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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 13, 3, 2, 13, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 11, 9, 13, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 11, 11, 13, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 16 − 9 = 7
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 27, 8, 10, 14, 21. Team Süd: 12, 17, 21, 27, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 8, 10, 14, 21, 27, Median 14
  2. Team Süd geordnet: 8, 12, 17, 21, 27, Median 17
  3. 17 ist mehr als 14.
  1. Team Nord geordnet: 8, 10, 14, 21, 27, Median 14
  2. Team Süd geordnet: 8, 12, 17, 21, 27, Median 17
  3. 17 ist mehr als 14.
Ergebnis:
Team Süd (Median 17 gegen 14)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 4, 16, 17, 13, 15. Team Süd: 14, 10, 4, 7, 15. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 4, 13, 15, 16, 17, Median 15
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 4, 13, 15, 16, 17, Median 15
    2. Team Süd geordnet: 4, 7, 10, 14, 15, Median 10
    3. 15 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 15 gegen 10)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 379, 252, 352, 253, 334. Gruppe Falken: 339, 323, 281, 278, 319. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 252, 253, 334, 352, 379, Median 334
    2. Gruppe Falken geordnet: 278, 281, 319, 323, 339, Median 319
    3. 334 ist mehr als 319.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 334 gegen 319)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 3, 6, 13, 17, 13, 14. Team Süd: 10, 9, 10, 12, 4. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3 + 6 + 13 + 17 + 13 + 14 = 66, 66 : 6 = 11
    2. Team Süd: 10 + 9 + 10 + 12 + 4 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 11 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Nord (11 Treffer gegen 9 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 13, 29, 23, 168. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte020406080100120140160180
Schritt für Schritt
  1. 168 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 260 : 5 = 52
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
  1. 168 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 260 : 5 = 52
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
Ergebnis:
Ausreißer 168, Mittelwert 52 statt 23

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 197, 12, 27, 30, 19. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    Geordnet: 12, 19, 27, 30, 197
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 19, 27, 30, 197
    2. Median: 27
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 197.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 27 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 26, 36, 345, 39, 39. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 485 : 5 = 97
    2. Geordnet: 26, 36, 39, 39, 345, Median 39
    3. Der Wert 345 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (39 statt 97)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 53, 23, 59, 323, 38. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 528 : 6 = 88
    2. Geordnet: 23, 32, 38, 53, 59, 323, Median 45,5
    3. Der Wert 323 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (45,5 statt 88)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 16 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 21, 12, 21. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher12141618202224?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
  2. Summe der bekannten: 16 + 21 + 12 + 21 = 70
  3. 80 − 70 = 10
  1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
  2. Summe der bekannten: 16 + 21 + 12 + 21 = 70
  3. 80 − 70 = 10
Ergebnis:
10 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 40 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 55, 30, 28, 35. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher2530354045505560?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    2. Summe der bekannten: 55 + 30 + 28 + 35 = 148
    3. 200 − 148 = 52
    Ergebnis:
    52 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 40 min. Bekannt sind 27, 60, 48, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    2. Summe der bekannten: 27 + 60 + 48 + 30 = 165
    3. 200 − 165 = 35
    Ergebnis:
    35 min
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 15, 8, 13, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 16 = 96
    2. Summe der bekannten: 26 + 15 + 8 + 13 + 11 = 73
    3. 96 − 73 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 31 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A31 von 50B15 von 40
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 3150 = 0,62
  2. Klasse 6b: 1540 = 0,375
  3. 0,62 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 3150 = 0,62
  2. Klasse 6b: 1540 = 0,375
  3. 0,62 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,62)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 16 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A16 von 40B5 von 10
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1640 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1640 = 0,4
    2. Fußball-AG: 510 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 26 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A26 von 40B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2640 = 0,65
    2. Schule am See: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,7)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 10Team Süd15 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 1540 = 0,375
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?312Jungen151025gesamt241337
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 12.
  2. 12 − 3 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 15 = 24
  1. Zeile Mädchen: zusammen 12.
  2. 12 − 3 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 15 = 24
Ergebnis:
9

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7411Jungen?1319gesamt131730
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 19.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 13 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 7 = 13
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 5 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 35 − 13 = 22
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 11 = 11
    3. Kontrolle: 5 + 8 + 11 + 11 = 35
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 4 Mädchen und 9 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 16 = 20
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 20 − 9 = 11
    3. Kontrolle: 4 + 12 + 9 + 11 = 36
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer151487
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 87 : 500 = 0,174
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 87 : 500 = 0,174
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
Ergebnis:
Nein, eher 0,174

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41527149
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 27 : 100 = 0,27
    3. 149 : 500 = 0,298
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,298
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51131146
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 31 : 100 = 0,31
    3. 146 : 500 = 0,292
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,292
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer61985439
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 85 : 200 = 0,425
    Ergebnis:
    0,425

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 20, 54, 32, 37, 42. Jungen: 34, 52, 29, 30, 50. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen2025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 20 + 54 + 32 + 37 + 42 = 185, 185 : 5 = 37
    2. Jungen: 34 + 52 + 29 + 30 + 50 = 195, 195 : 5 = 39
    3. 39 ist mehr als 37.
    Ergebnis:
    Jungen (39 min gegen 37 min)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 15, 4, 12, 9. Jungen: 10, 9, 9, 9, 8. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 45 : 5 = 9
    2. Mädchen: 15 − 4 = 11
    3. Jungen: 10 − 8 = 2
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 11)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 9, 9, 4, 47. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 4, 6, 9, 9, 47, Median 9
    3. Der Wert 47 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 15)
  4. ●28
    Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 26, 15, 12. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    2. Summe der bekannten: 26 + 15 + 12 = 53
    3. 80 − 53 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B19 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 810 = 0,8
    2. Schule am See: 1950 = 0,38
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 17-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1750
    2. 1750 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 50 = 0,34
    Ergebnis:
    1750 = 0,34

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 8, 30, 40, 12, 30. Gruppe Falken: 29, 27, 10, 38, 31. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 57, 382, 25, 27, 39. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (39 statt 106)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 20, 13, 25. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher121416182022242628?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Punkte

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 8 Mädchen und 11 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer42235171
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,342

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 15 gegen 10)
  2. Gruppe Adler (Median 334 gegen 319)
  3. Team Nord (11 Treffer gegen 9 Treffer)
  4. Nein, der Median 27 passt besser
  5. Median (39 statt 97)
  6. Median (45,5 statt 88)
  7. 52 min
  8. 35 min
  9. 23 Punkte
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Schule am See (0,7)
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 6
  14. 11
  15. 11
  16. 0,298
  17. 0,292
  18. 0,425
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 6 Ergebnisse
  21. 5 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Jungen (39 min gegen 37 min)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 11)
  27. Median (9 statt 15)
  28. 27 Punkte
  29. Schule am Park (0,8)
  30. 1750 = 0,34
  31. Gruppe Falken, um 3 Hundert Schritte
  32. Median (39 statt 106)
  33. 10 Punkte
  34. 4
  35. 0,342
  36. 2 Punkte
  37. x̄ = 8,2
  38. Median 11; Spannweite 7