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Mathematik · Klasse 7 · Kapitel

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Wiederholung: Brüche und Dezimalzahlen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Manche teilen durch 3, andere durch 5 und vergessen das Mal 3, wieder andere ziehen 3/5 ab. Die Wege sind lang und unsicher. Drei Fünftel von 4,8 heißt 4,8 · 3/5 – erst durch 5, dann mal 3 – 2,88 km. Und der Rest ist 4,8 minus das.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDerselbe Anteil, andere Schreibweise

½, 0,5 und 50 % sind dasselbe – dreimal derselbe Anteil, nur anders geschrieben. Welche Schreibweise man nimmt, hängt davon ab, was man damit vorhat.

Ein halb gefärbter Streifen: ein Halb, 0,5 und 50 Prozent sind derselbe Anteil½= 0,5= 50 %Derselbe Anteil, dreimal geschrieben

WeiterdenkenDenk nach

Welche der drei Schreibweisen nimmst du, um ⅓ mit 0,3 zu vergleichen? Warum diese?

1Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

EntdeckenFrage

Warum hat eine Stunde 60 Minuten und nicht 100?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die Babylonier rechneten im Sechzigersystem – 60 lässt sich durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30 teilen. Brüche einer Stunde bleiben glatt.

MerkenBruch mal Bruch

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Vorher kürzen spart Arbeit. „von“ heißt „mal“: ¾ von 20 = ¾ · 20.

Eselsbrücke: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst

BeispielBruch mal Bruch

Berechne: 13 · 12
1/3·1/2
Schritt für Schritt
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 16
  2. Kürzen mit 1: 16
  1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 16
  2. Kürzen mit 1: 16
Ergebnis:
16

AchtungNenner addiert

So nicht
3/4 + 2/5 = 5/9
So richtig
3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20

Beim Addieren bleibt der gemeinsame Nenner – nur Zähler werden addiert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Von 23 einer Pizza isst Lea 2/4. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 24 · 23.
    So fängst du an:
    Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 412
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 412
    2. Kürzen mit 4: 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●2
    Berechne: 15 · 12
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 110
    2. Kürzen mit 1: 110
    Ergebnis:
    110
  3. ★3
    Ein Beet nimmt 18 des Gartens ein. 45 des Beets sind Erdbeeren. Welcher Anteil des Gartens ist das? Rechne 45 · 18.
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 440
    2. Kürzen mit 4: 110
    Ergebnis:
    110

2Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Warum zeigt ein Taschenrechner 0,333333 statt einem Drittel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil ein Drittel als Kommazahl nie endet. Der Rechner bricht ab und rundet; als Bruch geschrieben ist derselbe Wert dagegen vollkommen genau.

MerkenMit Dezimalzahlen rechnen

Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.

Multiplizieren: ohne Komma rechnen, dann Nachkommastellen zählen.

Eselsbrücke: Kürzen ist Teilen, Erweitern ist Malnehmen – oben und unten gleich

BeispielDezimalzahlen multiplizieren

Berechne schriftlich: 0,3 · 0,5
Schritt für Schritt
  1. Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,15
  1. Kommas weglassen: 3 · 5 = 15
  2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
  3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,15
Ergebnis:
0,15

AchtungKomma falsch gesetzt

So nicht
0,3 · 0,4 = 1,2
So richtig
0,3 · 0,4 = 0,12  (1 + 1 = 2 Nachkommastellen)

Nachkommastellen beider Faktoren zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Berechne schriftlich: 2,4 · 0,5
    So fängst du an:
    Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 24 · 5 = 120
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 1,2
    Ergebnis:
    1,2
  2. ●5
    Berechne schriftlich: 2,4 · 0,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 24 · 2 = 48
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 0,48
    Ergebnis:
    0,48
  3. ★6
    Berechne schriftlich: 3,4 · 1,2
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 34 · 12 = 408
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 1 = 2
    3. Komma 2 Stellen von rechts: 4,08
    Ergebnis:
    4,08

3Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

EntdeckenFrage

Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Hälfte teilt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil gefragt ist, wie oft die Hälfte hineinpasst – in 3 passt sie sechsmal. Teilen macht nur kleiner, solange der Teiler größer als 1 ist.

MerkenBruch durch Bruch

Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.

