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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 2, 12, 10, 10, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 12, 9, 19, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 11, 12, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 31, 16, 15, 30, 33. Gruppe Falken: 37, 14, 8, 21, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 31 + 16 + 15 + 30 + 33 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Gruppe Falken: 37 + 14 + 8 + 21 + 15 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 25 − 19 = 6
  1. Gruppe Adler: 31 + 16 + 15 + 30 + 33 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Gruppe Falken: 37 + 14 + 8 + 21 + 15 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 25 − 19 = 6
Ergebnis:
Gruppe Adler, um 6 Hundert Schritte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 253, 343, 285, 318, 301. Gruppe Falken: 336, 358, 277, 324, 240. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 253 + 343 + 285 + 318 + 301 = 1500, 1500 : 5 = 300
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 253 + 343 + 285 + 318 + 301 = 1500, 1500 : 5 = 300
    2. Gruppe Falken: 336 + 358 + 277 + 324 + 240 = 1535, 1535 : 5 = 307
    3. 307 ist mehr als 300.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (307 cm gegen 300 cm)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 27, 20, 8, 21, 29. Jungen: 8, 19, 37, 6, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 8, 20, 21, 27, 29, Median 21
    2. Jungen geordnet: 6, 8, 19, 25, 37, Median 19
    3. 21 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 21 gegen 19)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 31, 18, 14, 9, 18. Gruppe Falken: 22, 13, 38, 35. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 31 + 18 + 14 + 9 + 18 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Gruppe Falken: 22 + 13 + 38 + 35 = 108, 108 : 4 = 27
    3. 27 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (27 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 5, 3, 50, 4, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
  2. Geordnet: 3, 4, 5, 8, 50, Median 5
  3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
  2. Geordnet: 3, 4, 5, 8, 50, Median 5
  3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5 statt 14)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 7, 4, 4, 46. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Geordnet: 4, 4, 7, 9, 46
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 4, 7, 9, 46
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 3, 46, 8, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 8, 8, 46
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 35, 3, 4, 3, 8, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 10 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 3, 4, 7, 8, 35
    2. Median: 5,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 304 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 280, 365, 389, 243. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher240260280300320340360380400420?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 304 = 1520
  2. Summe der bekannten: 280 + 365 + 389 + 243 = 1277
  3. 1520 − 1277 = 243
  1. Summe aller Werte: 5 · 304 = 1520
  2. Summe der bekannten: 280 + 365 + 389 + 243 = 1277
  3. 1520 − 1277 = 243
Ergebnis:
243 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 8 Treffer. Bekannt sind 8, 9, 4, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    2. Summe der bekannten: 8 + 9 + 4 + 14 = 35
    3. 40 − 35 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 36 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 41, 40, 23. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher20253035404550?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
    2. Summe der bekannten: 41 + 40 + 23 = 104
    3. 144 − 104 = 40
    Ergebnis:
    40 min
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 45, 17, 53, 49, 18. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher15202530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 35 = 210
    2. Summe der bekannten: 45 + 17 + 53 + 49 + 18 = 182
    3. 210 − 182 = 28
    Ergebnis:
    28 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 11 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A11 von 25B8 von 40
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1125 = 0,44
  2. Fußball-AG: 840 = 0,2
  3. 0,44 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 1125 = 0,44
  2. Fußball-AG: 840 = 0,2
  3. 0,44 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,44)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 23 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A13 von 20B23 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1320 = 0,65
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1320 = 0,65
    2. Fußball-AG: 2350 = 0,46
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 23 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A23 von 40B2 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2340 = 0,575
    2. Schule am See: 210 = 0,2
    3. 0,575 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,575)
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 6 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 20B5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 620 = 0,3
    2. Fußball-AG: 510 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 44 Kinder mit, davon sind 20 Kinder aus Klasse 5. 8 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 44 − 20 = 24
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 24 − 12 = 12
  3. Kontrolle: 8 + 12 + 12 + 12 = 44
  1. Kinder aus Klasse 6: 44 − 20 = 24
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 24 − 12 = 12
  3. Kontrolle: 8 + 12 + 12 + 12 = 44
Ergebnis:
12

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 20 Kinder aus Klasse 5. 6 Kinder aus Klasse 5 und 8 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 35 − 20 = 15
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 35 − 20 = 15
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 15 − 8 = 7
    3. Kontrolle: 6 + 14 + 8 + 7 = 35
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 14 Kinder der Klasse 6a. 6 Kinder der Klasse 6a und 5 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 33 − 14 = 19
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 19 − 5 = 14
    3. Kontrolle: 6 + 8 + 5 + 14 = 33
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9?15Jungen14923gesamt231538
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 15.
    2. 15 − 9 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 9 = 15
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer491482
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 14 : 100 = 0,14
  3. 82 : 500 = 0,164
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 14 : 100 = 0,14
  3. 82 : 500 = 0,164
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,164

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41416101
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 16 : 100 = 0,16
    3. 101 : 500 = 0,202
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,202
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer1112298
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 11 : 50 = 0,22
    Ergebnis:
    0,22
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer31565290
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 65 : 200 = 0,325
    Ergebnis:
    0,325

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 4 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 4: 1 und 4; 2 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 39, 32, 29, 16, 24. Gruppe Falken: 35, 8, 34, 14, 14. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 39 + 32 + 29 + 16 + 24 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Gruppe Falken: 35 + 8 + 34 + 14 + 14 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 28 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 10, 11, 11, 10. Team Süd: 4, 15, 11, 8, 12. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 50 : 5 = 10
    2. Team Nord: 11 − 8 = 3
    3. Team Süd: 15 − 4 = 11
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 3 gegen 11)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 221, 22, 30, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 221 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 305 : 5 = 61
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 221, Mittelwert 61 statt 21
  4. ●28
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 35 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 21, 39, 12, 57. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
    2. Summe der bekannten: 21 + 39 + 12 + 57 = 129
    3. 175 − 129 = 46
    Ergebnis:
    46 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 6 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 25B9 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 625 = 0,24
    2. Fußball-AG: 920 = 0,45
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,45)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 10-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer10 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1020
    2. Gekürzt: 1020 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 10 : 20 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 35, 38, 30, 29, 8. Gruppe Falken: 15, 21, 36, 26, 22. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 56, 254, 27, 41, 32. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (41 statt 82)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 319 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 271, 386, 361, 291. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    286 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 13 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 24 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 50B24 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,6)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 50 Kinder mit, davon sind 26 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer191987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,18

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (307 cm gegen 300 cm)
  2. Mädchen (Median 21 gegen 19)
  3. Gruppe Falken (27 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
  4. Nein, der Median 7 passt besser
  5. Nein, der Median 8 passt besser
  6. Nein, der Median 5,5 passt besser
  7. 5 Treffer
  8. 40 min
  9. 28 min
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Schule am Park (0,575)
  12. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  13. 7
  14. 14
  15. 6
  16. 0,202
  17. 0,22
  18. 0,325
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  21. 3 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. fair (18 zu 18)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 3 gegen 11)
  27. Ausreißer 221, Mittelwert 61 statt 21
  28. 46 min
  29. Fußball-AG (0,45)
  30. 12 = 0,5
  31. Gruppe Adler (28 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)
  32. Median (41 statt 82)
  33. 286 cm
  34. Fußball-AG (0,6)
  35. 9
  36. 0,18
  37. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  38. x̄ = 8,8
  39. Median 11; Spannweite 17