Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Verschieben, Spiegeln, Drehen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Schreib ein großes F auf ein Blatt. Leg es einmal auf den Kopf und halte es einmal vor einen Spiegel. Beide Bilder sehen andersherum aus. Sind sie gleich? Begründe so, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele entscheiden nach Gefühl. Das auf dem Kopf stehende F nennen sie gespiegelt, obwohl es gedreht ist. Beim Begründen fehlen die Worte. Stell dir vor, du schneidest das F aus. Passt es ohne Umdrehen auf das Bild, ist es verschoben oder gedreht. Musst du es umdrehen, ist es gespiegelt.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Gitter hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

●32
Zeichne den Punkt P(4 | 7) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
Lösung zeigen
1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
2. 4 nach rechts, 7 nach oben
Ergebnis:
x = 4 nach rechts, y = 7 nach oben
●33
Drei Ecken eines Rechtecks: A(2 | 4), B(7 | 4), C(7 | 6). Wo liegt D?
Lösung zeigen
1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
2. D(2 | 6)
Ergebnis:
D(2 | 6)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Figur bewegt sich, ihre Form bleibt

Verschieben, Spiegeln und Drehen bewegen eine Figur, ohne sie zu verändern. Jeder Punkt geht dabei nach derselben Vorschrift. Nur das Spiegeln macht die Figur seitenverkehrt, und nur das Vergrößern ändert die Größe.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Buchstabe F wird einmal gedreht und einmal gespiegelt. Woran erkennst du ohne Nachmessen, welches Bild gespiegelt ist?

1Ich erkenne, ob eine Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht wurde.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein Windrad nach einer Drittelrunde genauso aus wie vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Windrad mit drei gleichen Flügeln passt nach einer Drehung um 120° wieder genau auf sich selbst. 360° geteilt durch 3 ergibt 120°. Deshalb nennt man es drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 120°.

MerkenVerschoben, gespiegelt, gedreht

Nur beim Spiegeln wird eine Figur seitenverkehrt.

Beim Verschieben und Drehen passt das ausgeschnittene Bild ohne Umdrehen auf das Original.

BeispielVerschoben, gespiegelt oder gedreht?

Aylin hat eine Figur aus fünf Kästchen ausgeschnitten und neu gelegt. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?

Schritt für Schritt

Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
Also: gespiegelt.

Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
Also: gespiegelt.

Ergebnis:

gespiegelt

AchtungGedreht und gespiegelt verwechselt

So nicht

Figur F halb herum gedreht → gespiegelt

So richtig

Figur F halb herum gedreht → nicht seitenverkehrt → gedreht

Nur das Spiegeln macht eine Figur seitenverkehrt. In Gedanken ausschneiden: Passt sie ohne Umdrehen?

ÜbenJetzt du

○1
Die gelbe Figur ist das Original, die blaue das Bild. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
So fängst du an:
Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
Lösung zeigen
1. Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
2. Die Figur zeigt in dieselbe Richtung und ist nicht seitenverkehrt.
3. Also: verschoben.
Ergebnis:
verschoben
●2
Lea hat eine Figur aus fünf Kästchen ausgeschnitten und neu gelegt. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
Lösung zeigen
1. Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
2. Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
3. Also: gespiegelt.
Ergebnis:
gespiegelt
★3
Schneide die gelbe Figur in Gedanken aus. Kannst du sie ohne Umdrehen des Papiers genau auf die blaue legen? Wie heißt die Abbildung?
Lösung zeigen
1. Ja, sie passt ohne Umdrehen.
2. Die Figur ist nicht seitenverkehrt, zeigt aber in eine andere Richtung.
3. Also: gedreht.
Ergebnis:
gedreht

2Ich verschiebe Punkte und Figuren im Gitter und beschreibe Verschiebungen.

EntdeckenFrage

Wie können Muster auf alten griechischen Vasen unendlich weitergehen, obwohl die Vase aufhört?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Muster sind Bandornamente: Ein Motiv wird immer um dieselbe Länge verschoben. Wer das Motiv kennt, könnte das Band beliebig weiterzeichnen. Der Mäander auf griechischen Vasen ist ein berühmtes Beispiel.

MerkenVerschiebung

Beim Verschieben geht jeder Punkt der Figur denselben Weg.

Die Figur bleibt gleich groß und zeigt in dieselbe Richtung.

BeispielPunkte und Figuren verschieben

Der Punkt Q wurde um 2 nach rechts und 3 nach oben verschoben. Sein Bildpunkt ist Q'(10 | 5). Wo lag Q vorher?

