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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●32
    Punkte im Test: 7, 8, 8, 7, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,2
  2. ●33
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 12, 10, 17, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 10, 10, 12, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 17 − 3 = 14
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 17, 12, 13, 12. Jungen: 3, 17, 7, 15, 3. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 6 + 17 + 12 + 13 + 12 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Jungen: 3 + 17 + 7 + 15 + 3 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 12 ist mehr als 9.
  1. Mädchen: 6 + 17 + 12 + 13 + 12 = 60, 60 : 5 = 12
  2. Jungen: 3 + 17 + 7 + 15 + 3 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 12 ist mehr als 9.
Ergebnis:
Mädchen (12 Treffer gegen 9 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 352, 370, 258, 280, 280. Gruppe Falken: 269, 336, 252, 285, 373. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 352 + 370 + 258 + 280 + 280 = 1540, 1540 : 5 = 308
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 352 + 370 + 258 + 280 + 280 = 1540, 1540 : 5 = 308
    2. Gruppe Falken: 269 + 336 + 252 + 285 + 373 = 1515, 1515 : 5 = 303
    3. 308 ist mehr als 303.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (308 cm gegen 303 cm)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 23, 36, 9, 15, 22. Jungen: 11, 30, 27, 35, 22. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 23 + 36 + 9 + 15 + 22 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Jungen: 11 + 30 + 27 + 35 + 22 = 125, 125 : 5 = 25
    3. 25 − 21 = 4
    Ergebnis:
    Jungen, um 4 Hundert Schritte
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 278, 350, 370, 325, 327. Team Süd: 251, 242, 319, 364, 332, 388. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 278, 325, 327, 350, 370, Median 327
    2. Team Süd geordnet: 242, 251, 319, 332, 364, 388, Median 325,5
    3. 327 ist mehr als 325,5.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 327 gegen 325,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 2, 40, 6, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 2, 3, 6, 9, 40, Median 6
  3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 2, 3, 6, 9, 40, Median 6
  3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 12)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 31, 350, 55, 25, 29. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    Mittelwert: 490 : 5 = 98
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 490 : 5 = 98
    2. Geordnet: 25, 29, 31, 55, 350, Median 31
    3. Der Wert 350 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (31 statt 98)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 6, 2, 7, 51. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 51
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 22, 12, 152, 22, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. 152 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 252 : 6 = 42
    3. Ohne ihn: 100 : 5 = 20
    Ergebnis:
    Ausreißer 152, Mittelwert 42 statt 20

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 11, 8, 15. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 11 + 8 + 15 = 34
  3. 44 − 34 = 10
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 11 + 8 + 15 = 34
  3. 44 − 34 = 10
Ergebnis:
10 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 294 cm. Bekannt sind 304, 258, 310. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 294 = 1176
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 294 = 1176
    2. Summe der bekannten: 304 + 258 + 310 = 872
    3. 1176 − 872 = 304
    Ergebnis:
    304 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 6, 11, 16, 9. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 6 + 11 + 16 + 9 = 42
    3. 55 − 42 = 13
    Ergebnis:
    13 Treffer
  3. ★9
    Aylin hat in 4 Spielen im Mittel 9 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 12 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 4 · 9 = 36
    2. Summe nachher: 5 · 12 = 60
    3. 60 − 36 = 24
    Ergebnis:
    24 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 11 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A11 von 20B5 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1120 = 0,55
  2. Fußball-AG: 510 = 0,5
  3. 0,55 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 1120 = 0,55
  2. Fußball-AG: 510 = 0,5
  3. 0,55 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,55)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 8 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 20B13 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 820 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 820 = 0,4
    2. Schule am See: 1340 = 0,325
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord6 von 25Team Süd27 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 625 = 0,24
    2. Team Süd: 2740 = 0,675
    3. 0,675 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,675)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 22 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A22 von 40B14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2240 = 0,55
    2. Schule am See: 1420 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 44 Kinder mit, davon sind 21 Kinder aus Klasse 5. 14 Kinder aus Klasse 5 und 14 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 44 − 21 = 23
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 23 − 14 = 9
  3. Kontrolle: 14 + 7 + 14 + 9 = 44
  1. Kinder aus Klasse 6: 44 − 21 = 23
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 23 − 14 = 9
  3. Kontrolle: 14 + 7 + 14 + 9 = 44
Ergebnis:
9

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen141428Jungen6?16gesamt202444
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 16.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 16.
    2. 16 − 6 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 14 = 24
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?721Klasse 615823gesamt291544
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 21.
    2. 21 − 7 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 15 = 29
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 515??Klasse 6121426gesamt?25?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 25 − 14 = 11
    2. Zeile Klasse 5: 15 + 11 = 26
    3. Insgesamt: 26 + 26 = 52
    Ergebnis:
    52

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31124123
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 123 : 500 = 0,246
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 123 : 500 = 0,246
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,246

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer5926120
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 120 : 500 = 0,24
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,24.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,24
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer22139180
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    0,42
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer11043193
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 193 : 1000 = 0,193
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,19.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,193

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 363, 244, 270, 319, 349. Gruppe Falken: 326, 316, 253, 390, 320. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 363 + 244 + 270 + 319 + 349 = 1545, 1545 : 5 = 309
    2. Gruppe Falken: 326 + 316 + 253 + 390 + 320 = 1605, 1605 : 5 = 321
    3. 321 − 309 = 12
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 12 cm
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 38, 43, 35, 37, 37. Gruppe Falken: 55, 32, 26, 21, 56. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 190 : 5 = 38
    2. Gruppe Adler: 43 − 35 = 8
    3. Gruppe Falken: 56 − 21 = 35
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 8 gegen 35)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 4, 7, 5, 36. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 36
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 18, 16, 3. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 10 + 18 + 16 + 3 = 47
    3. 55 − 47 = 8
    Ergebnis:
    8 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 25Team Süd5 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1425 = 0,56
    2. Team Süd: 520 = 0,25
    3. 0,56 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,56)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 49-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer49 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 49100
    2. 49100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 49 : 100 = 0,49
    Ergebnis:
    49100 = 0,49

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    31
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (308 cm gegen 303 cm)
  2. Jungen, um 4 Hundert Schritte
  3. Team Nord (Median 327 gegen 325,5)
  4. Median (31 statt 98)
  5. Nein, der Median 7 passt besser
  6. Ausreißer 152, Mittelwert 42 statt 20
  7. 304 cm
  8. 13 Treffer
  9. 24 Punkte
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Team Süd (0,675)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 14
  15. 52
  16. Nein, eher 0,24
  17. 0,42
  18. Nein, eher 0,193
  19. 5 Ergebnisse
  20. 3 Ergebnisse
  21. 3 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. fair (3 zu 3)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Gruppe Falken, um 12 cm
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 8 gegen 35)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 8 Treffer
  29. Team Nord (0,56)
  30. 49100 = 0,49
  31. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  32. x̄ = 7,2
  33. Median 10; Spannweite 14