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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Brüche und Dezimalzahlen vernetzen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die Stimmen gehen auseinander. Viele halten jedes Malnehmen für größer und jedes Teilen für kleiner, und bei 36 : 0,5 streiten sich die Gruppen. Rechnen dauert zu lange. Ihr braucht nur eine Frage: Ist die zweite Zahl größer oder kleiner als 1? Mal etwas unter 1 nimmt nur einen Teil, geteilt durch etwas unter 1 passt öfter hinein.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Ein Bruch ist ein Anteil und zugleich eine Zahl – derselbe Wert wie eine Dezimalzahl.

  1. ●39
    Welcher Bruch ist größer: 58 oder 56? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Gleichnamig machen: 3048 und 4048
    2. 58 < 56
    Ergebnis:
    58 < 56
  2. ●40
    Berechne 23 von 60 l.
    Lösung zeigen
    1. 60 : 3 = 20
    2. 20 · 2 = 40
    Ergebnis:
    40 l

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenMal heißt nehmen, nicht vermehren

Mal einer Zahl heißt: so viel davon nehmen. 0,8 · 24 nimmt nur einen Teil von 24, 1,5 · 24 mehr als 24. Geteilt fragt, wie oft etwas hineinpasst – 0,5 passt öfter in 24 als 1.

Zahlenstrahl: 0,8 mal 24 liegt links von 24, 1,5 mal 24 rechts davon0816243240240,8 · 241,5 · 24Mal weniger als 1 nimmt nur einen Teil

WeiterdenkenDenk nach

Kann ein Produkt kleiner sein als beide Zahlen, die man malnimmt? Wann passiert das, und warum?

1Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner für 1 : 3 nie ein genaues Ergebnis?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Division nie aufgeht: Es bleibt immer ein Rest von 1, und die 3 wiederholt sich ohne Ende. Der Rechner hat nur acht bis zehn Stellen und schneidet ab. Wer danach mal 3 rechnet, sieht auf einfachen Rechnern 0,9999999 statt 1.

MerkenMalnehmen macht nicht immer größer

Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.

Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 wird es größer. Erst vorhersagen, dann rechnen.

BeispielGrößer oder kleiner? Vorhersagen vor dem Rechnen

Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 16 : 25 mehr oder weniger als 16?
Schritt für Schritt
  1. 25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 16-mal in 16: größer.
  2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 16 · 52 = 40
  1. 25 ist kleiner als 1. 25 passt öfter als 16-mal in 16: größer.
  2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 16 · 52 = 40
Ergebnis:
größer: 40

AchtungMalnehmen macht immer größer

So nicht
24 · 0,8 > 24, also 28,8
So richtig
24 · 0,8 < 24, denn 0,8 < 1 → 24 · 0,8 = 19,2

Den Faktor mit 1 vergleichen: Mal einer Zahl kleiner als 1 wird es kleiner, geteilt durch sie größer.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 12 · 35 mehr oder weniger als 12?
    So fängst du an:
    35 ist kleiner als 1. Mal 35 nimmt nur einen Teil von 12: kleiner.
    Lösung zeigen
    1. 35 ist kleiner als 1. Mal 35 nimmt nur einen Teil von 12: kleiner.
    2. Kontrolle: 12 · 35 = 7,2
    Ergebnis:
    kleiner: 7,2
  2. ●2
    Entscheide zuerst, dann rechne: Ist das Ergebnis von 30 : 23 mehr oder weniger als 30?
    Lösung zeigen
    1. 23 ist kleiner als 1. 23 passt öfter als 30-mal in 30: größer.
    2. Kontrolle: mit dem Kehrbruch: 30 · 32 = 45
    Ergebnis:
    größer: 45
  3. ★3
    Ohne zu rechnen: Wird 45 : 0,75 größer oder kleiner als 45? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,75 ist kleiner als 1. 0,75 passt öfter als 45-mal in 45: größer.
    2. Kontrolle: 45 : 0,75 = 60
    Ergebnis:
    größer: 60

2Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

EntdeckenFrage

Warum tauchen bei 1/7, 2/7 und 3/7 immer dieselben sechs Ziffern auf?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

1/7 ist 0,142857…, 2/7 ist 0,285714… und 3/7 ist 0,428571… – dieselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Beim Teilen durch 7 können nur die Reste 1 bis 6 vorkommen, und alle Siebtel laufen durch denselben Kreis von Resten.