Schritt für Schritt

Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
10 − 2 = 8 und 5 − 3 = 2
Vorher: Q(8 | 2)

Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
10 − 2 = 8 und 5 − 3 = 2
Vorher: Q(8 | 2)

Ergebnis:

Q(8 | 2)

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht

B(5 | 1) um 4 nach rechts und 4 nach oben → B'(9 | 1)

So richtig

B(5 | 1) um 4 nach rechts und 4 nach oben → B'(9 | 5)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht denselben Weg.

ÜbenJetzt du

○4
Der Punkt P wurde um 1 nach rechts und 1 nach unten verschoben. Sein Bildpunkt ist P'(5 | 6). Wo lag P vorher?
So fängst du an:
Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
Lösung zeigen
1. Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
2. 5 − 1 = 4 und 6 + 1 = 7
3. Vorher: P(4 | 7)
Ergebnis:
P(4 | 7)
●5
Verschiebe B(1 | 2) um 1 nach rechts und 3 nach oben. Wo liegt der Bildpunkt B'?
Lösung zeigen
1. Waagerecht: 1 + 1 = 2
2. Senkrecht: 2 + 3 = 5
3. Bildpunkt: B'(2 | 5)
Ergebnis:
B'(2 | 5)
★6
Verschiebe B(7 | 2) um 1 nach rechts und 1 nach unten. Wo liegt der Bildpunkt B'?
Lösung zeigen
1. Waagerecht: 7 + 1 = 8
2. Senkrecht: 2 − 1 = 1
3. Bildpunkt: B'(8 | 1)
Ergebnis:
B'(8 | 1)

3Ich nutze die Eigenschaften der Spiegelung.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift.

MerkenSpiegelachse

Punkt und Bildpunkt sind gleich weit von der Achse entfernt.

Ihre Verbindung steht senkrecht auf der Achse.

BeispielEigenschaften der Spiegelung

Spiegle P(9 | 4) an der roten Achse s. Wo liegt P'?

Schritt für Schritt

P liegt 3 Kästchen rechts von s.
P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
P': P'(3 | 4)

P liegt 3 Kästchen rechts von s.
P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
P': P'(3 | 4)

Ergebnis:

P'(3 | 4)

AchtungAbstand zur Achse nicht verdoppelt

So nicht

P ist 7 cm von der Achse entfernt → P und P' 7 cm auseinander

So richtig

P ist 7 cm von der Achse entfernt → P und P' 2 · 7 cm = 14 cm auseinander

Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite der Achse, genauso weit weg. Der Abstand zwischen Punkt und Bild ist doppelt so groß.

ÜbenJetzt du

○7
Ein Punkt P ist 8 cm von der Spiegelachse entfernt. Wie weit sind P und sein Bildpunkt P' voneinander entfernt?
So fängst du an:
P' ist ebenfalls 8 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
Lösung zeigen
1. P' ist ebenfalls 8 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
2. 8 cm + 8 cm = 16 cm
Ergebnis:
16 cm
●8
Spiegle P(7 | 1) an der roten Achse s. Wo liegt P'?
Lösung zeigen
1. P liegt 3 Kästchen rechts von s.
2. P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
3. P': P'(1 | 1)
Ergebnis:
P'(1 | 1)
★9
Stimmt die Aussage? Begründe.
„Punkt und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Achse.“
Lösung zeigen
1. Denk an Original, Achse und Bild.
2. Das ist die Regel beim Spiegeln.
Ergebnis:
wahr

4Ich drehe Punkte um 90° und 180° um ein Zentrum.

EntdeckenFrage

Warum passt das Bild einer Figur nach dem Drehen ohne Umdrehen auf das Original, nach dem Spiegeln aber nicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Drehen bleibt der Umlaufsinn gleich: Wer die Ecken im Uhrzeigersinn abläuft, tut das auch im Bild. Beim Spiegeln kehrt er sich um. Deshalb muss man ein gespiegeltes Bild erst umdrehen, bevor es passt.

MerkenVierteldrehung und halbe Drehung

Bei einer halben Drehung um 180° kehrt sich jeder Weg vom Zentrum um.

Bei einer Vierteldrehung um 90° werden die beiden Wege getauscht, und einer ändert die Richtung.

BeispielDrehen um 90° und 180°

Drehe P(7 | 6) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(6 | 4). Wo liegt P'?

Schritt für Schritt

Weg von Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach oben.
Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 2 nach links und 1 nach oben.
P': P'(4 | 5)

Weg von Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach oben.
Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 2 nach links und 1 nach oben.
P': P'(4 | 5)

Ergebnis:

P'(4 | 5)

AchtungDrehrichtung vertauscht

So nicht

P(8 | 3) um Z(6 | 5) um 180° → P'(8 | 7)

So richtig

P(8 | 3) um Z(6 | 5) um 180°: 2 rechts, 2 unten wird 2 links, 2 oben → P'(4 | 7)

Im Uhrzeigersinn heißt: wie die Zeiger einer Uhr. Die Wege vom Zentrum tauschen, einer ändert die Richtung.

