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Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

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Wiederholung: Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche teilen durch 3, andere durch 5 und vergessen das Mal 3, wieder andere ziehen 3/5 ab. Die Wege sind lang und unsicher. Drei Fünftel von 4,8 heißt 4,8 · 3/5 – erst durch 5, dann mal 3 – 2,88 km. Und der Rest ist 4,8 minus das.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDerselbe Anteil, andere Schreibweise

½, 0,5 und 50 % sind dasselbe – dreimal derselbe Anteil, nur anders geschrieben. Welche Schreibweise man nimmt, hängt davon ab, was man damit vorhat.

Ein halb gefärbter Streifen: ein Halb, 0,5 und 50 Prozent sind derselbe Anteil½= 0,5= 50 %Derselbe Anteil, dreimal geschrieben

WeiterdenkenDenk nach

Welche der drei Schreibweisen nimmst du, um ⅓ mit 0,3 zu vergleichen? Warum diese?

1Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Babylonier rechneten im Sechzigersystem – 60 lässt sich durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30 teilen. Brüche einer Stunde bleiben glatt.

MerkenBruch mal Bruch

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Vorher kürzen spart Arbeit. „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 = ¾ · 20.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 16 · 12
1/6·1/2
Schritt für Schritt
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 112
  2. Kürzen mit 1: 112
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 112
  2. Kürzen mit 1: 112
Ergebnis:
112

AchtungNenner addiert

So nicht
3/4 + 2/5 = 5/9
So richtig
3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Beim Addieren bleibt der gemeinsame Nenner – nur Zähler werden addiert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Berechne: 12 · 26
    So fängst du an:
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 212
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 212
    2. Kürzen mit 2: 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●2
    Von 35 einer Pizza isst Lea 2/4. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 24 · 35.
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 620
    2. Kürzen mit 2: 310
    Ergebnis:
    310
  3. ★3
    Berechne: 24 · 37
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 628
    2. Kürzen mit 2: 314
    Ergebnis:
    314

2Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner 0,333333 statt einem Drittel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Drittel als Kommazahl nie endet. Der Rechner bricht ab und rundet; als Bruch geschrieben ist derselbe Wert dagegen vollkommen genau.

MerkenMit Dezimalzahlen rechnen

Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.

Multiplizieren: ohne Komma rechnen, dann Nachkommastellen zählen.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2
Schritt für Schritt
  1. Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,48
  1. Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,48
Ergebnis:
0,48

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht
0,3 · 0,4 = 1,2
So richtig
0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen beider Faktoren zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Berechne schriftlich: 0,3 · 0,2
    So fängst du an:
    Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,06
    Ergebnis:
    0,06
  2. ●5
    Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,15
    Ergebnis:
    0,15
  3. ★6
    Berechne schriftlich: 8,65 · 1,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 865 · 12 = 10.380
    2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
    3. Komma 3 Stellen von rechts: 10,38
    Ergebnis:
    10,38

3Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

EntdeckenFrage

Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Hälfte teilt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gefragt ist, wie oft die Hälfte hineinpasst – in 3 passt sie sechsmal. Teilen macht nur kleiner, solange der Teiler größer als 1 ist.

MerkenBruch durch Bruch

Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 17 : 17
1/7:1/7
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 71
  2. = 77 = 1
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 17 · 71
  2. = 77 = 1
Ergebnis:
1

AchtungKehrwert beim Teilen vergessen

So nicht
Berechne: 1/7 : 1/7 → 1/49
So richtig
Berechne: 1/7 : 1/7 → 1

Tausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Berechne: 13 : 45
    So fängst du an:
    Mit dem Kehrwert multiplizieren: 13 · 54
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 13 · 54
    2. = 512 = 512
    Ergebnis:
    512
  2. ●8
    Berechne: 25 : 27
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 25 · 72
    2. = 1410 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★9
    Berechne: 57 : 37
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 57 · 73
    2. = 3521 = 53
    Ergebnis:
    53

4Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

EntdeckenFrage

Ein Achtel und ein Sechstel – wie viel ist das zusammen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sieben Vierundzwanzigstel. Erst auf denselben Nenner gebracht heißt es 3/24 und 4/24; vorher lassen sich die beiden Stücke gar nicht zusammenzählen.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenUngleichnamige Brüche

Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.

Der Nenner bleibt.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Jonas läuft 68 km zum Bus und dann 78 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 68 + 78.
6/8+7/8
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner 8: 68 + 78
  2. = 138
  1. Hauptnenner 8: 68 + 78
  2. = 138
Ergebnis:
138

AchtungNenner mitaddiert

So nicht
Berechne: 2/8 + 3/4 → 5/12
So richtig
Berechne: 2/8 + 3/4 → 1/1

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 28 + 34
    So fängst du an:
    Hauptnenner 8: 28 + 68
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 28 + 68
    2. = 88 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●11
    Berechne: 28 + 48
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 28 + 48
    2. = 68 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Für einen Kuchen braucht man 16 kg Mehl und 78 kg Zucker. Wie viel Kilogramm sind das zusammen? Rechne 16 + 78.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 24: 424 + 2124
    2. = 2524
    Ergebnis:
    2524

5Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Ein Handballspiel dauert 60 Minuten, ein Fußballspiel 90. Welcher Bruchteil eines Fußballspiels ist ein Handballspiel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Handball dauert zweimal 30 Minuten, Fußball zweimal 45 Minuten. Der Anteil ist 60/90, gekürzt 2/3. Als Dezimalzahl sind das rund 0,67.

