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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Verschieben, Spiegeln, Drehen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Schreib ein großes F auf ein Blatt. Leg es einmal auf den Kopf und halte es einmal vor einen Spiegel. Beide Bilder sehen andersherum aus. Sind sie gleich? Begründe so, dass niemand widersprechen kann.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Viele entscheiden nach Gefühl. Das auf dem Kopf stehende F nennen sie gespiegelt, obwohl es gedreht ist. Beim Begründen fehlen die Worte. Stell dir vor, du schneidest das F aus. Passt es ohne Umdrehen auf das Bild, ist es verschoben oder gedreht. Musst du es umdrehen, ist es gespiegelt.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Punkt im Gitter hat zuerst den Weg nach rechts, dann den Weg nach oben.

  1. ●35
    Zeichne den Punkt P(3 | 5) ins Koordinatensystem. Welcher Wert steht für rechts/links, welcher für oben/unten?
    Lösung zeigen
    1. Erste Zahl = x (waagerecht rechts), zweite = y (senkrecht oben)
    2. 3 nach rechts, 5 nach oben
    Ergebnis:
    x = 3 nach rechts, y = 5 nach oben
  2. ●36
    Drei Ecken eines Rechtecks: A(4 | 2), B(6 | 2), C(6 | 7). Wo liegt D?
    Lösung zeigen
    1. D hat die x-Koordinate von A und die y-Koordinate von C
    2. D(4 | 7)
    Ergebnis:
    D(4 | 7)

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Figur bewegt sich, ihre Form bleibt

Verschieben, Spiegeln und Drehen bewegen eine Figur, ohne sie zu verändern. Jeder Punkt geht dabei nach derselben Vorschrift. Nur das Spiegeln macht die Figur seitenverkehrt, und nur das Vergrößern ändert die Größe.

WeiterdenkenDenk nach

Ein Buchstabe F wird einmal gedreht und einmal gespiegelt. Woran erkennst du ohne Nachmessen, welches Bild gespiegelt ist?

1Ich erkenne, ob eine Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht wurde.

EntdeckenFrage

Warum sieht ein Windrad nach einer Drittelrunde genauso aus wie vorher?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Windrad mit drei gleichen Flügeln passt nach einer Drehung um 120° wieder genau auf sich selbst. 360° geteilt durch 3 ergibt 120°. Deshalb nennt man es drehsymmetrisch mit dem kleinsten Drehwinkel 120°.

MerkenVerschoben, gespiegelt, gedreht

Nur beim Spiegeln wird eine Figur seitenverkehrt.

Beim Verschieben und Drehen passt das ausgeschnittene Bild ohne Umdrehen auf das Original.

BeispielVerschoben, gespiegelt oder gedreht?

Noah sagt: „Die blaue Figur ist gedreht.“ Stimmt das? Begründe mit dem Umlaufsinn.
OriginalBild
Schritt für Schritt
  1. Seitenverkehrt heißt gespiegelt, sonst verschoben oder gedreht.
  2. Die Figur zeigt in dieselbe Richtung und ist nicht seitenverkehrt.
  3. Nein, die Figur ist verschoben.
  1. Seitenverkehrt heißt gespiegelt, sonst verschoben oder gedreht.
  2. Die Figur zeigt in dieselbe Richtung und ist nicht seitenverkehrt.
  3. Nein, die Figur ist verschoben.
Ergebnis:
Nein, verschoben

AchtungGedreht und gespiegelt verwechselt

So nicht
Figur F halb herum gedreht → gespiegelt
So richtig
Figur F halb herum gedreht → nicht seitenverkehrt → gedreht

Nur das Spiegeln macht eine Figur seitenverkehrt. In Gedanken ausschneiden: Passt sie ohne Umdrehen?