MerkenGemischte Zahl

2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.

Reicht der Bruch beim Subtrahieren nicht, tauscht man ein Ganzes in Bruchteile.

BeispielGemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 6 35 − 1 15
6 3/51 1/5
Schritt für Schritt
  1. Ganze: 6 − 1 = 5
  2. Brüche: 35 − 15 gibt 25
  3. Zusammen: 5 25
  1. Ganze: 6 − 1 = 5
  2. Brüche: 35 − 15 gibt 25
  3. Zusammen: 5 25
Ergebnis:
5 25

AchtungBeim Subtrahieren gemischter Zahlen nicht getauscht

So nicht
5 1/4 − 2 3/4 → 3 2/4 (3/4 − 1/4 gerechnet)
So richtig
5 1/4 − 2 3/4 → 4 5/4 − 2 3/4 → 2 2/4 → 2 1/2

Reicht der Bruch nicht, ein Ganzes in Bruchteile tauschen – nicht einfach die Brüche umdrehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 6 12 + 2 14 Kürze, wenn es geht.
    6 1/22 1/4
    So fängst du an:
    Gleicher Nenner 4: 6 24 + 2 14
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 4: 6 24 + 2 14
    2. Ganze: 6 + 2 = 8
    3. Brüche: 24 und 14 geben 3/4.
    4. Zusammen: 8 34
    Ergebnis:
    8 34
  2. ●5
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 5 38 + 1 18 Kürze, wenn es geht.
    5 3/81 1/8
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 5 + 1 = 6
    2. Brüche: 38 und 18 geben 4/8.
    3. Zusammen: 6 12
    Ergebnis:
    6 12
  3. ★6
    Welche gemischte Zahl kommt heraus? 2 13 + 3 45 Kürze, wenn es geht.
    2 1/33 4/5
    Lösung zeigen
    1. Gleicher Nenner 15: 2 515 + 3 1215
    2. Ganze: 2 + 3 = 5
    3. Brüche: 515 und 1215 geben 17/15, das ist 1 Ganzes und 2/15.
    4. Zusammen: 6 215
    Ergebnis:
    6 215

3Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

EntdeckenFrage

Warum ist eine Dreiviertelstunde 45 Minuten und nicht 75 Minuten?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Stunde hat 60 Minuten, nicht 100. 3/4 von 60 Minuten sind 45 Minuten. Genauso sind 1,5 Stunden 90 Minuten und nicht 1 Stunde 50 Minuten – die Zeit rechnet nicht im Zehnersystem.

MerkenAnteil vom Anteil

3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Am Rechteck ist das Ergebnis die doppelt gefärbte Fläche.

BeispielAnteil von einem Anteil

23 eines Gartens sind Beete. Auf 14 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
?
Schritt für Schritt
  1. 14 von 23 heißt 14 · 2/3.
  2. Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
  3. Nenner mal Nenner: 4 · 3 = 12
  4. Kürzen: 212 = 16
  1. 14 von 23 heißt 14 · 2/3.
  2. Zähler mal Zähler: 1 · 2 = 2
  3. Nenner mal Nenner: 4 · 3 = 12
  4. Kürzen: 212 = 16
Ergebnis:
16

AchtungAnteil vom Anteil addiert statt malgenommen

So nicht
3/4 von 2/3 → 3/4 + 2/3 = 17/12
So richtig
3/4 von 2/3 → 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

