bewege den Turm auf Stab 3: immer nur eine Scheibe, nie eine größere auf eine kleinere. Wie viele Züge braucht man mindestens?

Hilfen: 1 Scheibe: 1 Zug. 2 Scheiben: 3 Züge. Wie viele bei 3? → Um die größte Scheibe zu bewegen, müssen alle kleineren erst auf den Hilfsstab – und danach wieder oben drauf. → Züge(n) = 2 · Züge(n−1) + 1. Also 1, 3, 7, 15, …

Antwort: 15 Züge · Rückschau: Klein anfangen, Muster suchen, Regel formulieren – die Strategie hinter jeder Folgen-Aufgabe. Bei 64 Scheiben: 2⁶⁴ − 1 Züge ≈ 585 Milliarden Jahre bei 1 Zug/s.

Édouard Lucas, 1883

1736 wollte eine ganze Stadt wissen, ob ein Sonntagsspaziergang über alle sieben Brücken möglich ist. Euler sagte: nein – und erfand dabei ein neues Gebiet der Mathematik.

Vier Landstücke, sieben Brücken (siehe Skizze). Gibt es einen Spaziergang, der jede Brücke genau einmal nutzt?

Hilfen: Zähle für jeden Punkt, wie viele Linien dort ankommen. → Wer einen Punkt betritt, muss ihn auch wieder verlassen – das braucht 2 Brücken. Ausnahmen: Start und Ziel. → Alle vier Punkte haben eine ungerade Anzahl Brücken (5, 3, 3, 3). Höchstens zwei dürfen ungerade sein.

Antwort: Nein, unmöglich · Rückschau: Ein gutes Modell wirft alles Unwichtige weg. Dieselbe Idee: „Haus vom Nikolaus“ (2 ungerade Ecken → geht, aber nur von unten nach unten).

Leonhard Euler, 1736

Zwölf Goldmünzen, eine ist gefälscht und wiegt anders. Eine Balkenwaage, drei Wägungen. Der Klassiker aus Escape-Rooms.

Von 9 Münzen ist eine leichter. Du hast eine Balkenwaage ohne Gewichte. Wie findest du sie mit nur 2 Wägungen?

Hilfen: Teile in drei Dreiergruppen. Wiege zwei davon. → Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die leichte Münze in der dritten Gruppe. → Aus der leichten Dreiergruppe: zwei Münzen wiegen – die dritte ist es bei Gleichstand.

Antwort: 2 Wägungen reichen für 9 Münzen · Rückschau: Nicht halbieren, sondern dritteln – weil die Waage drei Antworten gibt. Wie viele Münzen schafft man mit 3 Wägungen? 27.

Klassiker, 20. Jh.

Karl der Große ließ seine Hofschule mit Rätseln unterrichten – dieses ist 1200 Jahre alt und funktioniert immer noch.

Ein Bauer muss Wolf, Ziege und Kohlkopf über den Fluss bringen. Das Boot fasst nur ihn und ein Ding. Allein gelassen frisst der Wolf die Ziege, die Ziege den Kohl. Wie geht es?

Hilfen: Die Ziege ist das Problemkind: Sie muss als Erstes rüber. → Nach dem zweiten Ding muss etwas zurück – was? → Bring die Ziege wieder zurück, hol den Rest, dann zuletzt die Ziege.

Antwort: 7 Überfahrten · Rückschau: Der Trick: etwas wieder zurückbringen – ein Schritt „rückwärts“ ist erlaubt. Zustandsdiagramme lösen alle Rätsel dieser Art.

Alkuin von York, um 800

Der Erfinder des Schachs wünscht sich als Lohn nur Reis: 1 Korn auf dem ersten Feld, 2 auf dem zweiten, immer das Doppelte. Der König lacht – zu früh.

1, 2, 4, 8, … Reiskörner auf 64 Feldern. Schätze: Wie viele Körner liegen auf dem letzten Feld? Und wie viele insgesamt? Erst tippen, dann rechnen.

Hilfen: Feld n hat 2ⁿ⁻¹ Körner. Feld 11: 1024. → Summe der ersten n Felder = nächstes Feld minus 1 (1+2+4 = 8−1). → Feld 64: 2⁶³ ≈ 9,2 Trillionen. Gesamt 2⁶⁴ − 1.

Antwort: ≈ 18,4 Trillionen Körner · Rückschau: Unsere Intuition ist linear, die Welt oft exponentiell: Zinseszins, Viren, Kettenbriefe. Merke: Verdoppeln 10-mal = ×1000.