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die gelbe Figur ist das Original, die blaue das Bild. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
    OriginalBild
    So fängst du an:
    Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
    Lösung zeigen
    1. Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
    2. Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
    3. Also: gespiegelt.
    Ergebnis:
    gespiegelt
  2. ●2
    Lea sagt: „Die blaue Figur ist gespiegelt.“ Stimmt das? Begründe mit dem Umlaufsinn.
    OriginalBild
    Lösung zeigen
    1. Seitenverkehrt heißt gespiegelt, sonst verschoben oder gedreht.
    2. Die Figur ist nicht seitenverkehrt, zeigt aber in eine andere Richtung.
    3. Nein, die Figur ist gedreht.
    Ergebnis:
    Nein, gedreht
  3. ★3
    Aylin hat eine Figur aus fünf Kästchen bewegt. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
    OriginalBild
    Lösung zeigen
    1. Prüfe zuerst: Ist das Bild seitenverkehrt?
    2. Die Figur ist seitenverkehrt: Der Umlaufsinn hat sich umgekehrt.
    3. Also: gespiegelt.
    Ergebnis:
    gespiegelt

2Ich verschiebe Punkte und Figuren im Gitter und beschreibe Verschiebungen.

EntdeckenFrage

Wie können Muster auf alten griechischen Vasen unendlich weitergehen, obwohl die Vase aufhört?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Muster sind Bandornamente: Ein Motiv wird immer um dieselbe Länge verschoben. Wer das Motiv kennt, könnte das Band beliebig weiterzeichnen. Der Mäander auf griechischen Vasen ist ein berühmtes Beispiel.

MerkenVerschiebung

Beim Verschieben geht jeder Punkt der Figur denselben Weg.

Die Figur bleibt gleich groß und zeigt in dieselbe Richtung.

BeispielPunkte und Figuren verschieben

Der Punkt A wurde um 2 nach links und 2 nach oben verschoben. Sein Bildpunkt ist A'(1 | 5). Wo lag A vorher?
0123456789101112345678A'
Schritt für Schritt
  1. Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
  2. 1 + 2 = 3 und 5 − 2 = 3
  3. Vorher: A(3 | 3)
  1. Den Weg rückwärts gehen: jede Richtung umkehren.
  2. 1 + 2 = 3 und 5 − 2 = 3
  3. Vorher: A(3 | 3)
Ergebnis:
A(3 | 3)

AchtungVerschiebung falsch abgezählt

So nicht
B(5 | 1) um 4 nach rechts und 4 nach oben → B'(9 | 1)
So richtig
B(5 | 1) um 4 nach rechts und 4 nach oben → B'(9 | 5)

Erst nach rechts oder links zählen, dann nach oben oder unten. Jeder Punkt geht denselben Weg.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Verschiebe P(4 | 1) um 4 nach rechts und 1 nach oben. Wo liegt der Bildpunkt P'?
    0123456789101112345678P?
    So fängst du an:
    Waagerecht: 4 + 4 = 8
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht: 4 + 4 = 8
    2. Senkrecht: 1 + 1 = 2
    3. Bildpunkt: P'(8 | 2)
    Ergebnis:
    P'(8 | 2)
  2. ●5
    Verschiebe Q(7 | 7) um 1 nach rechts. Wo liegt der Bildpunkt Q'?
    0123456789101112345678Q?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht: 7 + 1 = 8
    2. Senkrecht: 7 + 0 = 7
    3. Bildpunkt: Q'(8 | 7)
    Ergebnis:
    Q'(8 | 7)
  3. ★6
    Verschiebe das Dreieck ABC um 5 nach rechts und 3 nach oben. Gib die Bildpunkte an.
    0123456789101112345678ABC
    Lösung zeigen
    1. Jede Ecke geht denselben Weg: 5 nach rechts, 3 nach oben.
    2. A'(6 | 4), B'(9 | 4), C'(7 | 6)
    Ergebnis:
    A'(6 | 4), B'(9 | 4), C'(7 | 6)

3Ich nutze die Eigenschaften der Spiegelung.

EntdeckenFrage

Warum steht auf manchen Rettungswagen das Wort vorn in Spiegelschrift?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer vor dem Rettungswagen fährt, sieht ihn im Rückspiegel. Der Spiegel spiegelt die Schrift noch einmal, und aus der Spiegelschrift wird wieder lesbare Schrift.