„Von“ heißt mal: 3/4 von 2/3 ist 3/4 · 2/3. Am Rechteck ist es die doppelt gefärbte Fläche.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    35 eines Gartens sind Beete. Auf 14 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    So fängst du an:
    14 von 35 heißt 14 · 3/5.
    Lösung zeigen
    1. 14 von 35 heißt 14 · 3/5.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 4 · 5 = 20
    4. Also: 320
    Ergebnis:
    320
  2. ●8
    15 eines Gartens sind Beete. Auf 23 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 23 von 15 heißt 23 · 1/5.
    2. Zähler mal Zähler: 2 · 1 = 2
    3. Nenner mal Nenner: 3 · 5 = 15
    4. Also: 215
    Ergebnis:
    215
  3. ★9
    38 eines Gartens sind Beete. Auf 14 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 14 von 38 heißt 14 · 3/8.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 3 = 3
    3. Nenner mal Nenner: 4 · 8 = 32
    4. Also: 332
    Ergebnis:
    332

4Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Achtelnoten passen in einen Takt, der 4/4 heißt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Acht. Ein 4/4-Takt hat vier Viertel, und jedes Viertel sind zwei Achtel. Musiker rechnen dauernd mit Brüchen: Eine halbe Note und zwei Viertel füllen den Takt genauso wie acht Achtel.

MerkenAbbrechend oder periodisch

Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.

Kommen nur 2 und 5 vor, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst wiederholen sich Ziffern ohne Ende: 1/3 ergibt 0,333…

BeispielAbbrechend oder periodisch?

Nur einer dieser Brüche hat eine abbrechende Dezimalzahl: 1/9, 1/2, 415. Welcher ist es?
Schritt für Schritt
  1. 19 → 0,11111…, periodisch
  2. 12 → 0,5, abbrechend
  3. 415 → 0,26666…, periodisch
  1. 19 → 0,11111…, periodisch
  2. 12 → 0,5, abbrechend
  3. 415 → 0,26666…, periodisch
Ergebnis:
12

AchtungNenner nicht gekürzt oder Periode abgeschnitten

So nicht
3/12: Nenner 12 hat den Faktor 3 → periodisch
So richtig
3/12 = 1/4, Nenner 4 = 2 · 2 → abbrechend: 0,25

Erst kürzen, dann den Nenner prüfen. 0,33 ist gerundet und nicht dasselbe wie 1/3.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Bricht die Dezimalzahl zu 56 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
    So fängst du an:
    Nenner 6 in Primfaktoren: 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Nenner 6 in Primfaktoren: 2 · 3
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 5 : 6 → 0,83333…
    Ergebnis:
    periodisch
  2. ●11
    Bricht die Dezimalzahl zu 23 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
    Lösung zeigen
    1. Der Nenner 3 ist eine Primzahl.
    2. Ein anderer Faktor als 2 und 5 steckt darin: periodisch.
    3. Kontrolle: 2 : 3 → 0,66666…
    Ergebnis:
    periodisch
  3. ★12
    Wandle 36 in eine Dezimalzahl um. Bricht sie ab, oder wiederholen sich die Ziffern ohne Ende?
    Lösung zeigen
    1. Erst kürzen: 36 = 12
    2. Der Nenner 2 ist eine Primzahl.
    3. Nur die Faktoren 2 und 5: abbrechend.
    4. Kontrolle: 1 : 2 = 0,5
    Ergebnis:
    abbrechend: 0,5

5Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

EntdeckenFrage

Wie oft kann man ein Blatt Papier in der Mitte falten – und welcher Teil ist dann noch eine Lage?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Jedes Falten nimmt die Hälfte der Hälfte: nach 3 Faltungen 1/8, nach 7 Faltungen 1/128. Die Schülerin Britney Gallivan hat 2002 ein sehr langes Papier zwölfmal gefaltet – dafür brauchte sie über einen Kilometer Papier.

MerkenRechengesetze nutzen

Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.

So wird aus 0,25 · 7 · 4 geschickt 0,25 · 4 · 7 = 7. Gleiche Faktoren klammert man aus: 7 · 1,5 + 3 · 1,5 = 10 · 1,5.

