Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

Wiederholung: Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche teilen durch 3, andere durch 5 und vergessen das Mal 3, wieder andere ziehen 3/5 ab. Die Wege sind lang und unsicher. Drei Fünftel von 4,8 heißt 4,8 · 3/5 – erst durch 5, dann mal 3 – 2,88 km. Und der Rest ist 4,8 minus das.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDerselbe Anteil, andere Schreibweise

½, 0,5 und 50 % sind dasselbe – dreimal derselbe Anteil, nur anders geschrieben. Welche Schreibweise man nimmt, hängt davon ab, was man damit vorhat.

WeiterdenkenDenk nach

Welche der drei Schreibweisen nimmst du, um ⅓ mit 0,3 zu vergleichen? Warum diese?

1Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Babylonier rechneten im Sechzigersystem – 60 lässt sich durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30 teilen. Brüche einer Stunde bleiben glatt.

MerkenBruch mal Bruch

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Vorher kürzen spart Arbeit. „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 = ¾ · 20.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 13 · 12

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 16
Kürzen mit 1: 16

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 16
Kürzen mit 1: 16

Ergebnis:

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Beim Addieren bleibt der gemeinsame Nenner – nur Zähler werden addiert.

ÜbenJetzt du

○1
Berechne: 23 · 36
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 618
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 618
2. Kürzen mit 6: 13
Ergebnis:
13
●2
Berechne: 12 · 12
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 14
2. Kürzen mit 1: 14
Ergebnis:
14
★3
Ein Beet nimmt 24 des Gartens ein. 36 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 36 · 24.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 624
2. Kürzen mit 6: 14
Ergebnis:
14

2Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner 0,333333 statt einem Drittel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Drittel als Kommazahl nie endet. Der Rechner bricht ab und rundet; als Bruch geschrieben ist derselbe Wert dagegen vollkommen genau.

MerkenMit Dezimalzahlen rechnen

Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.

Multiplizieren: ohne Komma rechnen, dann Nachkommastellen zählen.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,15

Ergebnis:

0,15

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen beider Faktoren zählen.

ÜbenJetzt du

○4
Berechne schriftlich: 1,5 · 4
So fängst du an:
Kommas weglassen: 15 · 4 = 60
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 15 · 4 = 60
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 6
Ergebnis:
6
●5
Berechne schriftlich: 0,3 · 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 6 = 18
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 1,8
Ergebnis:
1,8
★6
Berechne schriftlich: 3,4 · 1,2
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 34 · 12 = 408
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 4,08
Ergebnis:
4,08

3Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

EntdeckenFrage

Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Hälfte teilt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gefragt ist, wie oft die Hälfte hineinpasst – in 3 passt sie sechsmal. Teilen macht nur kleiner, solange der Teiler größer als 1 ist.

MerkenBruch durch Bruch

Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 34 : 37

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 73
= 2112 = 74

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 73
= 2112 = 74

Ergebnis:

AchtungKehrwert beim Teilen vergessen

So nicht

Berechne: 3/4 : 3/7 → 9/28

So richtig

Berechne: 3/4 : 3/7 → 7/4

Tausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○7
Berechne: 12 : 23
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 32
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 32
2. = 34 = 34
Ergebnis:
34
●8
Berechne: 36 : 26
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 36 · 62
2. = 1812 = 32
Ergebnis:
32
★9
Berechne: 37 : 48
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 37 · 84
2. = 2428 = 67
Ergebnis:
67

4Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

EntdeckenFrage

Ein Achtel und ein Sechstel – wie viel ist das zusammen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sieben Vierundzwanzigstel. Erst auf denselben Nenner gebracht heißt es 3/24 und 4/24; vorher lassen sich die beiden Stücke gar nicht zusammenzählen.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenUngleichnamige Brüche

Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.

Der Nenner bleibt.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Jonas läuft 12 km zum Bus und dann 68 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 12 + 68.

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 48 + 68
= 108 = 54

Hauptnenner 8: 48 + 68
= 108 = 54

Ergebnis:

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

1/4 + 1/4 = 2/8

So richtig

1/4 + 1/4 = 2/4

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Für einen Kuchen braucht man 12 kg Mehl und 38 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 12 + 38.
So fängst du an:
Hauptnenner 8: 48 + 38
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 38
2. = 78
Ergebnis:
78
●11
Für einen Kuchen braucht man 12 kg Mehl und 48 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 12 + 48.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 48 + 48
2. = 88 = 11
Ergebnis:
11
★12
Für einen Kuchen braucht man 24 kg Mehl und 49 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 24 + 49.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 36: 1836 + 1636
2. = 3436 = 1718
Ergebnis:
1718

5Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Ein Handballspiel dauert 60 Minuten, ein Fußballspiel 90. Welcher Bruchteil eines Fußballspiels ist ein Handballspiel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Handball dauert zweimal 30 Minuten, Fußball zweimal 45 Minuten. Der Anteil ist 60/90, gekürzt 2/3. Als Dezimalzahl sind das rund 0,67.