MerkenSpiegelachse

Punkt und Bildpunkt sind gleich weit von der Achse entfernt.

Ihre Verbindung steht senkrecht auf der Achse.

BeispielEigenschaften der Spiegelung

Spiegle P(3 | 3) an der roten Achse s. Wo liegt P'?
0123456789101112345678sP
Schritt für Schritt
  1. P liegt 4 Kästchen links von s.
  2. P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
  3. P': P'(11 | 3)
  1. P liegt 4 Kästchen links von s.
  2. P' liegt genauso weit auf der anderen Seite, auf derselben Höhe.
  3. P': P'(11 | 3)
Ergebnis:
P'(11 | 3)

AchtungAbstand zur Achse nicht verdoppelt

So nicht
P ist 7 cm von der Achse entfernt → P und P' 7 cm auseinander
So richtig
P ist 7 cm von der Achse entfernt → P und P' 2 · 7 cm = 14 cm auseinander

Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite der Achse, genauso weit weg. Der Abstand zwischen Punkt und Bild ist doppelt so groß.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Ein Punkt P ist 3 cm von der Spiegelachse entfernt. Wie weit sind P und sein Bildpunkt P' voneinander entfernt?
    So fängst du an:
    P' ist ebenfalls 3 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    Lösung zeigen
    1. P' ist ebenfalls 3 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    2. 3 cm + 3 cm = 6 cm
    Ergebnis:
    6 cm
  2. ●8
    Stimmt die Aussage? Begründe.
    „Beim Spiegeln bleibt der Umlaufsinn gleich.“
    Lösung zeigen
    1. Denk an Original, Achse und Bild.
    2. Der Umlaufsinn kehrt sich um: Aus links herum wird rechts herum.
    Ergebnis:
    falsch
  3. ★9
    Ein Punkt P ist 9 cm von der Spiegelachse entfernt. Wie weit sind P und sein Bildpunkt P' voneinander entfernt?
    Lösung zeigen
    1. P' ist ebenfalls 9 cm von der Achse entfernt, auf der anderen Seite.
    2. 9 cm + 9 cm = 18 cm
    Ergebnis:
    18 cm

4Ich drehe Punkte um 90° und 180° um ein Zentrum.

EntdeckenFrage

Warum passt das Bild einer Figur nach dem Drehen ohne Umdrehen auf das Original, nach dem Spiegeln aber nicht?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Beim Drehen bleibt der Umlaufsinn gleich: Wer die Ecken im Uhrzeigersinn abläuft, tut das auch im Bild. Beim Spiegeln kehrt er sich um. Deshalb muss man ein gespiegeltes Bild erst umdrehen, bevor es passt.

MerkenVierteldrehung und halbe Drehung

Bei einer halben Drehung um 180° kehrt sich jeder Weg vom Zentrum um.

Bei einer Vierteldrehung um 90° werden die beiden Wege getauscht, und einer ändert die Richtung.

BeispielDrehen um 90° und 180°

Drehe P(2 | 1) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(5 | 4). Wo liegt P'?
01234567891012345678ZP
Schritt für Schritt
  1. Weg von Z nach P: 3 nach links und 3 nach unten.
  2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 3 nach rechts und 3 nach unten.
  3. P': P'(8 | 1)
  1. Weg von Z nach P: 3 nach links und 3 nach unten.
  2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 3 nach rechts und 3 nach unten.
  3. P': P'(8 | 1)
Ergebnis:
P'(8 | 1)

AchtungDrehrichtung vertauscht

So nicht
P(8 | 3) um Z(6 | 5) um 180° → P'(8 | 7)
So richtig
P(8 | 3) um Z(6 | 5) um 180°: 2 rechts, 2 unten wird 2 links, 2 oben → P'(4 | 7)