BeispielGeschickt rechnen mit Rechengesetzen

Rechne geschickt: 6,7 + 5,8 + 0,3 + 0,2
Schritt für Schritt
  1. Umordnen: 6,7 + 0,3 + 5,8 + 0,2
  2. 6,7 + 0,3 = 7
  3. 5,8 + 0,2 = 6
  4. 7 + 6 = 13
  1. Umordnen: 6,7 + 0,3 + 5,8 + 0,2
  2. 6,7 + 0,3 = 7
  3. 5,8 + 0,2 = 6
  4. 7 + 6 = 13
Ergebnis:
13

AchtungKomma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Rechne geschickt: 5 · 2,5 + 5 · 2,5
    552,5
    So fängst du an:
    Beide Male wird mit 2,5 malgenommen.
    Lösung zeigen
    1. Beide Male wird mit 2,5 malgenommen.
    2. Erst 5 + 5 = 10
    3. 10 · 2,5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●14
    Rechne geschickt: 4,6 + 3,8 + 0,4 + 0,2
    Lösung zeigen
    1. Umordnen: 4,6 + 0,4 + 3,8 + 0,2
    2. 4,6 + 0,4 = 5
    3. 3,8 + 0,2 = 4
    4. 5 + 4 = 9
    Ergebnis:
    9
  3. ★15
    Rechne geschickt, ohne schriftlich zu multiplizieren: 6,4 · 11
    Lösung zeigen
    1. 11 ist 10 + 1.
    2. 6,4 · 10 = 64
    3. 64 + 6,4 = 70,4
    Ergebnis:
    70,4

6Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

EntdeckenFrage

Wie hat der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 so schnell addiert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat nicht der Reihe nach gerechnet, sondern geschickt zusammengefasst: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter ergeben jedes Mal 101, und das 50-mal. Das sind 5050. Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht – aber die Arbeit.

MerkenDie passende Schreibweise

0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.

Zum Vergleichen wandelt man alles in dieselbe Schreibweise um.

BeispielBruch oder Dezimalzahl: geschickt wählen

Berechne 13 von 4,5 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
Schritt für Schritt
  1. 13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
  2. Mit dem Bruch: 4,5 : 3 · 1 = 1,5
  1. 13 als Dezimalzahl hat Ziffern ohne Ende – ungünstig.
  2. Mit dem Bruch: 4,5 : 3 · 1 = 1,5
Ergebnis:
1,5 kg

AchtungAnteil umgedreht

So nicht
2/5 von 100 = 250
So richtig
2/5 von 100 = 100 : 5 · 2 = 40

Teile durch den Nenner. Nimm dann mal den Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Paket wiegt 4 kg, ein zweites 34 kg. Wie schwer sind beide zusammen?
    So fängst du an:
    34 = 0,75
    Lösung zeigen
    1. 34 = 0,75
    2. Beide als Dezimalzahl – dann Komma unter Komma.
    3. 4 + 0,75 = 4,75
    Ergebnis:
    4,75 kg
  2. ●17
    In einer Kiste liegen 70 Äpfel. Der Anteil der roten Äpfel ist 0,6. Wie viele roten Äpfel sind es? Rechne mit der passenden Schreibweise.
    Lösung zeigen
    1. 0,6 ist dasselbe wie 3/5.
    2. 35 von 70: 70 : 5 · 3 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★18
    Berechne 0,25 + 23 und gib das Ergebnis genau an.
    Lösung zeigen
    1. 23 hat als Dezimalzahl Ziffern ohne Ende – also mit Brüchen rechnen.
    2. 0,25 ist 1/4.
    3. Gleicher Nenner 12: 312 + 812 gibt 1112
    4. Ergebnis: 1112
    Ergebnis:
    1112

7Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

EntdeckenFrage

Warum stehen an der Tankstelle Preise wie 1,799 Euro – mit drei Stellen nach dem Komma?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Kraftstoffpreise werden in Deutschland in Zehntelcent angegeben. Erst beim Bezahlen wird auf ganze Cent gerundet. Wer 40 Liter tankt, merkt den Unterschied von 0,001 Euro je Liter kaum – bei Millionen Litern macht er viel Geld aus.