BeispielBrüche dividieren

Berechne: 23 : 14
2/3:1/4
Schritt für Schritt
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 41
  2. = 83 = 83
  1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 23 · 41
  2. = 83 = 83
Ergebnis:
83

AchtungKehrwert beim Teilen vergessen

So nicht
Berechne: 2/3 : 1/4 → 2/12
So richtig
Berechne: 2/3 : 1/4 → 8/3

Tausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Rechne dann mal.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Wie oft passt 28 in 57? Rechne 57 : 28.
    So fängst du an:
    Mit dem Kehrwert multiplizieren: 57 · 82
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 57 · 82
    2. = 4014 = 207
    Ergebnis:
    207
  2. ●8
    Berechne: 18 : 23
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 18 · 32
    2. = 316 = 316
    Ergebnis:
    316
  3. ★9
    Berechne: 16 : 23
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 16 · 32
    2. = 312 = 14
    Ergebnis:
    14

4Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

EntdeckenFrage

Ein Achtel und ein Sechstel – wie viel ist das zusammen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sieben Vierundzwanzigstel. Erst auf denselben Nenner gebracht heißt es 3/24 und 4/24; vorher lassen sich die beiden Stücke gar nicht zusammenzählen.

Ausprobieren: Bruchstreifen und Bruchkreis

Zwei Brüche als Streifen oder Kreis – teilen, färben, vergleichen.

MerkenUngleichnamige Brüche

Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.

Der Nenner bleibt.

Eselsbrücke: Plus und Minus nur mit gleichem Nenner – Äpfel mit Äpfeln

BeispielBrüche addieren und subtrahieren

Berechne: 78 + 34
7/8+3/4
Schritt für Schritt
  1. Hauptnenner 8: 78 + 68
  2. = 138
  1. Hauptnenner 8: 78 + 68
  2. = 138
Ergebnis:
138

AchtungNenner mitaddiert

So nicht
Berechne: 7/8 + 3/4 → 10/12
So richtig
Berechne: 7/8 + 3/4 → 13/8

Mach zuerst die Nenner gleich. Rechne dann nur die Zähler.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Berechne: 58 + 14
    So fängst du an:
    Hauptnenner 8: 58 + 28
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 58 + 28
    2. = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●11
    Jonas läuft 38 km zum Bus und dann 18 km zur Schule. Wie weit läuft er? Rechne 38 + 18.
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 8: 38 + 18
    2. = 48 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    Berechne: 13 + 45
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 15: 515 + 1215
    2. = 1715
    Ergebnis:
    1715

5Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

EntdeckenFrage

Ein Handballspiel dauert 60 Minuten, ein Fußballspiel 90. Welcher Bruchteil eines Fußballspiels ist ein Handballspiel?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Handball dauert zweimal 30 Minuten, Fußball zweimal 45 Minuten. Der Anteil ist 60/90, gekürzt 2/3. Als Dezimalzahl sind das rund 0,67.

MerkenSachaufgabe

Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?

Dann Rechnung, dann Antwortsatz mit Einheit. Überschlag zum Prüfen.

BeispielBruchteil einer Größe

Berechne 35 von 100 kg.
3/5Ganzes: 100 kg3/5 = ?
Schritt für Schritt
  1. 100 : 5 = 20
  2. 20 · 3 = 60
  1. 100 : 5 = 20
  2. 20 · 3 = 60
Ergebnis:
60 kg

Achtung„von“ nicht als „mal“ erkannt

So nicht
3/4 von 20 = 20 : 3/4
So richtig
3/4 von 20 = 3/4 · 20 = 15

¾ von 20 heißt ¾ · 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne 34 von 20 min.
    So fängst du an:
    20 : 4 = 5
    Lösung zeigen
    1. 20 : 4 = 5
    2. 5 · 3 = 15
    Ergebnis:
    15 min
  2. ●14
    Berechne 58 von 80 l.
    Lösung zeigen
    1. 80 : 8 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50 l
  3. ★15
    Berechne 25 von 35 min.
    Lösung zeigen
    1. 35 : 5 = 7
    2. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14 min

6Ich runde und überschlage sinnvoll.

EntdeckenFrage

Drei teilen sich 10 € gerecht. Warum bleibt dabei immer ein Cent übrig?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

10 : 3 ergibt 3,333… Euro. Die kleinste Münze ist 1 Cent, also rundet man auf 3,33 €. Dreimal 3,33 € sind 9,99 €, ein Cent bleibt übrig.

MerkenRunden und Überschlagen

Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Überschlag: mit gerundeten Zahlen im Kopf rechnen, um das Ergebnis zu prüfen.

BeispielÜberschlag

Überschlage zuerst, rechne dann genau: 740 + 44
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 700 + 40 = 740
  2. Genau: 784
  1. Überschlag: 700 + 40 = 740
  2. Genau: 784
Ergebnis:
≈ 740, genau 784

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 261 + 39
    So fängst du an:
    Überschlag: 300 + 40 = 340
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 + 40 = 340
    2. Genau: 300
    Ergebnis:
    ≈ 340, genau 300
  2. ●17
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 661 + 32
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 700 + 30 = 730
    2. Genau: 693
    Ergebnis:
    ≈ 730, genau 693
  3. ★18
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 862 · 85
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 900 · 90 = 81.000
    2. Genau: 73.270
    Ergebnis:
    ≈ 81.000, genau 73.270