Im Uhrzeigersinn heißt: wie die Zeiger einer Uhr. Die Wege vom Zentrum tauschen, einer ändert die Richtung.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Drehe P(8 | 3) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(6 | 5). Wo liegt P'?
    01234567891012345678ZP
    So fängst du an:
    Weg von Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten.
    Lösung zeigen
    1. Weg von Z nach P: 2 nach rechts und 2 nach unten.
    2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 2 nach rechts und 2 nach oben.
    3. P': P'(8 | 7)
    Ergebnis:
    P'(8 | 7)
  2. ●11
    Drehe P(8 | 7) um 180° um das Zentrum Z(5 | 4). Wo liegt P'?
    01234567891012345678ZP
    Lösung zeigen
    1. Weg von Z nach P: 3 nach rechts und 3 nach oben.
    2. Um 180° gedreht: jede Richtung umkehren, 3 nach links und 3 nach unten.
    3. P': P'(2 | 1)
    Ergebnis:
    P'(2 | 1)
  3. ★12
    Drehe P(5 | 2) um 90° im Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(4 | 3). Wo liegt P'?
    01234567891012345678ZP
    Lösung zeigen
    1. Weg von Z nach P: 1 nach rechts und 1 nach unten.
    2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 1 nach links und 1 nach unten.
    3. P': P'(3 | 2)
    Ergebnis:
    P'(3 | 2)

5Ich erkenne drehsymmetrische Figuren und bestimme den kleinsten Drehwinkel.

EntdeckenFrage

Wie hat der Künstler M. C. Escher Fische und Vögel gezeichnet, die sich endlos wiederholen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Escher verschob, drehte und spiegelte eine Grundfigur so, dass keine Lücke entstand. Jede Kopie ist gleich groß wie das Original. Seine Studien zeigen, wie viel Kunst in den drei einfachen Bewegungen steckt.

MerkenDrehsymmetrie

Drehsymmetrisch heißt: Nach einer Teildrehung liegt die Figur wieder auf sich.

Der kleinste Drehwinkel ist 360° geteilt durch die Zahl der gleichen Teile.

BeispielDrehsymmetrie und kleinster Drehwinkel

Um welchen kleinsten Winkel musst du das Windrad um seine Mitte drehen, damit es wieder genau auf sich selbst liegt?
Schritt für Schritt
  1. Das Windrad hat 3 gleiche Flügel.
  2. Eine volle Drehung sind 360°: 360° : 3 = 120°
  1. Das Windrad hat 3 gleiche Flügel.
  2. Eine volle Drehung sind 360°: 360° : 3 = 120°
Ergebnis:
120°

AchtungDrehwinkel mit der Zahl der Teile verwechselt

So nicht
Stern mit 6 gleichen Zacken → kleinster Drehwinkel 6°
So richtig
Stern mit 6 gleichen Zacken → 360° : 6 = 60°

Der kleinste Drehwinkel ist 360° geteilt durch die Zahl der gleichen Teile, nicht die Zahl selbst.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Das Bild zeigt ein Vieleck mit 4 gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Um welchen kleinsten Winkel kannst du es um seine Mitte drehen, damit es wieder auf sich liegt?
    So fängst du an:
    Es passt nach jeder Ecke wieder: 4 Lagen.
    Lösung zeigen
    1. Es passt nach jeder Ecke wieder: 4 Lagen.
    2. 360° : 4 = 90°
    Ergebnis:
    90°
  2. ●14
    Wie oft liegt das Windrad bei einer vollen Drehung um seine Mitte genau auf sich selbst?
    Lösung zeigen
    1. Nach jedem Flügel passt es wieder: 4 Flügel.
    2. Also 4-mal, die Ausgangslage mitgezählt.
    Ergebnis:
    4-mal
  3. ★15
    Das Bild zeigt ein Vieleck mit 5 gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Um welchen kleinsten Winkel kannst du es um seine Mitte drehen, damit es wieder auf sich liegt?
    Lösung zeigen
    1. Es passt nach jeder Ecke wieder: 5 Lagen.
    2. 360° : 5 = 72°
    Ergebnis:
    72°

6Ich setze Bandornamente fort und untersuche sie.

