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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 14, 15, 13, 4, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 14, 5, 14, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 10, 12, 14, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 14 − 5 = 9
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 6, 15, 25, 29. Jungen: 29, 10, 19, 16, 21. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen51015202530
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 30 + 6 + 15 + 25 + 29 = 105, 105 : 5 = 21
  2. Jungen: 29 + 10 + 19 + 16 + 21 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 21 − 19 = 2
  1. Mädchen: 30 + 6 + 15 + 25 + 29 = 105, 105 : 5 = 21
  2. Jungen: 29 + 10 + 19 + 16 + 21 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 21 − 19 = 2
Ergebnis:
Mädchen, um 2 Hundert Schritte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 18, 33, 39, 29, 21. Gruppe Falken: 23, 8, 31, 36, 32. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 18 + 33 + 39 + 29 + 21 = 140, 140 : 5 = 28
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 18 + 33 + 39 + 29 + 21 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Gruppe Falken: 23 + 8 + 31 + 36 + 32 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 28 ist mehr als 26.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 28, 19, 17, 23, 8. Gruppe Falken: 12, 9, 28, 26, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 8, 17, 19, 23, 28, Median 19
    2. Gruppe Falken geordnet: 9, 12, 25, 26, 28, Median 25
    3. 25 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 25 gegen 19)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 13, 12, 21, 21, 17. Jungen: 24, 39, 39, 9, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 12, 13, 17, 21, 21, 30, Median 19
    2. Jungen geordnet: 9, 14, 24, 39, 39, Median 24
    3. 24 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 24 gegen 19)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 53, 301, 37, 43, 51. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 485 : 5 = 97
  2. Geordnet: 37, 43, 51, 53, 301, Median 51
  3. Der Wert 301 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 485 : 5 = 97
  2. Geordnet: 37, 43, 51, 53, 301, Median 51
  3. Der Wert 301 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (51 statt 97)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 26, 59, 243, 55. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    243 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 243 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 415 : 5 = 83
    3. Ohne ihn: 172 : 4 = 43
    Ergebnis:
    Ausreißer 243, Mittelwert 83 statt 43
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 45, 4, 3, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 8, 8, 5, 6, 43. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 43 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 78 : 6 = 13
    3. Ohne ihn: 35 : 5 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 43, Mittelwert 13 statt 7

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 296 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 374, 254, 252. Welches Ergebnis fehlt?
bisher240260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 296 = 1184
  2. Summe der bekannten: 374 + 254 + 252 = 880
  3. 1184 − 880 = 304
  1. Summe aller Werte: 4 · 296 = 1184
  2. Summe der bekannten: 374 + 254 + 252 = 880
  3. 1184 − 880 = 304
Ergebnis:
304 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 29 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 36, 23, 24, 20. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher20222426283032343638?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
    2. Summe der bekannten: 36 + 23 + 24 + 20 = 103
    3. 145 − 103 = 42
    Ergebnis:
    42 min
  2. ●8
    Mila möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 10, 19, 23, 17. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher101214161820222426?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    2. Summe der bekannten: 10 + 19 + 23 + 17 = 69
    3. 90 − 69 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 292 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 251, 355, 246, 332, 314. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 292 = 1752
    2. Summe der bekannten: 251 + 355 + 246 + 332 + 314 = 1498
    3. 1752 − 1498 = 254
    Ergebnis:
    254 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A6 von 10B9 von 20
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 610 = 0,6
  2. Fußball-AG: 920 = 0,45
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 610 = 0,6
  2. Fußball-AG: 920 = 0,45
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 31-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord31 von 50Team Süd8 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 3150 = 0,62
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3150 = 0,62
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 10 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 20B16 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1020 = 0,5
    2. Fußball-AG: 1650 = 0,32
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 29 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 15 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A29 von 40B15 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2940 = 0,725
    2. Fußball-AG: 1520 = 0,75
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Haustierkein TiergesamtMädchen14??Jungen12618gesamt?13?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Tier: 13 − 6 = 7
  2. Zeile Mädchen: 14 + 7 = 21
  3. Insgesamt: 21 + 18 = 39
  1. Spalte kein Tier: 13 − 6 = 7
  2. Zeile Mädchen: 14 + 7 = 21
  3. Insgesamt: 21 + 18 = 39
Ergebnis:
39

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 13 Mädchen und 15 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 42 − 19 = 23
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 42 − 19 = 23
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 23 − 15 = 8
    3. Kontrolle: 13 + 6 + 15 + 8 = 42
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen9?14Jungen101222gesamt191736
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 14.
    2. 14 − 9 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 12 = 17
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 581119Klasse 6?59gesamt121628
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 9.
    2. 9 − 5 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    4

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer21642195
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 195 : 500 = 0,39
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 195 : 500 = 0,39
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,39

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51633176
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 33 : 100 = 0,33
    Ergebnis:
    0,33
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11933145
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 19 : 50 = 0,38
    Ergebnis:
    0,38
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer32085400
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 400 : 1000 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 2 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 33, 37, 18, 22, 25. Gruppe Falken: 18, 26, 26, 32, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 33 + 37 + 18 + 22 + 25 = 135, 135 : 5 = 27
    2. Gruppe Falken: 18 + 26 + 26 + 32 + 28 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 27 ist mehr als 26.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 17, 7, 6, 12, 13. Team Süd: 11, 10, 10, 12, 12. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 55 : 5 = 11
    2. Team Nord: 17 − 6 = 11
    3. Team Süd: 12 − 10 = 2
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 2 gegen 11)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 51, 3, 5, 9. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 51
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 12, 12, 11, 8. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher8910111213?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 12 + 12 + 11 + 8 = 43
    3. 50 − 43 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 18 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 20 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 25B20 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1825 = 0,72
    2. Schule am See: 2050 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 17 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 35, 60, 43, 22, 45. Jungen: 34, 43, 31, 48, 34. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen202530354045505560
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 43 gegen 34)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 3, 5, 8, 36. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 4, 14, 7. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher46810121416?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A4 von 10B9 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 6 Mädchen und 12 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  2. Gruppe Falken (Median 25 gegen 19)
  3. Jungen (Median 24 gegen 19)
  4. Ausreißer 243, Mittelwert 83 statt 43
  5. Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  6. Ausreißer 43, Mittelwert 13 statt 7
  7. 42 min
  8. 21 Punkte
  9. 254 cm
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  13. 8
  14. 5
  15. 4
  16. 0,33
  17. 0,38
  18. 0,4
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 5 Ergebnisse
  21. 3 Ergebnisse
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. fair (3 zu 3)
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 26 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 2 gegen 11)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 7 Treffer
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 1720 = 0,85
  31. Mädchen (Median 43 gegen 34)
  32. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  33. 10 Treffer
  34. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  35. 4
  36. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  37. x̄ = 11,2
  38. Median 12; Spannweite 9