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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 13, 10, 7, 12, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,2
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 8, 10, 4, 7. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 7, 7, 8, 10
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 10 − 4 = 6
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 26, 25, 28, 10. Gruppe Falken: 26, 29, 21, 14, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 21 + 26 + 25 + 28 + 10 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Gruppe Falken: 26 + 29 + 21 + 14 + 10 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 22 − 20 = 2
  1. Gruppe Adler: 21 + 26 + 25 + 28 + 10 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Gruppe Falken: 26 + 29 + 21 + 14 + 10 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 22 − 20 = 2
Ergebnis:
Gruppe Adler, um 2 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 16, 10, 17, 11, 6. Team Süd: 15, 8, 9, 8, 5. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord: 16 + 10 + 17 + 11 + 6 = 60, 60 : 5 = 12
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 16 + 10 + 17 + 11 + 6 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Team Süd: 15 + 8 + 9 + 8 + 5 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 12 − 9 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Treffer
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 33, 57, 29, 53, 38. Gruppe Falken: 36, 17, 53, 24, 50. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken15202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 33 + 57 + 29 + 53 + 38 = 210, 210 : 5 = 42
    2. Gruppe Falken: 36 + 17 + 53 + 24 + 50 = 180, 180 : 5 = 36
    3. 42 ist mehr als 36.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (42 min gegen 36 min)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 12, 22, 11, 15, 18. Gruppe Falken: 30, 24, 9, 13. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 11, 12, 15, 18, 18, 22, Median 16,5
    2. Gruppe Falken geordnet: 9, 13, 24, 30, Median 18,5
    3. 18,5 ist mehr als 16,5.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 18,5 gegen 16,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 57, 302, 22, 31, 38. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 450 : 5 = 90
  2. Geordnet: 22, 31, 38, 57, 302, Median 38
  3. Der Wert 302 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 450 : 5 = 90
  2. Geordnet: 22, 31, 38, 57, 302, Median 38
  3. Der Wert 302 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (38 statt 90)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 51, 7, 3, 5, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 75 : 5 = 15
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 51, Median 7
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 15)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 41, 8, 8, 4, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 4, 4, 8, 8, 41, Median 8
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 13)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 48, 8, 7, 3, 3, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 48 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 78 : 6 = 13
    3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 48, Mittelwert 13 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 8, 13, 9. Welches Ergebnis fehlt?
bisher891011121314?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
  2. Summe der bekannten: 8 + 13 + 9 = 30
  3. 48 − 30 = 18
  1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
  2. Summe der bekannten: 8 + 13 + 9 = 30
  3. 48 − 30 = 18
Ergebnis:
18 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 297 cm. Bekannt sind 272, 384, 256, 327. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 297 = 1485
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 297 = 1485
    2. Summe der bekannten: 272 + 384 + 256 + 327 = 1239
    3. 1485 − 1239 = 246
    Ergebnis:
    246 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 309 cm. Bekannt sind 251, 348, 347, 247. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 309 = 1545
    2. Summe der bekannten: 251 + 348 + 347 + 247 = 1193
    3. 1545 − 1193 = 352
    Ergebnis:
    352 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 44, 16, 40, 56, 33. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 41 = 246
    2. Summe der bekannten: 44 + 16 + 40 + 56 + 33 = 189
    3. 246 − 189 = 57
    Ergebnis:
    57 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord7 von 10Team Süd17 von 25
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 710 = 0,7
  2. Team Süd: 1725 = 0,68
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 710 = 0,7
  2. Team Süd: 1725 = 0,68
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord9 von 40Team Süd4 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 940 = 0,225
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 940 = 0,225
    2. Team Süd: 410 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 30 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A30 von 50B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3050 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord16 von 25Team Süd8 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1625 = 0,64
    2. Team Süd: 840 = 0,2
    3. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,64)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Haustierkein TiergesamtMädchen10??Jungen141226gesamt?22?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Tier: 22 − 12 = 10
  2. Zeile Mädchen: 10 + 10 = 20
  3. Insgesamt: 20 + 26 = 46
  1. Spalte kein Tier: 22 − 12 = 10
  2. Zeile Mädchen: 10 + 10 = 20
  3. Insgesamt: 20 + 26 = 46
Ergebnis:
46

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a13821Klasse 6b12?20gesamt251641
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 20.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 20.
    2. 20 − 12 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 8 = 16
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 17 Kinder aus Klasse 5. 14 Kinder aus Klasse 5 und 6 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 28 − 17 = 11
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 11 − 6 = 5
    3. Kontrolle: 14 + 3 + 6 + 5 = 28
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 25 Mädchen. 11 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 25 = 16
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 16 − 8 = 8
    3. Kontrolle: 11 + 14 + 8 + 8 = 41
    Ergebnis:
    8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer1101788
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 88 : 500 = 0,176
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 88 : 500 = 0,176
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
Ergebnis:
Nein, eher 0,176

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21738179
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 38 : 100 = 0,38
    3. 179 : 500 = 0,358
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,358
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21429154
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 154 : 500 = 0,308
    Ergebnis:
    0,308
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer3733169
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 169 : 1000 = 0,169
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,169

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 24, 30, 12, 28, 31. Jungen: 36, 18, 33, 38, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 24 + 30 + 12 + 28 + 31 = 125, 125 : 5 = 25
    2. Jungen: 36 + 18 + 33 + 38 + 15 = 140, 140 : 5 = 28
    3. 28 − 25 = 3
    Ergebnis:
    Jungen, um 3 Hundert Schritte
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 27, 23, 24, 25, 26. Jungen: 16, 32, 21, 16, 40. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 125 : 5 = 25
    2. Mädchen: 27 − 23 = 4
    3. Jungen: 40 − 16 = 24
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 24)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 45, 6, 5, 2, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 2, 5, 6, 7, 45, Median 6
    3. Der Wert 45 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 13)
  4. ●28
    Aylin möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 29, 24, 21, 11. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
    2. Summe der bekannten: 29 + 24 + 21 + 11 = 85
    3. 110 − 85 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 36 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A36 von 50B8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3650 = 0,72
    2. Fußball-AG: 820 = 0,4
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,72)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 41-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer41 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 41100
    2. 41100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 41 : 100 = 0,41
    Ergebnis:
    41100 = 0,41

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 18, 15, 20, 26, 56. Jungen: 24, 59, 28, 44, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (Median 28 gegen 20)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 55, 4, 7, 5, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (5 statt 15)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 329 cm. Bekannt sind 290, 388, 301, 338. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    328 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 32 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 40B8 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56?10Klasse 65611gesamt111021
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52238198
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,396

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 3 Treffer
  2. Gruppe Adler (42 min gegen 36 min)
  3. Gruppe Falken (Median 18,5 gegen 16,5)
  4. Median (7 statt 15)
  5. Median (8 statt 13)
  6. Ausreißer 48, Mittelwert 13 statt 6
  7. 246 cm
  8. 352 cm
  9. 57 min
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Team Nord (0,64)
  13. 8
  14. 5
  15. 8
  16. 0,358
  17. 0,308
  18. Nein, eher 0,169
  19. 112
  20. 16
  21. 19
  22. 2 Punkte
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. 2 Punkte
  25. Jungen, um 3 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 24)
  27. Median (6 statt 13)
  28. 25 Punkte
  29. Theater-AG (0,72)
  30. 41100 = 0,41
  31. Jungen (Median 28 gegen 20)
  32. Median (5 statt 15)
  33. 328 cm
  34. Schule am Park (0,8)
  35. 4
  36. 0,396
  37. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  38. x̄ = 9,2
  39. Median 7; Spannweite 6