EntdeckenFrage

Wie vergrößert man ein Bild auf Kästchenpapier, damit es nicht verzerrt wird?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man nimmt alle Längen mit derselben Zahl mal. Wird ein Rechteck von 4 mal 2 Kästchen mit 3 vergrößert, wird es 12 mal 6 Kästchen groß. Die Fläche wächst dabei neunmal, nicht dreimal.

MerkenBandornament

Ein Bandornament wiederholt ein Muster immer im gleichen Abstand.

Wer die Länge des Musters kennt, findet jede Stelle mit Teilen und Rest.

BeispielBandornamente fortsetzen

Wie viele Dreiecke sind unter den ersten 14 Formen des Bandes?
…
Schritt für Schritt
  1. Ein Muster hat 2 Formen, darunter 1 Dreieck.
  2. 14 : 2 = 7: 7 volle Muster.
  3. 7 · 1 + 0 = 7
  1. Ein Muster hat 2 Formen, darunter 1 Dreieck.
  2. 14 : 2 = 7: 7 volle Muster.
  3. 7 · 1 + 0 = 7
Ergebnis:
7 Dreiecke

AchtungStelle im Band falsch gezählt

So nicht
Muster Kreis, Quadrat, Dreieck; Stelle 10 → 10 : 3 = 3, also Dreieck
So richtig
Muster Kreis, Quadrat, Dreieck; Stelle 10 → 10 : 3 = 3 Rest 1 → Kreis

Die Länge des Musters bestimmen, dann mit Rest teilen. Der Rest sagt, welche Form an der Stelle steht.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Das Band setzt sich immer gleich fort. Welche Form steht an der 22. Stelle?
    …
    So fängst du an:
    Das Muster wiederholt sich nach 2 Formen.
    Lösung zeigen
    1. Das Muster wiederholt sich nach 2 Formen.
    2. 22 : 2 = 11
    3. Kein Rest: die 2. Form im Muster, ein Kreis.
    Ergebnis:
    Kreis
  2. ●17
    Das Band setzt sich immer gleich fort. Welche Form steht an der 39. Stelle?
    …
    Lösung zeigen
    1. Das Muster wiederholt sich nach 3 Formen.
    2. 39 : 3 = 13
    3. Kein Rest: die 3. Form im Muster, ein Quadrat.
    Ergebnis:
    Quadrat
  3. ★18
    Das Band setzt sich immer gleich fort. Welche Form steht an der 58. Stelle?
    …
    Lösung zeigen
    1. Das Muster wiederholt sich nach 3 Formen.
    2. 58 : 3 = 19 Rest 1
    3. Rest 1: die 1. Form im Muster, ein Kreis.
    Ergebnis:
    Kreis

7Ich vergrößere und verkleinere Figuren im Gitter.

EntdeckenFrage

Ein Pixel-Herz aus 20 Kästchen wird doppelt so groß gezeichnet – sind es dann 40 Kästchen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Doppelt so groß heißt doppelt so breit und doppelt so hoch. Jedes Kästchen wird zu 2 mal 2 = 4 Kästchen. Das große Herz hat 20 · 4 = 80 Kästchen.

MerkenVergrößern und verkleinern

Beim Vergrößern werden alle Seiten mit derselben Zahl malgenommen.

Wird nur eine Seite länger, ist die Figur verzerrt.

BeispielVergrößern und Verkleinern

Das Rechteck wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Wie viele Kästchen hat das große Rechteck? Wie oft passt das kleine hinein?
32
Schritt für Schritt
  1. Klein: 3 · 2 = 6 Kästchen. Groß: 6 · 4 = 24 Kästchen.
  2. 24 : 6 = 4
  1. Klein: 3 · 2 = 6 Kästchen. Groß: 6 · 4 = 24 Kästchen.
  2. 24 : 6 = 4
Ergebnis:
24 Kästchen, 4-mal

AchtungNur eine Seite vergrößert

So nicht
Rechteck 4 mal 2 Kästchen, Faktor 3 → 12 mal 2 Kästchen
So richtig
Rechteck 4 mal 2 Kästchen, Faktor 3 → 12 mal 6 Kästchen