MerkenÜberschlag und Kommaregel

Erst grob rechnen, dann genau.

So ist 3,8 · 2,45 ungefähr 4 · 2 = 8. Beim Malnehmen hat das Ergebnis so viele Nachkommastellen wie beide Zahlen zusammen.

BeispielKomma setzen mit Überschlag und Kommaregel

Das Ergebnis von 31 : 0,5 hat die Ziffern 62. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 31 : 0,5 = 62
  2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 62.
  3. Also: 62
  1. Überschlag: 31 : 0,5 = 62
  2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 62.
  3. Also: 62
Ergebnis:
62

Achtung„Teilen macht kleiner“ – auch durch Zahlen unter 1

So nicht
3 : 0,5 = 1,5
So richtig
3 : 0,5 = 6

Frag dich: Wie oft passt die Zahl hinein? Bei Zahlen unter 1 öfter als einmal.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 5,1 · 4,6 ergibt die Ziffern 2346. Setze das Komma richtig.
    So fängst du an:
    Überschlag: 5 · 5 = 25
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 5 · 5 = 25
    2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
    3. 2346 mit 2 Stellen nach dem Komma: 23,46
    Ergebnis:
    23,46
  2. ●20
    Beim Abschreiben ist das Komma verloren gegangen: 3,1 · 2,1 ergibt die Ziffern 651. Setze das Komma richtig.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 3 · 2 = 6
    2. Kommaregel: eine Stelle und eine Stelle nach dem Komma, zusammen 2 Stellen.
    3. 651 mit 2 Stellen nach dem Komma: 6,51
    Ergebnis:
    6,51
  3. ★21
    Das Ergebnis von 3,68 : 0,8 hat die Ziffern 46. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 4 : 0,8 = 5
    2. Das Ergebnis liegt in der Nähe von 5.
    3. Also: 4,6
    Ergebnis:
    4,6

8Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Wie viele Kilometer fehlen einer Marathonläuferin noch, wenn sie drei Viertel der Strecke geschafft hat?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ein Marathon ist 42,195 km lang. Drei Viertel davon sind 42,195 · 3 : 4 = 31,646 km, gerundet. Es fehlen 42,195 − 31,646 = 10,549 km, also gut 10,5 km. Schneller geht es mit dem fehlenden Viertel: 42,195 : 4.

MerkenRechenplan für Sachaufgaben

Erst klären, was gesucht ist.

Dann einen Plan in Schritten machen: Was rechne ich zuerst, was danach? Am Ende mit einem Überschlag prüfen und einen Antwortsatz schreiben.

BeispielMehrschrittige Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen

Für 2 Personen braucht man 12 kg Kartoffeln. Es kochen aber 5 Personen. 1 kg Kartoffeln kostet 2,40 €. Was kosten die Kartoffeln?
Schritt für Schritt
  1. Plan: erst die Menge für 5 Personen, dann der Preis.
  2. 12 kg sind 0,5 kg.
  3. 0,5 : 2 · 5 = 1,25
  4. 1,25 · 2,4 = 3
  1. Plan: erst die Menge für 5 Personen, dann der Preis.
  2. 12 kg sind 0,5 kg.
  3. 0,5 : 2 · 5 = 1,25
  4. 1,25 · 2,4 = 3
Ergebnis:
3,00 €

AchtungNoch einmal: Komma nach Gefühl gesetzt

So nicht
3,8 · 2,45 → 93,1 (Komma nach Gefühl)
So richtig
3,8 · 2,45 ≈ 4 · 2 = 8 → 9,31