ÜbenJetzt du

○10
Drehe P(3 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(5 | 4). Wo liegt P'?
So fängst du an:
Weg von Z nach P: 2 nach links und 1 nach unten.
Lösung zeigen
1. Weg von Z nach P: 2 nach links und 1 nach unten.
2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 1 nach rechts und 2 nach unten.
3. P': P'(6 | 2)
Ergebnis:
P'(6 | 2)
●11
Drehe P(8 | 2) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(6 | 5). Wo liegt P'?
Lösung zeigen
1. Weg von Z nach P: 2 nach rechts und 3 nach unten.
2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 3 nach rechts und 2 nach oben.
3. P': P'(9 | 7)
Ergebnis:
P'(9 | 7)
★12
Drehe P(2 | 2) um 90° im Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(5 | 4). Wo liegt P'?
Lösung zeigen
1. Weg von Z nach P: 3 nach links und 2 nach unten.
2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 2 nach links und 3 nach oben.
3. P': P'(3 | 7)
Ergebnis:
P'(3 | 7)

5Ich erkenne drehsymmetrische Figuren und bestimme den kleinsten Drehwinkel.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler M. C. Escher Fische und Vögel gezeichnet, die sich endlos wiederholen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher verschob, drehte und spiegelte eine Grundfigur so, dass keine Lücke entstand. Jede Kopie ist gleich groß wie das Original. Seine Studien zeigen, wie viel Kunst in den drei einfachen Bewegungen steckt.

MerkenDrehsymmetrie

Drehsymmetrisch heißt: Nach einer Teildrehung liegt die Figur wieder auf sich.

Der kleinste Drehwinkel ist 360° geteilt durch die Zahl der gleichen Teile.

BeispielDrehsymmetrie und kleinster Drehwinkel

Um welchen kleinsten Winkel musst du das Windrad um seine Mitte drehen, damit es wieder genau auf sich selbst liegt?

Schritt für Schritt

Das Windrad hat 4 gleiche Flügel.
Eine volle Drehung sind 360°: 360° : 4 = 90°

Das Windrad hat 4 gleiche Flügel.
Eine volle Drehung sind 360°: 360° : 4 = 90°

Ergebnis:

90°

AchtungDrehwinkel mit der Zahl der Teile verwechselt

So nicht

Stern mit 6 gleichen Zacken → kleinster Drehwinkel 6°

So richtig

Stern mit 6 gleichen Zacken → 360° : 6 = 60°

Der kleinste Drehwinkel ist 360° geteilt durch die Zahl der gleichen Teile, nicht die Zahl selbst.

ÜbenJetzt du

○13
Wie oft liegt das Windrad bei einer vollen Drehung um seine Mitte genau auf sich selbst?
So fängst du an:
Nach jedem Flügel passt es wieder: 3 Flügel.
Lösung zeigen
1. Nach jedem Flügel passt es wieder: 3 Flügel.
2. Also 3-mal, die Ausgangslage mitgezählt.
Ergebnis:
3-mal
●14
Das Bild zeigt ein Vieleck mit 4 gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Um welchen kleinsten Winkel kannst du es um seine Mitte drehen, damit es wieder auf sich liegt?
Lösung zeigen
1. Es passt nach jeder Ecke wieder: 4 Lagen.
2. 360° : 4 = 90°
Ergebnis:
90°
★15
Ein Stern liegt schon nach einer Drehung um 30° wieder auf sich selbst. Wie viele gleiche Zacken hat er?
Lösung zeigen
1. Eine volle Drehung sind 360°.
2. 360° : 30° = 12
Ergebnis:
12 Zacken

6Ich setze Bandornamente fort und untersuche sie.

EntdeckenFrage

Wie vergrößert man ein Bild auf Kästchenpapier, damit es nicht verzerrt wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man nimmt alle Längen mit derselben Zahl mal. Wird ein Rechteck von 4 mal 2 Kästchen mit 3 vergrößert, wird es 12 mal 6 Kästchen groß. Die Fläche wächst dabei neunmal, nicht dreimal.

MerkenBandornament

Ein Bandornament wiederholt ein Muster immer im gleichen Abstand.

Wer die Länge des Musters kennt, findet jede Stelle mit Teilen und Rest.