Persische/indische Legende (Sissa), Mittelalter

1202 rechnete ein Kaufmann aus Pisa aus, wie schnell sich Kaninchen vermehren. Die Zahlenfolge tauchte danach in Sonnenblumen, Tannenzapfen und Börsenkursen auf.

Ein Kaninchenpaar wird nach einem Monat geschlechtsreif und bekommt ab dann jeden Monat ein neues Paar. Wie viele Paare gibt es nach 12 Monaten?

Hilfen: Neue Paare im Monat n = Anzahl reifer Paare = Paare im Monat n−2. → Also: Paare(n) = Paare(n−1) + Paare(n−2). → 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Antwort: 144 Paare · Rückschau: Rekursion: das Neue aus dem Alten bauen. Verhältnis benachbarter Zahlen → 1,618 (Goldener Schnitt).

Leonardo Fibonacci, Liber Abaci 1202

Ein Telegramm, das um Geld bittet – und jeder Buchstabe ist eine Ziffer. Das berühmteste Buchstabenrätsel der Welt.

SEND + MORE = MONEY. Jeder Buchstabe steht für eine andere Ziffer, keine führende Null. Welche Zahlen?

Hilfen: Die Summe hat 5 Stellen, die Summanden 4 → M = 1 (Übertrag). → S + M (+ Übertrag) = 10 + O → S = 9 oder 8, O = 0 oder 1. O ≠ M → O = 0, S = 9. → E + O + Übertrag = N → N = E + 1. Weiter mit N + R: R = 8. Dann D + E = 10 + Y.

Antwort: 9567 + 1085 = 10652 · Rückschau: Systematisch ausschließen statt raten – wie beim Sudoku. Dieselbe Logik steckt im Stellenwertsystem.

Henry Dudeney, 1924

41 Menschen im Kreis, jeder Dritte scheidet aus – wo muss man stehen, um als Letzter übrig zu bleiben? Ein Historiker der Antike soll genau so überlebt haben.

10 Personen stehen im Kreis, Nummern 1–10. Beginnend bei 1 scheidet jede zweite Person aus (2, 4, 6, …), bis eine übrig ist. Welche Nummer bleibt?

Hilfen: n=2:1, n=3:3, n=4:1, n=5:3, n=6:5, n=7:7, n=8:1 … → Bei Zweierpotenzen (2, 4, 8) bleibt immer die 1. Danach steigt es um 2. → 10 = 8 + 2 → Nummer 2·2 + 1 = 5.

Antwort: Nummer 5 · Rückschau: Muster in kleinen Fällen suchen ist eine der stärksten Strategien überhaupt. Im Binärsystem: erste Ziffer nach hinten schieben (1010 → 0101 = 5).

Flavius Josephus, 1. Jh.; Bachet 1612

Vier Streichhölzer bewegen, drei Quadrate übrig – das Rätsel, das man auf jeder Serviette lösen kann.

Aus 12 Streichhölzern sind 4 gleiche Quadrate gelegt (2×2). Entferne 2 Hölzer, sodass genau 2 Quadrate bleiben (jedes Holz gehört zu einem Quadrat).

Hilfen: Zwei Quadrate, die sich keine Seite teilen, brauchen 8 Hölzer. 10 Hölzer → ein großes und ein kleines? → Das große 2×2-Quadrat hat 8 Außenhölzer. Bleiben 2 für ein kleines – das geht nicht. Also anders: die zwei Quadrate müssen sich berühren. → Entferne die beiden Hölzer, die zwei diagonal gegenüberliegende kleine Quadrate auflösen.

Antwort: Zwei diagonale Quadrate bleiben · Rückschau: Vom Ziel her denken: Was muss am Ende dastehen? Diese Frage spart bei Gleichungen und Konstruktionen Umwege.

Streichholzrätsel, 19. Jh.

Eine Pizza, fünf gerade Schnitte – wie viele Stücke höchstens? Die Stücke dürfen ungleich sein. Die meisten tippen 10.

Wie viele Stücke kann man mit 5 geraden Schnitten aus einer Pizza höchstens machen? (Stücke dürfen verschieden groß sein.)

Hilfen: Jeder neue Schnitt bringt so viele neue Stücke, wie er alte Schnitte kreuzt, plus 1. → Schnitt n kann höchstens n−1 alte Schnitte kreuzen → n neue Stücke. → 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 16

Antwort: 16 Stücke · Rückschau: Der Zuwachs ist entscheidend, nicht der Bestand – dieselbe Idee wie beim Gauß: Summe 1+…+n plus 1.

Jakob Steiner, 1826 („Lazy Caterer“)

Drei Logikerinnen bekommen Hüte aufgesetzt. Keine sieht ihren eigenen. Wer zuerst die eigene Farbe weiß, gewinnt – und eine schweigt so lange, bis sie es weiß.