Alle Seiten mit derselben Zahl malnehmen. Sonst ist die Figur verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor 2. Wie lang werden die Seiten, in Kästchen?
    21
    So fängst du an:
    Beim Vergrößern werden alle Längen mit derselben Zahl malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. Beim Vergrößern werden alle Längen mit derselben Zahl malgenommen.
    2. 2 · 2 = 4 und 1 · 2 = 2
    Ergebnis:
    4 und 2 Kästchen
  2. ●20
    Zeynep soll das Rechteck mit dem Faktor 2 vergrößern und macht nur die untere Seite doppelt so lang. Ist das eine Vergrößerung?
    21
    Lösung zeigen
    1. Beim Vergrößern werden ALLE Seiten mit derselben Zahl malgenommen.
    2. Zeynep hat nur eine Seite verändert: Das Rechteck ist verzerrt.
    3. Richtig wären 4 und 2 Kästchen.
    Ergebnis:
    Nein, die Figur ist verzerrt
  3. ★21
    Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor 4. Wie lang werden die Seiten, in Kästchen?
    43
    Lösung zeigen
    1. Beim Vergrößern werden alle Längen mit derselben Zahl malgenommen.
    2. 4 · 4 = 16 und 3 · 4 = 12
    Ergebnis:
    16 und 12 Kästchen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●22
    Elias sagt: „Die blaue Figur ist gespiegelt.“ Stimmt das? Begründe mit dem Umlaufsinn.
    OriginalBild
    Lösung zeigen
    1. Seitenverkehrt heißt gespiegelt, sonst verschoben oder gedreht.
    2. Die Figur ist nicht seitenverkehrt, zeigt aber in eine andere Richtung.
    3. Nein, die Figur ist gedreht.
    Ergebnis:
    Nein, gedreht
  2. ●23
    Ben hat Figur A bewegt. Welche Figur ist durch Spiegeln entstanden: B, C oder D?
    ABCD
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist die seitenverkehrte Figur.
    2. B ist gespiegelt, C ist verschoben, D ist gedreht.
    3. Also B.
    Ergebnis:
    B
  3. ●24
    Verschiebe A(3 | 1) um 2 nach rechts. Wo liegt der Bildpunkt A'?
    0123456789101112345678A?
    Lösung zeigen
    1. Waagerecht: 3 + 2 = 5
    2. Senkrecht: 1 + 0 = 1
    3. Bildpunkt: A'(5 | 1)
    Ergebnis:
    A'(5 | 1)
  4. ●25
    Die gelbe Figur wurde auf die blaue verschoben. Beschreibe die Verschiebung: wie viele Kästchen nach rechts oder links, nach oben oder unten?
    Lösung zeigen
    1. Eine markierte Ecke im Original und im Bild suchen.
    2. Waagerecht: 6 Kästchen, senkrecht: 1 Kästchen.
    3. Verschiebung: 6 nach rechts und 1 nach unten
    Ergebnis:
    6 nach rechts und 1 nach unten
  5. ●26
    Drehe P(5 | 6) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um das Zentrum Z(5 | 3). Wo liegt P'?
    01234567891012345678ZP
    Lösung zeigen
    1. Weg von Z nach P: 3 nach oben.
    2. Um 90° gedreht: die Wege tauschen, einer dreht sich um: 3 nach links.
    3. P': P'(2 | 3)
    Ergebnis:
    P'(2 | 3)
  6. ●27
    Das Bild zeigt ein Vieleck mit 3 gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Um welchen kleinsten Winkel kannst du es um seine Mitte drehen, damit es wieder auf sich liegt?
    Lösung zeigen
    1. Es passt nach jeder Ecke wieder: 3 Lagen.
    2. 360° : 3 = 120°
    Ergebnis:
    120°

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Verschoben, gespiegelt, gedreht
Nur beim Spiegeln wird eine Figur seitenverkehrt.
Verschiebung
Beim Verschieben geht jeder Punkt der Figur denselben Weg.
Spiegelachse
Punkt und Bildpunkt sind gleich weit von der Achse entfernt.
Vierteldrehung und halbe Drehung
Bei einer halben Drehung um 180° kehrt sich jeder Weg vom Zentrum um.
Drehsymmetrie
Drehsymmetrisch heißt: Nach einer Teildrehung liegt die Figur wieder auf sich.
Bandornament
Ein Bandornament wiederholt ein Muster immer im gleichen Abstand.
Vergrößern und verkleinern
Beim Vergrößern werden alle Seiten mit derselben Zahl malgenommen.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne, ob eine Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht wurde.

