Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

Wiederholung: Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche teilen durch 3, andere durch 5 und vergessen das Mal 3, wieder andere ziehen 3/5 ab. Die Wege sind lang und unsicher. Drei Fünftel von 4,8 heißt 4,8 · 3/5 – erst durch 5, dann mal 3 – 2,88 km. Und der Rest ist 4,8 minus das.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDerselbe Anteil, andere Schreibweise

½, 0,5 und 50 % sind dasselbe – dreimal derselbe Anteil, nur anders geschrieben. Welche Schreibweise man nimmt, hängt davon ab, was man damit vorhat.

WeiterdenkenDenk nach

Welche der drei Schreibweisen nimmst du, um ⅓ mit 0,3 zu vergleichen? Warum diese?

1Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Babylonier rechneten im Sechzigersystem – 60 lässt sich durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30 teilen. Brüche einer Stunde bleiben glatt.

MerkenBruch mal Bruch

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Vorher kürzen spart Arbeit. „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 = ¾ · 20.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 24 · 34

Schritt für Schritt

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 616
Kürzen mit 2: 38

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 616
Kürzen mit 2: 38

Ergebnis:

AchtungNenner addiert

So nicht

3/4 + 2/5 = 5/9

So richtig

3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Beim Addieren bleibt der gemeinsame Nenner – nur Zähler werden addiert.

ÜbenJetzt du

○1
Ein Beet nimmt 24 des Gartens ein. 23 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 23 · 24.
So fängst du an:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 412
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 412
2. Kürzen mit 4: 13
Ergebnis:
13
●2
46 der Klasse fahren mit dem Rad. 35 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 35 · 46.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 1230
2. Kürzen mit 6: 25
Ergebnis:
25
★3
Berechne: 46 · 12
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 412
2. Kürzen mit 4: 13
Ergebnis:
13

2Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner 0,333333 statt einem Drittel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Drittel als Kommazahl nie endet. Der Rechner bricht ab und rundet; als Bruch geschrieben ist derselbe Wert dagegen vollkommen genau.

MerkenMit Dezimalzahlen rechnen

Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.

Multiplizieren: ohne Komma rechnen, dann Nachkommastellen zählen.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2

Schritt für Schritt

Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,48

Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
Komma 2 Stellen von rechts: 0,48

Ergebnis:

0,48

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht

0,3 · 0,4 = 1,2

So richtig

0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen beider Faktoren zählen.

ÜbenJetzt du

○4
Berechne schriftlich: 0,3 · 0,2
So fängst du an:
Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 2 = 6
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,06
Ergebnis:
0,06
●5
Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,15
Ergebnis:
0,15
★6
Berechne schriftlich: 0,45 · 1,2
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 45 · 12 = 540
2. Nachkommastellen zählen: 2 + 1 = 3
3. Komma 3 Stellen von rechts: 0,54
Ergebnis:
0,54

3Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

EntdeckenFrage

Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Hälfte teilt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gefragt ist, wie oft die Hälfte hineinpasst – in 3 passt sie sechsmal. Teilen macht nur kleiner, solange der Teiler größer als 1 ist.

MerkenBruch durch Bruch

Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 34 : 35

Schritt für Schritt

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 53
= 1512 = 54

Mit dem Kehrwert multiplizieren: 34 · 53
= 1512 = 54

Ergebnis:

AchtungKehrwert beim Teilen vergessen

So nicht

Berechne: 3/4 : 3/5 → 9/20

So richtig

Berechne: 3/4 : 3/5 → 5/4

Tausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

○7
Berechne: 15 : 38
So fängst du an:
Mit dem Kehrwert multiplizieren: 15 · 83
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 15 · 83
2. = 815 = 815
Ergebnis:
815
●8
Berechne: 46 : 13
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 46 · 31
2. = 126 = 2
Ergebnis:
2
★9
Berechne: 23 : 34
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 43
2. = 89 = 89
Ergebnis:
89

4Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

EntdeckenFrage

Ein Achtel und ein Sechstel – wie viel ist das zusammen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sieben Vierundzwanzigstel. Erst auf denselben Nenner gebracht heißt es 3/24 und 4/24; vorher lassen sich die beiden Stücke gar nicht zusammenzählen.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenUngleichnamige Brüche

Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.

Der Nenner bleibt.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 12 + 78

Schritt für Schritt

Hauptnenner 8: 48 + 78
= 118

Hauptnenner 8: 48 + 78
= 118

Ergebnis:

118

AchtungNenner mitaddiert

So nicht

Berechne: 1/2 + 7/8 → 8/10

So richtig

Berechne: 1/2 + 7/8 → 11/8

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

○10
Berechne: 12 + 14
So fängst du an:
Hauptnenner 4: 24 + 14
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 4: 24 + 14
2. = 34
Ergebnis:
34
●11
Jonas läuft 68 km zum Bus und dann 34 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 68 + 34.
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 68 + 68
2. = 128 = 32
Ergebnis:
32
★12
Berechne: 34 + 78
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 68 + 78
2. = 138
Ergebnis:
138

5Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Ein Handballspiel dauert 60 Minuten, ein Fußballspiel 90. Welcher Bruchteil eines Fußballspiels ist ein Handballspiel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Handball dauert zweimal 30 Minuten, Fußball zweimal 45 Minuten. Der Anteil ist 60/90, gekürzt 2/3. Als Dezimalzahl sind das rund 0,67.