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●19
    Berechne: 13 · 36
    Lösung zeigen
    1. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: 318
    2. Kürzen mit 3: 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●20
    Berechne schriftlich: 0,5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Kommas weglassen: 5 · 6 = 30
    2. Nachkommastellen zählen: 1 + 0 = 1
    3. Komma 1 Stelle von rechts: 3
    Ergebnis:
    3
  3. ●21
    Wie oft passt 16 in 37? Rechne 37 : 16.
    Lösung zeigen
    1. Mit dem Kehrwert multiplizieren: 37 · 61
    2. = 187 = 187
    Ergebnis:
    187
  4. ●22
    Berechne: 12 + 14
    Lösung zeigen
    1. Hauptnenner 4: 24 + 14
    2. = 34
    Ergebnis:
    34
  5. ●23
    Nina rechnet 46 + 610 und erhält 10/16. Stimmt das? Finde den Fehler und rechne richtig.
    Lösung zeigen
    1. Nina hat die Zähler addiert und die Nenner addiert – das ist der Fehler.
    2. Kontrolle: 1016 ist kleiner als 4/6. Eine Summe muss größer sein als jeder Summand.
    3. Hauptnenner: das kgV von 6 und 10 ist 30.
    4. Erweitern: 46 wird 20/30, 610 wird 18/30.
    5. 2030 + 1830 ergibt 38/30, gekürzt 19/15.
    Ergebnis:
    Nein. Richtig ist 19/15.
  6. ●24
    Der Taschenrechner zeigt bei 6,5 · 7,4 die Ziffern 481, das Komma fehlt. Setze das Komma mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 6,5 ist etwa 7, 7,4 ist etwa 7.
    2. 7 · 7 = 49. Das Ergebnis liegt also in der Nähe von 49.
    3. Die Ziffern 481 passen nur so dazu: 48,1.
    4. Gegenprobe: je eine Stelle nach dem Komma, im Produkt also höchstens zwei.
    Ergebnis:
    48,1

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Bruch mal Bruch
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Mit Dezimalzahlen rechnen
Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma.
Bruch durch Bruch
Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Ungleichnamige Brüche
Erst gleichnamig machen (Hauptnenner), dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren.
Sachaufgabe
Erst verstehen: Was ist gegeben, was gesucht?
Runden und Überschlagen
Runden: Nachbarstelle kleiner als 5 → abrunden, sonst aufrunden.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich multipliziere Brüche und berechne Bruchteile von Größen.

    25
    Von 13 einer Pizza isst Lea 1/2. Welcher Anteil der ganzen Pizza ist das? Rechne 12 · 13.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  2. Ich rechne sicher mit Dezimalzahlen.

    26
    Berechne schriftlich: 0,3 · 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,8

  3. Ich dividiere Brüche und wandle zwischen Bruch und Dezimalzahl um.

    27
    Wie oft passt 13 in 14? Rechne 14 : 13.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  4. Ich addiere und subtrahiere Brüche mit verschiedenen Nennern.

    28
    Tom trinkt 78 Liter Saft, Mia 38 Liter. Wie viel Liter sind das zusammen? Rechne 78 + 38.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich löse Sachaufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen.

    29
    Berechne 34 von 40 l.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 l

  6. Ich runde und überschlage sinnvoll.

    30
    Überschlage zuerst, rechne dann genau: 571 + 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ≈ 650, genau 620

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Ein Weg ist 4,8 km lang, du bist drei Fünftel gegangen. Wie viel liegt noch vor dir? Ohne Regel – überleg es dir.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Bruchteile von Größen: „von“ heißt mal.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Anteile beim Teilen, Zeitangaben, Rabatte. Beruf: Bau, Küche, Medizin – Bruchteile überall.

Wörter

Bruch
ein Teil von einem Ganzen, als Zahl geschrieben
Gleichnamig
gleicher Nenner – gleich große Teile
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Nenner
die Zahl unten – in wie viele Teile geteilt wurde
Zähler
die Zahl oben – wie viele Teile

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Brüche und Dezimalzahlen, Dezimalzahlen

Darauf baut auf: Prozentuale Veränderungen, Zählen und Wahrscheinlichkeit

Lösungen

  1. 13
  2. 110
  3. 110
  4. 1,2
  5. 0,48
  6. 4,08
  7. 207
  8. 316
  9. 14
  10. 78
  11. 12
  12. 1715
  13. 15 min
  14. 50 l
  15. 14 min
  16. ≈ 340, genau 300
  17. ≈ 730, genau 693
  18. ≈ 81.000, genau 73.270
  19. 16
  20. 3
  21. 187
  22. 34
  23. Nein. Richtig ist 19/15.
  24. 48,1
  25. 16
  26. 1,8
  27. 34
  28. 54
  29. 30 l
  30. ≈ 650, genau 620