    28
    Die gelbe Figur ist das Original, die blaue das Bild. Wurde die gelbe Figur verschoben, gespiegelt oder gedreht, damit die blaue entsteht?
    OriginalBild
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    verschoben

  2. Ich verschiebe Punkte und Figuren im Gitter und beschreibe Verschiebungen.

    29
    Der Punkt B wurde um 4 nach rechts und 2 nach oben verschoben. Sein Bildpunkt ist B'(8 | 3). Wo lag B vorher?
    0123456789101112345678B'
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    B(4 | 1)

  3. Ich nutze die Eigenschaften der Spiegelung.

    30
    Ein Punkt P ist 9 cm von der Spiegelachse entfernt. Wie weit sind P und sein Bildpunkt P' voneinander entfernt?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 cm

  4. Ich drehe Punkte um 90° und 180° um ein Zentrum.

    31
    Drehe P(1 | 2) um 180° um das Zentrum Z(4 | 4). Wo liegt P'?
    01234567891012345678ZP
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    P'(7 | 6)

  5. Ich erkenne drehsymmetrische Figuren und bestimme den kleinsten Drehwinkel.

    32
    Das Bild zeigt ein Vieleck mit 4 gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Um welchen kleinsten Winkel kannst du es um seine Mitte drehen, damit es wieder auf sich liegt?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90°

  6. Ich setze Bandornamente fort und untersuche sie.

    33
    Um wie viele Formen musst du das Band verschieben, damit es wieder genau auf sich selbst passt?
    …
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Formen

  7. Ich vergrößere und verkleinere Figuren im Gitter.

    34
    Das Rechteck wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Wie viele Kästchen hat das große Rechteck? Wie oft passt das kleine hinein?
    23
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Kästchen, 4-mal

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Schreib ein großes F auf ein Blatt. Leg es einmal auf den Kopf und halte es einmal vor einen Spiegel. Beide Bilder sehen andersherum aus. Sind sie gleich? Begründe so, dass niemand widersprechen kann.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Nur das Spiegeln macht eine Figur seitenverkehrt; Verschieben und Drehen nicht.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Muster auf Tapeten und Stoffen, Windräder, Spiegelschrift, Bilder vergrößern. Beruf: Textildesign, Fliesenleger, Grafik und Werbung.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Koordinatensystem und Symmetrie, Winkel

Darauf baut auf: Symmetrie und Abbildungen

Lösungen

  1. gespiegelt
  2. Nein, gedreht
  3. gespiegelt
  4. P'(8 | 2)
  5. Q'(8 | 7)
  6. A'(6 | 4), B'(9 | 4), C'(7 | 6)
  7. 6 cm
  8. falsch
  9. 18 cm
  10. P'(8 | 7)
  11. P'(2 | 1)
  12. P'(3 | 2)
  13. 90°
  14. 4-mal
  15. 72°
  16. Kreis
  17. Quadrat
  18. Kreis
  19. 4 und 2 Kästchen
  20. Nein, die Figur ist verzerrt
  21. 16 und 12 Kästchen
  22. Nein, gedreht
  23. B
  24. A'(5 | 1)
  25. 6 nach rechts und 1 nach unten
  26. P'(2 | 3)
  27. 120°
  28. verschoben
  29. B(4 | 1)
  30. 18 cm
  31. P'(7 | 6)
  32. 90°
  33. 2 Formen
  34. 24 Kästchen, 4-mal
  35. x = 3 nach rechts, y = 5 nach oben
  36. D(4 | 7)