BeispielBandornamente fortsetzen

Das Band setzt sich immer gleich fort. Welche Form steht an der 15. Stelle?

Schritt für Schritt

Das Muster wiederholt sich nach 3 Formen.
15 : 3 = 5
Kein Rest: die 3. Form im Muster, ein Kreis.

Das Muster wiederholt sich nach 3 Formen.
15 : 3 = 5
Kein Rest: die 3. Form im Muster, ein Kreis.

Ergebnis:

Kreis

AchtungStelle im Band falsch gezählt

So nicht

Muster Kreis, Quadrat, Dreieck; Stelle 10 → 10 : 3 = 3, also Dreieck

So richtig

Muster Kreis, Quadrat, Dreieck; Stelle 10 → 10 : 3 = 3 Rest 1 → Kreis

Die Länge des Musters bestimmen, dann mit Rest teilen. Der Rest sagt, welche Form an der Stelle steht.

ÜbenJetzt du

○16
Wie viele Dreiecke sind unter den ersten 15 Formen des Bandes?
So fängst du an:
Ein Muster hat 2 Formen, darunter 1 Dreieck.
Lösung zeigen
1. Ein Muster hat 2 Formen, darunter 1 Dreieck.
2. 15 : 2 = 7 Rest 1: 7 volle Muster, dazu eine Form.
3. 7 · 1 + 0 = 7
Ergebnis:
7 Dreiecke
●17
Um wie viele Formen musst du das Band verschieben, damit es wieder genau auf sich selbst passt?
Lösung zeigen
1. Suche, wo sich das Muster zum ersten Mal wiederholt.
2. Nach 3 Formen beginnt es von vorn.
Ergebnis:
3 Formen
★18
Wie viele Rauten sind unter den ersten 53 Formen des Bandes?
Lösung zeigen
1. Ein Muster hat 5 Formen, darunter 1 Raute.
2. 53 : 5 = 10 Rest 3: 10 volle Muster, dazu 3 Formen.
3. 10 · 1 + 1 = 11
Ergebnis:
11 Rauten

7Ich vergrößere und verkleinere Figuren im Gitter.

EntdeckenFrage

Ein Pixel-Herz aus 20 Kästchen wird doppelt so groß gezeichnet – sind es dann 40 Kästchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Doppelt so groß heißt doppelt so breit und doppelt so hoch. Jedes Kästchen wird zu 2 mal 2 = 4 Kästchen. Das große Herz hat 20 · 4 = 80 Kästchen.

MerkenVergrößern und verkleinern

Beim Vergrößern werden alle Seiten mit derselben Zahl malgenommen.

Wird nur eine Seite länger, ist die Figur verzerrt.

BeispielVergrößern und Verkleinern

Das Rechteck wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Wie viele Kästchen hat das große Rechteck? Wie oft passt das kleine hinein?

Schritt für Schritt

Klein: 4 · 1 = 4 Kästchen. Groß: 8 · 2 = 16 Kästchen.
16 : 4 = 4

Klein: 4 · 1 = 4 Kästchen. Groß: 8 · 2 = 16 Kästchen.
16 : 4 = 4

Ergebnis:

16 Kästchen, 4-mal

AchtungNur eine Seite vergrößert

So nicht

Rechteck 4 mal 2 Kästchen, Faktor 3 → 12 mal 2 Kästchen

So richtig

Rechteck 4 mal 2 Kästchen, Faktor 3 → 12 mal 6 Kästchen

Alle Seiten mit derselben Zahl malnehmen. Sonst ist die Figur verzerrt.