Erst überschlagen, dann die Stellen nach dem Komma zählen. Beide müssen zum Ergebnis passen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ein Aquarium fasst 60 Liter. Es ist zu 34 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2,5 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    So fängst du an:
    Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 34 von 60: 60 : 4 · 3 = 45
    3. Es fehlen 60 − 45 = 15
    4. 15 : 2,5 = 6
    Ergebnis:
    6 Eimer
  2. ●23
    Für einen Vorhang braucht Frau Lang 2 34 m Stoff. 1 m kostet 7,00 €. Sie bezahlt mit einem 20-€-Schein. Wie viel Geld bekommt sie zurück?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst den Preis für den Stoff, dann das Rückgeld.
    2. 2 34 m sind 2,75 m.
    3. 7 · 2,75 = 19,25
    4. 20 − 19,25 = 0,75
    Ergebnis:
    0,75 €
  3. ★24
    Ein Aquarium fasst 80 Liter. Es ist zu 25 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 4 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    1. Plan: erst was drin ist, dann was fehlt, dann die Eimer.
    2. 25 von 80: 80 : 5 · 2 = 32
    3. Es fehlen 80 − 32 = 48
    4. 48 : 4 = 12
    Ergebnis:
    12 Eimer

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ohne zu rechnen: Wird 30 · 0,25 größer oder kleiner als 30? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    1. 0,25 ist kleiner als 1. Mal 0,25 nimmt nur einen Teil von 30: kleiner.
    2. Kontrolle: 30 · 0,25 = 7,5
    Ergebnis:
    kleiner: 7,5
  2. ●26
    Ein Band ist 2 m lang und wird in Stücke von 0,25 m geschnitten. Mehr oder weniger als 2 Stücke? Wie viele genau?
    Lösung zeigen
    1. Ein Stück ist kürzer als 1 m, also passen mehr als 2 Stücke hinein.
    2. 2 : 0,25 = 8
    Ergebnis:
    mehr: 8 Stücke
  3. ●27
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 5 45 − 1 15
    5 4/51 1/5
    Lösung zeigen
    1. Ganze: 5 − 1 = 4
    2. Brüche: 45 − 15 gibt 35
    3. Zusammen: 4 35
    Ergebnis:
    4 35
  4. ●28
    Ein Brett ist 5 23 m lang. Tom sägt ein Stück von 2 16 m ab. Wie lang ist das Reststück?
    5 2/32 1/6
    Lösung zeigen
    1. Rechnung: 5 23 − 2 16
    2. Gleicher Nenner 6: 5 46 − 2 16
    3. Ganze: 5 − 2 = 3
    4. Brüche: 46 − 16 gibt 36
    5. Zusammen: 3 12
    Ergebnis:
    3 12 m
  5. ●29
    15 eines Gartens sind Beete. Auf 12 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    1. 12 von 15 heißt 12 · 1/5.
    2. Zähler mal Zähler: 1 · 1 = 1
    3. Nenner mal Nenner: 2 · 5 = 10
    4. Also: 110
    Ergebnis:
    110
  6. ●30
    Zähle die Kästchen: Wie viele hat das Rechteck, wie viele sind grün? Schreibe den grünen Anteil als Bruch.
    Lösung zeigen
    1. Blau: 2 von 5 Zeilen, das sind 2/5.
    2. Grün: 2 von 3 Spalten der blauen Fläche, also 23 von 2/5.
    3. Kästchen: 5 · 3 = 15, davon grün 2 · 2 = 4
    4. Also: 23 · 25 ergibt 415
    Ergebnis:
    415

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Malnehmen macht nicht immer größer
Mal einer Zahl kleiner als 1 wird das Ergebnis kleiner.
Gemischte Zahl
2 3/4 heißt 2 Ganze und 3/4. Man rechnet Ganze und Brüche getrennt.
Anteil vom Anteil
3/4 von 2/3 heißt 3/4 · 2/3. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Abbrechend oder periodisch
Man kürzt und zerlegt den Nenner in Primfaktoren.
Rechengesetze nutzen
Vertauschen und Zusammenfassen ändern das Ergebnis nicht.
Die passende Schreibweise
0,75 · 36 rechnet man leichter als 3/4 von 36. Drittel und Sechstel bleiben besser Brüche.
Überschlag und Kommaregel
Erst grob rechnen, dann genau.
Rechenplan für Sachaufgaben
Erst klären, was gesucht ist.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich sage vorher, ob Malnehmen oder Teilen mit einem Bruch oder einer Dezimalzahl das Ergebnis größer oder kleiner macht.