MerkenSachaufgabe

Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?

Dann Rechnung, dann Antwortsatz mit Einheit. Überschlag zum Prüfen.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 35 von 25 €.
3/5Ganzes: 25 3/5 = ?
Schritt für Schritt
  1. 25 : 5 = 5
  2. 5 · 3 = 15
  1. 25 : 5 = 5
  2. 5 · 3 = 15
Ergebnis:
15 €

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht
3/4 von 20 = 20 : 3/4
So richtig
3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne 58 von 160 min.
    So fängst du an:
    160 : 8 = 20
    Lösung zeigen
    1. 160 : 8 = 20
    2. 20 · 5 = 100
    Ergebnis:
    100 min
  2. ●14
    Berechne 58 von 80 min.
    Lösung zeigen
    1. 80 : 8 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50 min
  3. ★15
    Berechne 35 von 35 l.
    Lösung zeigen
    1. 35 : 5 = 7
    2. 7 · 3 = 21
    Ergebnis:
    21 l

6Ich runde und überschlage sinnvoll.

EntdeckenFrage

Drei teilen sich 10 € gerecht. Warum bleibt dabei immer ein Cent übrig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

10 : 3 ergibt 3,333… Euro. Die kleinste Münze ist 1 Cent, also rundet man auf 3,33 €. Dreimal 3,33 € sind 9,99 €, ein Cent bleibt übrig.

MerkenRunden und Überschlagen

Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Überschlag: mit gerundeten Zahlen im Kopf rechnen, um das Ergebnis zu prüfen.

BeispielÜberschlag

Überschlage zuerst, rechne dann genau: 341 + 54
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 300 + 50 = 350
  2. Genau: 395
  1. Überschlag: 300 + 50 = 350
  2. Genau: 395
Ergebnis:
≈ 350, genau 395

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 469 + 82
    So fängst du an:
    Überschlag: 500 + 80 = 580
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 + 80 = 580
    2. Genau: 551
    Ergebnis:
    ≈ 580, genau 551
  2. ●17
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 755 + 71
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 800 + 70 = 870
    2. Genau: 826
    Ergebnis:
    ≈ 870, genau 826
  3. ★18
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 569 · 96
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 600 · 100 = 60.000
    2. Genau: 54.624
    Ergebnis:
    ≈ 60.000, genau 54.624

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Berechne: 13 · 45
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 415
    2. Kürzen mit 1: 415
    Ergebnis:
    415
  2. ●20
    Berechne 58 von 40 min.
    Lösung zeigen
    1. 40 : 8 = 5
    2. 5 · 5 = 25
    Ergebnis:
    25 min
  3. ●21
    Wie oft passt 25 in 13? Rechne 13 : 25.
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 13 · 52
    2. = 56 = 56
    Ergebnis:
    56
  4. ●22
    Tom trinkt 58 Liter Saft, Mia 14 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 58 + 14.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 58 + 28
    2. = 78
    Ergebnis:
    78
  5. ●23
    Jonas rechnet 78 + 12 und erhält 8/10. Stimmt das? Finde den Fehler und rechne richtig.
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat die Zähler addiert und die Nenner addiert – das ist der Fehler.
    2. Kontrolle: 810 ist kleiner als 7/8. Eine Summe muss größer sein als jeder Summand.
    3. Hauptnenner: das kgV von 8 und 2 ist 8.
    4. Erweitern: 78 wird 7/8, 12 wird 4/8.
    5. 78 + 48 ergibt 11/8.
    Ergebnis:
    Nein. Richtig ist 11/8.
  6. ●24
    Der Taschenrechner zeigt bei 8,6 · 2,7 die Ziffern 2322, das Komma fehlt. Setze das Komma mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 8,6 ist etwa 9, 2,7 ist etwa 3.
    2. 9 · 3 = 27. Das Ergebnis liegt also in der Nähe von 27.
    3. Die Ziffern 2322 passen nur so dazu: 23,22.
    4. Gegenprobe: je eine Stelle nach dem Komma, im Produkt also höchstens zwei.
    Ergebnis:
    23,22

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch mal Bruch
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Mit Dezimalzahlen rechnen
Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.
Bruch durch Bruch
Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Ungleichnamige Brüche
Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.
Sachaufgabe
Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?
Runden und Überschlagen
Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

    25
    Berechne: 12 · 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  2. Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

    26
    Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,48

  3. Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

    27
    Berechne: 47 : 12
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  4. Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

    28
    Berechne: 78 + 24
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    118

  5. Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    29
    Berechne 23 von 30 €.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 €

  6. Ich runde und überschlage sinnvoll.

    30
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 652 + 36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 740, genau 688

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Bruchteile von Größen: „von“ heißt mal.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Anteile beim Teilen, Zeitangaben, Rabatte. Beruf: Bau, Küche, Medizin – Bruchteile überall.

Wörter

Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Prozentuale Veränderungen, Zählen und Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 16
  2. 310
  3. 314
  4. 0,06
  5. 0,15
  6. 10,38
  7. 512
  8. 75
  9. 53
  10. 11
  11. 34
  12. 2524
  13. 100 min
  14. 50 min
  15. 21 l
  16. ≈ 580, genau 551
  17. ≈ 870, genau 826
  18. ≈ 60.000, genau 54.624
  19. 415
  20. 25 min
  21. 56
  22. 78
  23. Nein. Richtig ist 11/8.
  24. 23,22
  25. 13
  26. 0,48
  27. 87
  28. 118
  29. 20 €
  30. ≈ 740, genau 688