Es gibt 3 rote und 2 blaue Hüte. Drei Personen stehen hintereinander, jede sieht nur die vor ihr. Die Hinterste sagt: „Ich weiß meine Farbe nicht.“ Die Mittlere: „Ich auch nicht.“ Die Vorderste (sieht niemanden): „Dann weiß ich meine.“ Welche Farbe hat sie?

Hilfen: Hätte die Hinterste zwei blaue gesehen, wüsste sie: Ich bin rot. Sie weiß es nicht → vorne sind nicht beide blau. → Die Mittlere weiß das. Sähe sie vorne blau, wüsste sie: Ich bin rot. Sie weiß es nicht → vorne ist rot. → Die Vorderste hört beides und schließt: rot.

Antwort: Rot · Rückschau: Auch „Ich weiß es nicht“ ist Information. Diese Logik steckt in jedem Beweis durch Widerspruch.

Logikrätsel, 20. Jh.

In eurer Klasse haben ziemlich sicher zwei Leute am selben Tag Geburtstag. Wetten? Erst tippen, dann rechnen.

Wie viele Leute braucht man, damit die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Geburtstage über 50 % liegt? Tipp abgeben, dann rechnen.

Hilfen: Rechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle verschieden sind: 365/365 · 364/365 · 363/365 · … → Multipliziere Schritt für Schritt (Tabellenkalkulation oder Taschenrechner) bis das Produkt unter 0,5 fällt. → Bei 23 Personen: P(alle verschieden) ≈ 0,493.

Antwort: 23 Personen · Rückschau: Der Umweg über das Gegenteil ist oft der kürzeste Weg – in der Stochastik fast immer, wenn „mindestens“ vorkommt.

Richard von Mises, 1939

Ein Papierstreifen, einmal verdreht, zusammengeklebt: Zeichne eine Linie in der Mitte – ohne abzusetzen kommst du auf „beiden“ Seiten an. Und dann schneidest du es durch.

Klebe einen Papierstreifen mit einer halben Drehung zum Ring (Möbiusband). Vorhersage: Was passiert, wenn du es der Länge nach in der Mitte durchschneidest? Dann testen.

Hilfen: Ein normaler Ring hat 2 Seiten, 2 Kanten. Das Möbiusband hat 1 Seite und 1 Kante. → Beim Schneiden trennst du die eine Kante nicht in zwei Bänder, sondern … → … es entsteht EIN längeres Band mit zwei ganzen Drehungen.

Antwort: Ein einziges, doppelt so langes Band · Rückschau: Erst vorhersagen, dann prüfen – so arbeitet Mathematik. Möbiusbänder stecken in Förderbändern und Druckerfarbbändern (gleichmäßige Abnutzung).

August Möbius / Johann Listing, 1858

Der schnellste Läufer der Antike kann eine Schildkröte nie einholen – sagt Zenon. 2000 Jahre lang wusste niemand, was daran falsch ist.

Achilles läuft 10-mal so schnell wie die Schildkröte, die 100 m Vorsprung hat. Wenn er die 100 m geschafft hat, ist sie 10 m weiter. Wenn er die 10 m hat, ist sie 1 m weiter … Holt er sie je ein? Wo?

Hilfen: Schreibe die Summe als Dezimalzahl: 111,111… → 111,111… = 111 + 1/9 = 1000/9 m. Unendlich viele Schritte, endliche Strecke. → Oder Gleichung: 10·v·t = v·t + 100 → t = 100/(9v); Ort = 1000/9 m.

Antwort: Nach ≈ 111,1 m · Rückschau: Eine unendliche Summe kann endlich sein – die Grundlage für 0,999… = 1, Zinseszins-Grenzwerte und die Integralrechnung.

Zenon von Elea, 5. Jh. v. Chr.

Die Mauer ist zerstört – nur drei Steine sind lesbar. Reicht das? Ein Rätsel, das man mit Terme-Denken in Sekunden knackt.

Zahlenmauer mit 4 Grundsteinen. Bekannt: Grundstein 1 = 3, Grundstein 4 = 5, der Zielstein oben = 40, und die beiden mittleren Grundsteine sind gleich. Wie groß sind sie?

Hilfen: Zweite Reihe: 3+x, 2x, x+5. Dritte: 3+3x, 3x+5. → Oben: (3+3x) + (3x+5) = 6x + 8. → 6x + 8 = 40 → x = ?

Antwort: x = 16/3 · Rückschau: Die Variable macht aus Raten Rechnen. Beobachtung: Die mittleren Steine zählen dreifach – ändere sie um 1, oben ändert sich um 3.