    31
    Ohne zu rechnen: Wird 36 · 35 größer oder kleiner als 36? Rechne danach zur Kontrolle.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    kleiner: 21,6

  2. Ich addiere und subtrahiere gemischte Zahlen.

    32
    Rechne Ganze und Brüche getrennt und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl: 2 34 − 58
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 18

  3. Ich berechne den Anteil von einem Anteil und zeige ihn am Rechteck.

    33
    23 eines Gartens sind Beete. Auf 34 der Beetfläche wachsen Tomaten. Welcher Anteil des ganzen Gartens ist mit Tomaten bepflanzt?
    ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  4. Ich unterscheide abbrechende und periodische Dezimalzahlen.

    34
    Bricht die Dezimalzahl zu 1325 ab, oder ist sie periodisch? Entscheide mit dem Nenner, bevor du teilst.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    abbrechend

  5. Ich rechne mit Rechengesetzen geschickt (Vertauschen, Zusammenfassen, Verteilen).

    35
    Welche zwei Zahlen nimmst du zuerst mal? Rechne dann: 4 · 1,3 · 2,5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  6. Ich wähle zwischen Bruch und Dezimalzahl die geschicktere Schreibweise.

    36
    Berechne 13 von 6,9 kg. Rechnest du mit dem Bruch oder mit einer Dezimalzahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,3 kg

  7. Ich prüfe Ergebnisse mit Überschlag und Kommaregel.

    37
    Das Ergebnis von 47 : 0,5 hat die Ziffern 94. Das Komma fehlt noch. Setze es mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  8. Ich löse Sachaufgaben mit mehreren Schritten mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    38
    Ein Aquarium fasst 40 Liter. Es ist zu 34 gefüllt. Tim gießt Wasser mit einem Eimer nach, der 2 Liter fasst. Wie viele Eimer braucht er, bis das Aquarium voll ist?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Eimer

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Entscheide in 30 Sekunden ohne Rechnen: Welche Ergebnisse sind größer als 36? 36 · 1,5, 36 · 0,8, 36 : 0,5, 36 : 4, 36 · 3/4, 36 : 3/4.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Vorhersage vor dem Rechnen: den Faktor mit 1 vergleichen.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Käse nach Gewicht, Rezepte mit Dreiviertelliter, Zeiten wie anderthalb Stunden, Rechnungen prüfen. Beruf: Materialbedarf im Handwerk, Mengen in der Küche, Kassieren und Kontrollieren im Verkauf.

Wörter

Anteil
wie viel von einem Ganzen
Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen, Teilbarkeit und Primzahlen

Darauf baut auf: Prozentrechnung

Lösungen

  1. kleiner: 7,2
  2. größer: 45
  3. größer: 60
  4. 8 34
  5. 6 12
  6. 6 215
  7. 320
  8. 215
  9. 332
  10. periodisch
  11. periodisch
  12. abbrechend: 0,5
  13. 25
  14. 9
  15. 70,4
  16. 4,75 kg
  17. 42
  18. 1112
  19. 23,46
  20. 6,51
  21. 4,6
  22. 6 Eimer
  23. 0,75 €
  24. 12 Eimer
  25. kleiner: 7,5
  26. mehr: 8 Stücke
  27. 4 35
  28. 3 12 m
  29. 110
  30. 415
  31. kleiner: 21,6
  32. 2 18
  33. 12
  34. abbrechend
  35. 13
  36. 2,3 kg
  37. 94
  38. 5 Eimer
  39. 58 < 56
  40. 40 l