MerkenSachaufgabe

Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?

Dann Rechnung, dann Antwortsatz mit Einheit. Überschlag zum Prüfen.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 23 von 30 kg.

Schritt für Schritt

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

30 : 3 = 10
10 · 2 = 20

Ergebnis:

20 kg

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne 58 von 160 €.
So fängst du an:
160 : 8 = 20
Lösung zeigen
1. 160 : 8 = 20
2. 20 · 5 = 100
Ergebnis:
100 €
●14
Berechne 58 von 40 kg.
Lösung zeigen
1. 40 : 8 = 5
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 kg
★15
Berechne 25 von 35 min.
Lösung zeigen
1. 35 : 5 = 7
2. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14 min

6Ich runde und überschlage sinnvoll.

EntdeckenFrage

Drei teilen sich 10 € gerecht. Warum bleibt dabei immer ein Cent übrig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

10 : 3 ergibt 3,333… Euro. Die kleinste Münze ist 1 Cent, also rundet man auf 3,33 €. Dreimal 3,33 € sind 9,99 €, ein Cent bleibt übrig.

MerkenRunden und Überschlagen

Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Überschlag: mit gerundeten Zahlen im Kopf rechnen, um das Ergebnis zu prüfen.

BeispielÜberschlag

Überschlage zuerst, rechne dann genau: 647 + 48

Schritt für Schritt

Überschlag: 600 + 50 = 650
Genau: 695

Überschlag: 600 + 50 = 650
Genau: 695

Ergebnis:

≈ 650, genau 695

ÜbenJetzt du

○16
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 635 + 37
So fängst du an:
Überschlag: 600 + 40 = 640
Lösung zeigen
1. Überschlag: 600 + 40 = 640
2. Genau: 672
Ergebnis:
≈ 640, genau 672
●17
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 615 + 44
Lösung zeigen
1. Überschlag: 600 + 40 = 640
2. Genau: 659
Ergebnis:
≈ 640, genau 659
★18
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 847 · 18
Lösung zeigen
1. Überschlag: 800 · 20 = 16.000
2. Genau: 15.246
Ergebnis:
≈ 16.000, genau 15.246

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
12 der Klasse fahren mit dem Rad. 12 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 12 · 12.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 14
2. Kürzen mit 1: 14
Ergebnis:
14
●20
Berechne schriftlich: 0,5 · 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 3
Ergebnis:
3
●21
Berechne 58 von 40 min.
Lösung zeigen
1. 40 : 8 = 5
2. 5 · 5 = 25
Ergebnis:
25 min
●22
Wie oft passt 47 in 12? Rechne 12 : 47.
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 12 · 74
2. = 78 = 78
Ergebnis:
78
●23
Berechne: 12 + 24
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 4: 24 + 24
2. = 44 = 11
Ergebnis:
11
●24
Ben rechnet 34 + 25 und erhält 5/9. Stimmt das? Finde den Fehler und rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Ben hat die Zähler addiert und die Nenner addiert – das ist der Fehler.
2. Kontrolle: 59 ist kleiner als 3/4. Eine Summe muss größer sein als jeder Summand.
3. Hauptnenner: das kgV von 4 und 5 ist 20.
4. Erweitern: 34 wird 15/20, 25 wird 8/20.
5. 1520 + 820 ergibt 23/20.
Ergebnis:
Nein. Richtig ist 23/20.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch mal Bruch: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Mit Dezimalzahlen rechnen: Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.
Bruch durch Bruch: Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Ungleichnamige Brüche: Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.
Sachaufgabe: Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?
Runden und Überschlagen: Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.
25
45 der Klasse fahren mit dem Rad. 12 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 12 · 45.
Lösung zeigen
Ergebnis:
25
Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.
26
Berechne schriftlich: 1,5 · 0,2
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,3
Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.
27
Wie oft passt 34 in 16? Rechne 16 : 34.
Lösung zeigen
Ergebnis:
29
Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.
28
Tom trinkt 12 Liter Saft, Mia 38 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 12 + 38.
Lösung zeigen
Ergebnis:
78
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
29
Berechne 35 von 50 kg.
Lösung zeigen
Ergebnis:
30 kg
Ich runde und überschlage sinnvoll.
30
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 612 + 35
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 640, genau 647

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Bruchteile von Größen: „von“ heißt mal.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Anteile beim Teilen, Zeitangaben, Rabatte. Beruf: Bau, Küche, Medizin – Bruchteile überall.

Wörter

Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Prozentuale Veränderungen, Zählen und Wahrscheinlichkeit

Lösungen

13
14
14
6
1,8
4,08
34
32
67
78
11
1718
100 €
25 kg
14 min
≈ 640, genau 672
≈ 640, genau 659
≈ 16.000, genau 15.246
14
3
25 min
78
11
Nein. Richtig ist 23/20.
25
0,3
29
78
30 kg
≈ 640, genau 647