Wittmann/Müller, Zahlenmauern (mathe 2000)

Angeblich hat Einstein gesagt, nur zwei Prozent der Menschen könnten das lösen. Das stimmt nicht – weder das mit Einstein noch das mit den zwei Prozent. Mit einer Tabelle schafft es fast jede Klasse.

Fünf Häuser stehen nebeneinander, jedes in einer anderen Farbe. In jedem wohnt eine Person anderer Nationalität, jede trinkt ein anderes Getränk, raucht eine andere Marke und hält ein anderes Haustier.

Die Frage: Wem gehört der Fisch?

1. Der Brite wohnt im roten Haus.
2. Der Schwede hält einen Hund.
3. Der Däne trinkt Tee.
4. Das grüne Haus steht direkt links vom weißen.
5. Im grünen Haus wird Kaffee getrunken.
6. Wer Pall Mall raucht, hält Vögel.
7. Im mittleren Haus wird Milch getrunken.
8. Im gelben Haus wird Dunhill geraucht.
9. Der Norweger wohnt im ersten Haus.
10. Wer Marlboro raucht, wohnt neben dem, der Katzen hält.
11. Wer Pferde hält, wohnt neben dem Dunhill-Raucher.
12. Wer Winfield raucht, trinkt Bier.
13. Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.
14. Der Deutsche raucht Rothmans.
15. Wer Marlboro raucht, wohnt neben dem, der Wasser trinkt.

Hilfen: Zeichnet eine Tabelle: fünf Spalten für die Häuser, fünf Zeilen für Farbe, Nationalität, Getränk, Marke, Tier. Tragt nur ein, was sicher ist – und nichts, was ihr nur vermutet. → Fangt bei den Hinweisen an, die eine Position NENNEN: Nummer 9 (Norweger, Haus 1) und Nummer 7 (Milch, Haus 3). Mit 13 folgt daraus die Farbe von Haus 2. → Haus 1 kann nicht grün sein (wegen 4 müsste rechts davon weiß stehen, aber Haus 2 ist blau). Damit ist Haus 1 gelb, und über 8 steht auch die Marke fest. Ab hier fällt der Rest von links nach rechts.

Antwort: Der Deutsche – im grünen Haus, mit Kaffee und Rothmans · Rückschau: Die Strategie heißt „ausschließen statt raten“ und trägt weit über das Rätsel hinaus: Sie steckt in jedem Sudoku, in der Vierfeldertafel und in jedem Beweis durch Widerspruch. Wer im Kopf rechnet, verliert den Überblick – wer schreibt, nicht.

Erstmals 1962 in Life International; die Zuschreibung an Einstein ist eine Legende

2015 stand diese Aufgabe in einer Mathe-Olympiade für 14-Jährige in Singapur. Danach stritt das halbe Internet darüber – erwachsene Menschen, tagelang.

Albert und Bernard wollen wissen, wann Cheryl Geburtstag hat. Sie nennt ihnen zehn mögliche Tage:

15. Mai · 16. Mai · 19. Mai
17. Juni · 18. Juni
14. Juli · 16. Juli
14. August · 15. August · 17. August

Dann sagt sie Albert den Monat und Bernard den Tag – jeder erfährt nur seine eigene Angabe.

Albert: „Ich weiß nicht, wann Cheryl Geburtstag hat, aber ich weiß, dass Bernard es auch nicht weiß.“
Bernard: „Zuerst wusste ich es nicht, aber jetzt weiß ich es.“
Albert: „Dann weiß ich es jetzt auch.“

Wann hat Cheryl Geburtstag?

Hilfen: Schreibt die zehn Termine als Tabelle: Monate als Zeilen, Tage als Spalten. Sucht dann die Tage, die nur EINMAL vorkommen. → Der 18. und der 19. kommen nur einmal vor (Juni und Mai). Hätte Bernard einen davon, wüsste er es sofort. Albert schließt das aus – was sagt das über seinen Monat? → Albert kann sicher sein, dass Bernard es nicht weiß – also ist Mai und Juni ausgeschlossen. Es bleiben Juli und August. Jetzt weiß Bernard es: Welcher Tag ist in Juli und August zusammen noch eindeutig?

Antwort: 16. Juli · Rückschau: Das Neue ist nicht die Rechnung, sondern die Art der Information: „Ich weiß es nicht“ ist eine Aussage über die Welt. Dieselbe Denkfigur steckt hinter bedingten Wahrscheinlichkeiten – auch dort verändert eine Zusatzinformation, was noch möglich ist.

Singapore and Asian Schools Math Olympiad 2015, Aufgabe 24