ÜbenJetzt du

○19
Can soll das Rechteck mit dem Faktor 2 vergrößern und macht nur die untere Seite doppelt so lang. Ist das eine Vergrößerung?
So fängst du an:
Beim Vergrößern werden ALLE Seiten mit derselben Zahl malgenommen.
Lösung zeigen
1. Beim Vergrößern werden ALLE Seiten mit derselben Zahl malgenommen.
2. Can hat nur eine Seite verändert: Das Rechteck ist verzerrt.
3. Richtig wären 4 und 2 Kästchen.
Ergebnis:
Nein, die Figur ist verzerrt
●20
Das Rechteck wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Wie viele Kästchen hat das große Rechteck? Wie oft passt das kleine hinein?
Lösung zeigen
1. Klein: 2 · 4 = 8 Kästchen. Groß: 6 · 12 = 72 Kästchen.
2. 72 : 8 = 9
Ergebnis:
72 Kästchen, 9-mal
★21
Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor 2. Wie lang werden die Seiten, in Kästchen?
Lösung zeigen
1. Beim Vergrößern werden alle Längen mit derselben Zahl malgenommen.
2. 2 · 2 = 4 und 4 · 2 = 8
Ergebnis:
4 und 8 Kästchen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●22
Lina hat eine Figur aus fünf Kästchen ausgeschnitten und neu gelegt. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
Lösung zeigen
1. Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
2. Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
3. Also: gespiegelt.
Ergebnis:
gespiegelt
●23
Welche Figur ist durch Drehen aus Figur A entstanden: B, C oder D?
Lösung zeigen
1. Gesucht: nicht seitenverkehrt, aber in anderer Richtung.
2. B ist gedreht, C ist verschoben, D ist gespiegelt.
3. Also B.
Ergebnis:
B
●24
Der Punkt A wurde um 3 nach links und 1 nach oben verschoben. Sein Bildpunkt ist A'(4 | 6). Wo lag A vorher?
Lösung zeigen
1. Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
2. 4 + 3 = 7 und 6 − 1 = 5
3. Vorher: A(7 | 5)
Ergebnis:
A(7 | 5)
●25
Der Punkt A(2 | 1) wird auf A'(10 | 0) verschoben. Um wie viele Kästchen in welche Richtung?
Lösung zeigen
1. Waagerecht: von 2 nach 10, 8 Kästchen.
2. Senkrecht: von 1 nach 0, ein Kästchen.
3. Verschiebung: 8 nach rechts und 1 nach unten
Ergebnis:
8 nach rechts und 1 nach unten
●26
Spiegle P(3 | 5) an der roten Achse s. Wo liegt P'?
Lösung zeigen
1. P liegt 1 Kästchen links von s.
2. P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
3. P': P'(5 | 5)
Ergebnis:
P'(5 | 5)
●27
Drehe P(6 | 2) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(5 | 4). Wo liegt P'?
Lösung zeigen
1. Weg von Z nach P: 1 nach rechts und 2 nach unten.
2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 2 nach rechts und 1 nach oben.
3. P': P'(7 | 5)
Ergebnis:
P'(7 | 5)

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Verschoben, gespiegelt, gedreht: Nur beim Spiegeln wird eine Figur seitenverkehrt.
Verschiebung: Beim Verschieben geht jeder Punkt der Figur denselben Weg.
Spiegelachse: Punkt und Bildpunkt sind gleich weit von der Achse entfernt.
Vierteldrehung und halbe Drehung: Bei einer halben Drehung um 180° kehrt sich jeder Weg vom Zentrum um.
Drehsymmetrie: Drehsymmetrisch heißt: Nach einer Teildrehung liegt die Figur wieder auf sich.
Bandornament: Ein Bandornament wiederholt ein Muster immer im gleichen Abstand.
Vergrößern und verkleinern: Beim Vergrößern werden alle Seiten mit derselben Zahl malgenommen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich erkenne, ob eine Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht wurde.
28
Elias sagt: „Die blaue Figur ist gedreht.“ Stimmt das? Begründe mit dem Umlaufsinn.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, verschoben
Ich nutze die Eigenschaften der Spiegelung.
29
Ein Punkt P ist 5 cm von der Spiegelachse entfernt. Wie weit sind P und sein Bildpunkt P' voneinander entfernt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 cm
Ich erkenne drehsymmetrische Figuren und bestimme den kleinsten Drehwinkel.
30
Um welchen kleinsten Winkel musst du das Windrad um seine Mitte drehen, damit es wieder genau auf sich selbst liegt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
60°
Ich setze Bandornamente fort und untersuche sie.
31
Das Band setzt sich immer gleich fort. Welche Form steht an der 28. Stelle?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Quadrat

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Nur das Spiegeln macht eine Figur seitenverkehrt; Verschieben und Drehen nicht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Muster auf Tapeten und Stoffen, Windräder, Spiegelschrift, Bilder vergrößern. Beruf: Textildesign, Fliesenleger, Grafik und Werbung.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel

Darauf baut auf: Symmetrie und Abbildungen

Lösungen

verschoben
gespiegelt
gedreht
P(4 | 7)
B'(2 | 5)
B'(8 | 1)
16 cm
P'(1 | 1)
wahr
P'(6 | 2)
P'(9 | 7)
P'(3 | 7)
3-mal
90°
12 Zacken
7 Dreiecke
3 Formen
11 Rauten
Nein, die Figur ist verzerrt
72 Kästchen, 9-mal
4 und 8 Kästchen
gespiegelt
B
A(7 | 5)
8 nach rechts und 1 nach unten
P'(5 | 5)
P'(7 | 5)
Nein, verschoben
10 cm
60°
Quadrat
x = 4 nach rechts, y = 7 nach oben
D(2 | 6)