Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 6, 12, 5, 4, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 4, 9, 6, 7. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 6, 7, 8, 9
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 9 − 4 = 5
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 14, 9, 18, 4. Jungen: 10, 15, 17, 5, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 5 + 14 + 9 + 18 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 10 + 15 + 17 + 5 + 13 = 60, 60 : 5 = 12
  3. 12 − 10 = 2
  1. Mädchen: 5 + 14 + 9 + 18 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 10 + 15 + 17 + 5 + 13 = 60, 60 : 5 = 12
  3. 12 − 10 = 2
Ergebnis:
Jungen, um 2 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 3, 15, 13, 3, 11. Team Süd: 13, 16, 12, 4, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd246810121416
    So fängst du an:
    Team Nord: 3 + 15 + 13 + 3 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3 + 15 + 13 + 3 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Team Süd: 13 + 16 + 12 + 4 + 10 = 55, 55 : 5 = 11
    3. 11 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Süd (11 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 9, 12, 19, 15, 25. Gruppe Falken: 19, 27, 11, 25, 23. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 12, 15, 19, 25, Median 15
    2. Gruppe Falken geordnet: 11, 19, 23, 25, 27, Median 23
    3. 23 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 23 gegen 15)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 38, 53, 20, 16, 28. Gruppe Falken: 50, 46, 27, 42, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 16, 20, 28, 38, 53, Median 28
    2. Gruppe Falken geordnet: 25, 27, 42, 46, 50, Median 42
    3. 42 ist mehr als 28.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 42 gegen 28)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 9, 6, 5, 56. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 4, 5, 6, 9, 56, Median 6
  3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 4, 5, 6, 9, 56, Median 6
  3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 16)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 243, 20, 11, 23, 18. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    243 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 243 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 315 : 5 = 63
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 243, Mittelwert 63 statt 18
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 240, 16, 21, 19, 24. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 320 : 5 = 64
    2. Geordnet: 16, 19, 21, 24, 240, Median 21
    3. Der Wert 240 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (21 statt 64)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 26, 249, 10, 25, 26. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 354 : 6 = 59
    2. Geordnet: 10, 18, 25, 26, 26, 249, Median 25,5
    3. Der Wert 249 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (25,5 statt 59)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 329 cm. Bekannt sind 368, 248, 378, 377. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 329 = 1645
  2. Summe der bekannten: 368 + 248 + 378 + 377 = 1371
  3. 1645 − 1371 = 274
  1. Summe aller Werte: 5 · 329 = 1645
  2. Summe der bekannten: 368 + 248 + 378 + 377 = 1371
  3. 1645 − 1371 = 274
Ergebnis:
274 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 17, 27, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 17 + 27 + 10 = 54
    3. 76 − 54 = 22
    Ergebnis:
    22 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 299 cm. Bekannt sind 358, 251, 267. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 299 = 1196
    2. Summe der bekannten: 358 + 251 + 267 = 876
    3. 1196 − 876 = 320
    Ergebnis:
    320 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Weitsprüngen ist 312 cm. Bekannt sind 361, 321, 370, 262, 291. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 312 = 1872
    2. Summe der bekannten: 361 + 321 + 370 + 262 + 291 = 1605
    3. 1872 − 1605 = 267
    Ergebnis:
    267 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 25 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A8 von 10B25 von 40
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2540 = 0,625
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2540 = 0,625
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B11 von 20
    So fängst du an:
    Schule am Park: 810 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 810 = 0,8
    2. Schule am See: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 18 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 16 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 25B16 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1825 = 0,72
    2. Klasse 6b: 1620 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 17 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 25B16 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1725 = 0,68
    2. Schule am See: 1620 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
RadBusgesamtKlasse 6a41216Klasse 6b?59gesamt81725
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 9.
  2. 9 − 5 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 9.
  2. 9 − 5 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
Ergebnis:
4

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 16 Kinder der Klasse 6a. 11 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 39 − 16 = 23
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 39 − 16 = 23
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 23 − 15 = 8
    3. Kontrolle: 11 + 5 + 15 + 8 = 39
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen12??Jungen10313gesamt?11?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 11 − 3 = 8
    2. Zeile Mädchen: 12 + 8 = 20
    3. Insgesamt: 20 + 13 = 33
    Ergebnis:
    33
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
    RadBusgesamtKlasse 6a4610Klasse 6b8210gesamt12820
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 410 = 0,4
    2. Klasse 6b: 810 = 0,8
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,8)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer32745228
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 27 : 50 = 0,54
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 27 : 50 = 0,54
Ergebnis:
0,54

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51734175
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 175 : 500 = 0,35
    Ergebnis:
    0,35
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41533147
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 147 : 500 = 0,294
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,294
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer11226177
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 26 : 200 = 0,13
    Ergebnis:
    0,13

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 12, 24, 34, 22, 8. Gruppe Falken: 12, 31, 15, 26, 31. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 8, 12, 22, 24, 34, Median 22
    2. Gruppe Falken geordnet: 12, 15, 26, 31, 31, Median 26
    3. 26 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 26 gegen 22)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 22, 19, 15, 18. Team Süd: 19, 17, 18, 20, 21. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd1516171819202122
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 22 − 15 = 7
    2. Team Süd: 21 − 17 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 7)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 11, 193, 23, 11. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 265 : 5 = 53
    2. Geordnet: 11, 11, 23, 27, 193, Median 23
    3. Der Wert 193 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (23 statt 53)
  4. ●28
    Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 25, 15, 22. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher1416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 25 + 15 + 22 = 62
    3. 88 − 62 = 26
    Ergebnis:
    26 Punkte
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 4 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B4 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 510 = 0,5
    2. Fußball-AG: 420 = 0,2
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,5)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 73-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer73 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 73100
    2. 73100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 73 : 100 = 0,73
    Ergebnis:
    73100 = 0,73

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 57, 11, 42, 53, 27. Gruppe Falken: 44, 10, 53, 44, 29. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (38 min gegen 36 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 47, 6, 6, 8, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (8 statt 15)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 23, 27, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A4 von 10B16 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen13720Jungen?312gesamt221032
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41223104
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,208

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (11 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. Gruppe Falken (Median 23 gegen 15)
  3. Gruppe Falken (Median 42 gegen 28)
  4. Ausreißer 243, Mittelwert 63 statt 18
  5. Median (21 statt 64)
  6. Median (25,5 statt 59)
  7. 22 Punkte
  8. 320 cm
  9. 267 cm
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 8
  14. 33
  15. Klasse 6b (0,8)
  16. 0,35
  17. 0,294
  18. 0,13
  19. 19
  20. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Falken (Median 26 gegen 22)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 7)
  27. Median (23 statt 53)
  28. 26 Punkte
  29. Theater-AG (0,5)
  30. 73100 = 0,73
  31. Gruppe Adler (38 min gegen 36 min)
  32. Median (8 statt 15)
  33. 20 Punkte
  34. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  35. 9
  36. 0,208
  37. 112
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 7,8
  40. Median 7; Spannweite 5