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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 3, 13, 15, 11, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,2
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 4, 8, 15, 19. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 4, 8, 15, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 272, 311, 374, 300, 293. Team Süd: 297, 289, 354, 317, 313. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 272, 293, 300, 311, 374, Median 300
  2. Team Süd geordnet: 289, 297, 313, 317, 354, Median 313
  3. 313 ist mehr als 300.
  1. Team Nord geordnet: 272, 293, 300, 311, 374, Median 300
  2. Team Süd geordnet: 289, 297, 313, 317, 354, Median 313
  3. 313 ist mehr als 300.
Ergebnis:
Team Süd (Median 313 gegen 300)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 33, 28, 12, 22, 55. Gruppe Falken: 39, 19, 19, 44, 49. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 33 + 28 + 12 + 22 + 55 = 150, 150 : 5 = 30
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 33 + 28 + 12 + 22 + 55 = 150, 150 : 5 = 30
    2. Gruppe Falken: 39 + 19 + 19 + 44 + 49 = 170, 170 : 5 = 34
    3. 34 − 30 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 4 min
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 294, 299, 255, 352, 360. Team Süd: 282, 326, 370, 363, 274. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 294 + 299 + 255 + 352 + 360 = 1560, 1560 : 5 = 312
    2. Team Süd: 282 + 326 + 370 + 363 + 274 = 1615, 1615 : 5 = 323
    3. 323 ist mehr als 312.
    Ergebnis:
    Team Süd (323 cm gegen 312 cm)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 10, 13, 10, 13, 12. Team Süd: 4, 18, 18, 13, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 8 + 10 + 13 + 10 + 13 + 12 = 66, 66 : 6 = 11
    2. Team Süd: 4 + 18 + 18 + 13 + 12 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Team Süd (13 Treffer gegen 11 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 158, 24, 20, 30. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte020406080100120140160
Schritt für Schritt
  1. 158 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 250 : 5 = 50
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
  1. 158 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 250 : 5 = 50
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
Ergebnis:
Ausreißer 158, Mittelwert 50 statt 23

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 29, 165, 21, 13. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    So fängst du an:
    165 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 165 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 245 : 5 = 49
    3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
    Ergebnis:
    Ausreißer 165, Mittelwert 49 statt 20
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 14, 15, 213, 22. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 285 : 5 = 57
    2. Geordnet: 14, 15, 21, 22, 213, Median 21
    3. Der Wert 213 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (21 statt 57)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 9, 37, 9, 6, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 5, 6, 6, 9, 9, 37, Median 7,5
    3. Der Wert 37 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7,5 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 16, 8, 19, 25. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
  2. Summe der bekannten: 16 + 8 + 19 + 25 = 68
  3. 85 − 68 = 17
  1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
  2. Summe der bekannten: 16 + 8 + 19 + 25 = 68
  3. 85 − 68 = 17
Ergebnis:
17 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 317 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 346, 301, 316, 322. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher300310320330340350360?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 317 = 1585
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 317 = 1585
    2. Summe der bekannten: 346 + 301 + 316 + 322 = 1285
    3. 1585 − 1285 = 300
    Ergebnis:
    300 cm
  2. ●8
    Noah möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 19, 15, 20. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher15161718192021?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 19 + 15 + 20 = 54
    3. 76 − 54 = 22
    Ergebnis:
    22 Punkte
  3. ★9
    Lukas hat in 3 Spielen im Mittel 7 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 10 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 7 = 21
    2. Summe nachher: 4 · 10 = 40
    3. 40 − 21 = 19
    Ergebnis:
    19 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 31 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A8 von 10B31 von 50
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 810 = 0,8
  2. Schule am See: 3150 = 0,62
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 810 = 0,8
  2. Schule am See: 3150 = 0,62
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 10 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 40B12 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 1040 = 0,25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1040 = 0,25
    2. Schule am See: 1250 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 5 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A3 von 10B5 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 310 = 0,3
    2. Schule am See: 525 = 0,2
    3. 0,3 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,3)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 30 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 22 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B30 von 40C22 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 210 = 0,2
    2. Schule am See: 3040 = 0,75
    3. Schule am Markt: 2250 = 0,44
    4. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,75)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 26 Kinder der Klasse 6a. 13 Kinder der Klasse 6a und 6 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 42 − 26 = 16
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 16 − 6 = 10
  3. Kontrolle: 13 + 13 + 6 + 10 = 42
  1. Kinder der Klasse 6b: 42 − 26 = 16
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 16 − 6 = 10
  3. Kontrolle: 13 + 13 + 6 + 10 = 42
Ergebnis:
10

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 9 Mädchen und 7 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 28 − 17 = 11
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 28 − 17 = 11
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 11 − 7 = 4
    3. Kontrolle: 9 + 8 + 7 + 4 = 28
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a14??Klasse 6b7916gesamt?16?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 16 − 9 = 7
    2. Zeile Klasse 6a: 14 + 7 = 21
    3. Insgesamt: 21 + 16 = 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 6 Mädchen und 6 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 28 − 17 = 11
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 11 − 6 = 5
    3. Kontrolle: 6 + 11 + 6 + 5 = 28
    Ergebnis:
    5

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer32338198
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 38 : 100 = 0,38
  3. 198 : 500 = 0,396
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 38 : 100 = 0,38
  3. 198 : 500 = 0,396
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,396

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer3151996
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 96 : 500 = 0,192
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,19.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,192
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer181583
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 8 : 50 = 0,16
    Ergebnis:
    0,16
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11341195
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 41 : 200 = 0,205
    3. 195 : 1000 = 0,195
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,195

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 4 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 4: 1 und 4; 2 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 18, 11, 10, 10, 11. Jungen: 18, 15, 16, 3, 3. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 18 + 11 + 10 + 10 + 11 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Jungen: 18 + 15 + 16 + 3 + 3 = 55, 55 : 5 = 11
    3. 12 − 11 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Treffer
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 20, 17, 22, 19, 22. Jungen: 26, 7, 26, 34, 7. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 22 − 17 = 5
    2. Jungen: 34 − 7 = 27
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 27)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 37, 4, 9, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 37
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 37.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 9, 17, 28. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 9 + 17 + 28 = 54
    3. 68 − 54 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 10Team Süd17 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 1740 = 0,425
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 2-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer2 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 210
    2. Gekürzt: 210 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 2 : 10 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 12, 20, 22, 11, 25. Team Süd: 10, 26, 29, 10, 25. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 25, 54, 49, 40, 247. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 83 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 27 min. Bekannt sind 16, 53, 28, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 min

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11624127
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,254

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 4 min
  2. Team Süd (323 cm gegen 312 cm)
  3. Team Süd (13 Treffer gegen 11 Treffer)
  4. Ausreißer 165, Mittelwert 49 statt 20
  5. Median (21 statt 57)
  6. Median (7,5 statt 12)
  7. 300 cm
  8. 22 Punkte
  9. 19 Punkte
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Schule am Park (0,3)
  12. Schule am See (0,75)
  13. 4
  14. 37
  15. 5
  16. Nein, eher 0,192
  17. 0,16
  18. 0,195
  19. 19
  20. 5 Ergebnisse
  21. 3 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Mädchen, um 1 Treffer
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 27)
  27. Nein, der Median 8 passt besser
  28. 14 Punkte
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 15 = 0,2
  31. Team Süd, um 2 Punkte
  32. Nein, der Median 49 passt besser
  33. 14 min
  34. 0,254
  35. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  36. x̄ = 10,2
  37. Median 8; Spannweite 16