MerkenSachaufgabe

Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?

Dann Rechnung, dann Antwortsatz mit Einheit. Überschlag zum Prüfen.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 34 von 40 l.

Schritt für Schritt

40 : 4 = 10
10 · 3 = 30

40 : 4 = 10
10 · 3 = 30

Ergebnis:

30 l

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht

3/4 von 20 = 20 : 3/4

So richtig

3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne 23 von 30 l.
So fängst du an:
30 : 3 = 10
Lösung zeigen
1. 30 : 3 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 l
●14
Berechne 25 von 50 €.
Lösung zeigen
1. 50 : 5 = 10
2. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20 €
★15
Berechne 25 von 75 kg.
Lösung zeigen
1. 75 : 5 = 15
2. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30 kg

6Ich runde und überschlage sinnvoll.

EntdeckenFrage

Drei teilen sich 10 € gerecht. Warum bleibt dabei immer ein Cent übrig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

10 : 3 ergibt 3,333… Euro. Die kleinste Münze ist 1 Cent, also rundet man auf 3,33 €. Dreimal 3,33 € sind 9,99 €, ein Cent bleibt übrig.

MerkenRunden und Überschlagen

Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Überschlag: mit gerundeten Zahlen im Kopf rechnen, um das Ergebnis zu prüfen.

BeispielÜberschlag

Überschlage zuerst, rechne dann genau: 676 + 34

Schritt für Schritt

Überschlag: 700 + 30 = 730
Genau: 710

Überschlag: 700 + 30 = 730
Genau: 710

Ergebnis:

≈ 730, genau 710

ÜbenJetzt du

○16
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 433 + 59
So fängst du an:
Überschlag: 400 + 60 = 460
Lösung zeigen
1. Überschlag: 400 + 60 = 460
2. Genau: 492
Ergebnis:
≈ 460, genau 492
●17
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 292 + 26
Lösung zeigen
1. Überschlag: 300 + 30 = 330
2. Genau: 318
Ergebnis:
≈ 330, genau 318
★18
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 985 · 41
Lösung zeigen
1. Überschlag: 1000 · 40 = 40.000
2. Genau: 40.385
Ergebnis:
≈ 40.000, genau 40.385

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●19
12 der Klasse fahren mit dem Rad. 12 davon tragen einen Helm. Welcher Anteil der Klasse ist das? Rechne 12 · 12.
Lösung zeigen
1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 14
2. Kürzen mit 1: 14
Ergebnis:
14
●20
Berechne schriftlich: 1,5 · 4
Lösung zeigen
1. Kommas weglassen: 15 · 4 = 60
2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
3. Komma 1 Stelle von rechts: 6
Ergebnis:
6
●21
Berechne 25 von 25 l.
Lösung zeigen
1. 25 : 5 = 5
2. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10 l
●22
Wie oft passt 47 in 13? Rechne 13 : 47.
Lösung zeigen
1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 13 · 74
2. = 712 = 712
Ergebnis:
712
●23
Berechne: 28 + 48
Lösung zeigen
1. Hauptnenner 8: 28 + 48
2. = 68 = 34
Ergebnis:
34
●24
Tom rechnet 23 + 12 und erhält 3/5. Stimmt das? Finde den Fehler und rechne richtig.
Lösung zeigen
1. Tom hat die Zähler addiert und die Nenner addiert – das ist der Fehler.
2. Kontrolle: 35 ist kleiner als 2/3. Eine Summe muss größer sein als jeder Summand.
3. Hauptnenner: das kgV von 3 und 2 ist 6.
4. Erweitern: 23 wird 4/6, 12 wird 3/6.
5. 46 + 36 ergibt 7/6.
Ergebnis:
Nein. Richtig ist 7/6.

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch mal Bruch: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Mit Dezimalzahlen rechnen: Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.
Bruch durch Bruch: Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Ungleichnamige Brüche: Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.
Sachaufgabe: Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?
Runden und Überschlagen: Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.
25
Von 12 einer Pizza isst Lea 1/4. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 14 · 12.
Lösung zeigen
Ergebnis:
18
Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.
26
Berechne schriftlich: 0,5 · 0,2
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,1
Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.
27
Wie oft passt 57 in 13? Rechne 13 : 57.
Lösung zeigen
Ergebnis:
715
Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.
28
Berechne: 12 + 58
Lösung zeigen
Ergebnis:
98
Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.
29
Berechne 23 von 30 min.
Lösung zeigen
Ergebnis:
20 min
Ich runde und überschlage sinnvoll.
30
Überschlage zuerst, rechne dann genau: 891 + 69
Lösung zeigen
Ergebnis:
≈ 970, genau 960

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Bruchteile von Größen: „von“ heißt mal.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Anteile beim Teilen, Zeitangaben, Rabatte. Beruf: Bau, Küche, Medizin – Bruchteile überall.

Wörter

Bruch: ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig: gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner: die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler: die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Prozentuale Veränderungen, Zählen und Wahrscheinlichkeit

Lösungen

13
25
13
0,06
0,15
0,54
815
2
89
34
32
138
20 l
20 €
30 kg
≈ 460, genau 492
≈ 330, genau 318
≈ 40.000, genau 40.385
14
6
10 l
712
34
Nein. Richtig ist 7/6.
18
0,1
715
98
20 min
≈ 970, genau 960