Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 2, 11, 4, 9, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,8
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 4, 4, 9, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 4, 9, 11, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 280, 305, 381, 298, 316. Gruppe Falken: 261, 381, 296, 352, 265. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 280 + 305 + 381 + 298 + 316 = 1580, 1580 : 5 = 316
  2. Gruppe Falken: 261 + 381 + 296 + 352 + 265 = 1555, 1555 : 5 = 311
  3. 316 ist mehr als 311.
  1. Gruppe Adler: 280 + 305 + 381 + 298 + 316 = 1580, 1580 : 5 = 316
  2. Gruppe Falken: 261 + 381 + 296 + 352 + 265 = 1555, 1555 : 5 = 311
  3. 316 ist mehr als 311.
Ergebnis:
Gruppe Adler (316 cm gegen 311 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 18, 13, 9, 14, 11. Jungen: 8, 8, 16, 12, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen81012141618
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 9, 11, 13, 14, 18, Median 13
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 11, 13, 14, 18, Median 13
    2. Jungen geordnet: 8, 8, 12, 16, 16, Median 12
    3. 13 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 13 gegen 12)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 22, 25, 42, 13, 33. Gruppe Falken: 55, 36, 43, 25, 31. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 13, 22, 25, 33, 42, Median 25
    2. Gruppe Falken geordnet: 25, 31, 36, 43, 55, Median 36
    3. 36 ist mehr als 25.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 36 gegen 25)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 350, 241, 330, 328, 266. Gruppe Falken: 353, 248, 304, 316, 364. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 350 + 241 + 330 + 328 + 266 = 1515, 1515 : 5 = 303
    2. Gruppe Falken: 353 + 248 + 304 + 316 + 364 = 1585, 1585 : 5 = 317
    3. 317 − 303 = 14
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 14 cm

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 43, 382, 37, 35, 33. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 530 : 5 = 106
  2. Geordnet: 33, 35, 37, 43, 382, Median 37
  3. Der Wert 382 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 530 : 5 = 106
  2. Geordnet: 33, 35, 37, 43, 382, Median 37
  3. Der Wert 382 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (37 statt 106)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 22, 27, 20, 165, 11. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 49 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    So fängst du an:
    Geordnet: 11, 20, 22, 27, 165
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 20, 22, 27, 165
    2. Median: 22
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 165.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 22 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 9, 36, 7, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 36
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 15, 30, 207, 22, 17. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 52 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 15, 17, 21, 22, 30, 207
    2. Median: 21,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 207.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 8, 4. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher4681012141618?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 16 + 8 + 4 = 28
  3. 44 − 28 = 16
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 16 + 8 + 4 = 28
  3. 44 − 28 = 16
Ergebnis:
16 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 13, 7, 9. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher7891011121314?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 9 + 13 + 7 + 9 = 38
    3. 55 − 38 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  2. ●8
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 27 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 21, 18. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher18192021222324252627?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
    2. Summe der bekannten: 26 + 21 + 18 = 65
    3. 108 − 65 = 43
    Ergebnis:
    43 min
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 27 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 30, 24, 19, 17, 25. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher161820222426283032?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 27 = 162
    2. Summe der bekannten: 30 + 24 + 19 + 17 + 25 = 115
    3. 162 − 115 = 47
    Ergebnis:
    47 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 12 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A12 von 20B8 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1220 = 0,6
  2. Schule am See: 825 = 0,32
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 1220 = 0,6
  2. Schule am See: 825 = 0,32
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 20B12 von 40
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1320 = 0,65
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1320 = 0,65
    2. Fußball-AG: 1240 = 0,3
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,65)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 30 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B30 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 810 = 0,8
    2. Fußball-AG: 3050 = 0,6
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 29-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord29 von 40Team Süd8 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2940 = 0,725
    2. Team Süd: 825 = 0,32
    3. 0,725 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,725)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 5101222Klasse 613?26gesamt232548
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 26.
  2. 26 − 13 = 13
  3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 12 = 25
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 26.
  2. 26 − 13 = 13
  3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 12 = 25
Ergebnis:
13

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a538Klasse 6b6?13gesamt111021
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 13.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 13.
    2. 13 − 6 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 3 = 10
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a14?18Klasse 6b131326gesamt271744
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    2. 18 − 14 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 13 = 17
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 43 Kinder mit, davon sind 25 Mädchen. 15 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 43 − 25 = 18
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 5 = 13
    3. Kontrolle: 15 + 10 + 5 + 13 = 43
    Ergebnis:
    13

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer32043200
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 200 : 500 = 0,4
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 200 : 500 = 0,4
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
Ergebnis:
Nein, eher 0,4

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer62137198
    So fängst du an:
    6 : 10 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 37 : 100 = 0,37
    3. 198 : 500 = 0,396
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,396
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer351981
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 19 : 100 = 0,19
    3. 81 : 500 = 0,162
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,162
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer41664343
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 64 : 200 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 2 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 2: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 3-mal so oft.
  4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 3-mal so oft.
  4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
3 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 26, 23, 11, 24, 11. Gruppe Falken: 14, 25, 20, 21, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 26 + 23 + 11 + 24 + 11 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Falken: 14 + 25 + 20 + 21 + 10 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 19 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 363, 264, 361, 282, 350. Gruppe Falken: 311, 336, 320, 322, 331. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 363 − 264 = 99
    2. Gruppe Falken: 336 − 311 = 25
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 25 gegen 99)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 219, 21, 10, 30, 15. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 59 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 15, 21, 30, 219
    2. Median: 21
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 219.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21 passt besser
  4. ●28
    Tim möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 16 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 21, 14, 9, 22. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher81012141618202224?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
    2. Summe der bekannten: 21 + 14 + 9 + 22 = 66
    3. 80 − 66 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 20Team Süd8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,8)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 33-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer33 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3350
    2. 3350 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 33 : 50 = 0,66
    Ergebnis:
    3350 = 0,66

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 17, 22, 54, 20, 57. Jungen: 30, 42, 26, 19, 18. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen15202530354045505560
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen, um 7 min

  2. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    32
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 329 cm. Bekannt sind 333, 375, 349. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    259 cm

  3. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    33
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer2111387
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,174

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 13 gegen 12)
  2. Gruppe Falken (Median 36 gegen 25)
  3. Gruppe Falken, um 14 cm
  4. Nein, der Median 22 passt besser
  5. Nein, der Median 7 passt besser
  6. Nein, der Median 21,5 passt besser
  7. 17 Treffer
  8. 43 min
  9. 47 min
  10. Theater-AG (0,65)
  11. Theater-AG (0,8)
  12. Team Nord (0,725)
  13. 7
  14. 4
  15. 13
  16. 0,396
  17. 0,162
  18. 0,32
  19. 5 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. fair (18 zu 18)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 25 gegen 99)
  27. Nein, der Median 21 passt besser
  28. 14 Punkte
  29. Team Süd (0,8)
  30. 3350 = 0,66
  31. Mädchen, um 7 min
  32. 259 cm
  33. Nein, eher 0,174
  34. fair (15 zu 15)
  35. x̄ = 5,8
  36. Median 9; Spannweite 16