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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 11, 14, 9, 2, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,2
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 8, 10, 15, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 9, 10, 11, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 15 − 8 = 7
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 36, 23, 36, 37, 28. Gruppe Falken: 13, 39, 27, 59, 32. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 23, 28, 36, 36, 37, Median 36
  2. Gruppe Falken geordnet: 13, 27, 32, 39, 59, Median 32
  3. 36 ist mehr als 32.
  1. Gruppe Adler geordnet: 23, 28, 36, 36, 37, Median 36
  2. Gruppe Falken geordnet: 13, 27, 32, 39, 59, Median 32
  3. 36 ist mehr als 32.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 36 gegen 32)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 385, 354, 260, 371, 330. Team Süd: 252, 251, 334, 384, 324. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord: 385 + 354 + 260 + 371 + 330 = 1700, 1700 : 5 = 340
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 385 + 354 + 260 + 371 + 330 = 1700, 1700 : 5 = 340
    2. Team Süd: 252 + 251 + 334 + 384 + 324 = 1545, 1545 : 5 = 309
    3. 340 ist mehr als 309.
    Ergebnis:
    Team Nord (340 cm gegen 309 cm)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 6, 21, 29, 31, 23. Jungen: 9, 23, 9, 22, 37. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 6 + 21 + 29 + 31 + 23 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Jungen: 9 + 23 + 9 + 22 + 37 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 22 − 20 = 2
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 Hundert Schritte
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 36, 55, 27, 41, 59, 10. Jungen: 43, 21, 46, 18, 41, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 10, 27, 36, 41, 55, 59, Median 38,5
    2. Jungen geordnet: 17, 18, 21, 41, 43, 46, Median 31
    3. 38,5 ist mehr als 31.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 38,5 gegen 31)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 57, 360, 36, 43, 44. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 540 : 5 = 108
  2. Geordnet: 36, 43, 44, 57, 360, Median 44
  3. Der Wert 360 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 540 : 5 = 108
  2. Geordnet: 36, 43, 44, 57, 360, Median 44
  3. Der Wert 360 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (44 statt 108)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 9, 46, 3, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Mittelwert: 70 : 5 = 14
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 3, 3, 9, 9, 46, Median 9
    3. Der Wert 46 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 14)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 3, 6, 4, 50. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 50 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 13, 27, 16, 167, 12. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 42 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 13, 16, 17, 27, 167
    2. Median: 16,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 167.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 16,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 42 min. Bekannt sind 56, 16, 44. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
  2. Summe der bekannten: 56 + 16 + 44 = 116
  3. 168 − 116 = 52
  1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
  2. Summe der bekannten: 56 + 16 + 44 = 116
  3. 168 − 116 = 52
Ergebnis:
52 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 42 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 45, 50, 17. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher152025303540455055?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    2. Summe der bekannten: 45 + 50 + 17 = 112
    3. 168 − 112 = 56
    Ergebnis:
    56 min
  2. ●8
    Lukas möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 18, 7, 14. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 12 + 18 + 7 + 14 = 51
    3. 55 − 51 = 4
    Ergebnis:
    4 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 10, 7, 6, 8, 16. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 9 = 54
    2. Summe der bekannten: 10 + 7 + 6 + 8 + 16 = 47
    3. 54 − 47 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord10 von 20Team Süd19 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1020 = 0,5
  2. Team Süd: 1940 = 0,475
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 1020 = 0,5
  2. Team Süd: 1940 = 0,475
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 3-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord4 von 20Team Süd3 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 420 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 420 = 0,2
    2. Team Süd: 310 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 31 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 34 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A31 von 40B34 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3140 = 0,775
    2. Fußball-AG: 3450 = 0,68
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd9 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 925 = 0,36
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen6??Jungen5611gesamt?20?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 20 − 6 = 14
  2. Zeile Mädchen: 6 + 14 = 20
  3. Insgesamt: 20 + 11 = 31
  1. Spalte kein Frühstück: 20 − 6 = 14
  2. Zeile Mädchen: 6 + 14 = 20
  3. Insgesamt: 20 + 11 = 31
Ergebnis:
31

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a11920Klasse 6b?714gesamt181634
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
    2. 14 − 7 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 11 = 18
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 17 Kinder aus Klasse 5. 14 Kinder aus Klasse 5 und 5 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 29 − 17 = 12
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 12 − 5 = 7
    3. Kontrolle: 14 + 3 + 5 + 7 = 29
    Ergebnis:
    7
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 9 Mädchen. 4 Mädchen und 15 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 28 − 9 = 19
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 19 − 15 = 4
    3. Kontrolle: 4 + 5 + 15 + 4 = 28
    Ergebnis:
    4

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer262094
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 94 : 500 = 0,188
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,19.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 94 : 500 = 0,188
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,19.
Ergebnis:
Nein, eher 0,188

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer11129154
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 29 : 100 = 0,29
    3. 154 : 500 = 0,308
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,308
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51537181
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 37 : 100 = 0,37
    3. 181 : 500 = 0,362
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,362
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer3940167
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 40 : 200 = 0,2
    3. 167 : 1000 = 0,167
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,167

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. 4 von 36, also 436 = 19
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. 4 von 36, also 436 = 19
Ergebnis:
19

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 305, 334, 284, 384, 273. Gruppe Falken: 285, 354, 328, 357, 336. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 305 + 334 + 284 + 384 + 273 = 1580, 1580 : 5 = 316
    2. Gruppe Falken: 285 + 354 + 328 + 357 + 336 = 1660, 1660 : 5 = 332
    3. 332 ist mehr als 316.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (332 cm gegen 316 cm)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 20, 24, 32, 19, 35. Gruppe Falken: 29, 25, 29, 23, 24. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken18202224262830323436
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 130 : 5 = 26
    2. Gruppe Adler: 35 − 19 = 16
    3. Gruppe Falken: 29 − 23 = 6
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 16)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 40, 6, 3, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 6, 6, 40
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 40.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  4. ●28
    Lukas möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 8 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 5, 10. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher567891011?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    2. Summe der bekannten: 9 + 5 + 10 = 24
    3. 32 − 24 = 8
    Ergebnis:
    8 Treffer
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 11 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A11 von 40B3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1140 = 0,275
    2. Fußball-AG: 310 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 28-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer28 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2850
    2. Gekürzt: 2850 = 1425
    3. Als Dezimalzahl: 28 : 50 = 0,56
    Ergebnis:
    1425 = 0,56

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 11, 28, 9, 15, 22. Team Süd: 23, 18, 16, 27, 21. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 13, 18, 213, 13, 28. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (18 statt 57)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 337 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 348, 368, 263. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    369 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 11 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 25B11 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (340 cm gegen 309 cm)
  2. Mädchen, um 2 Hundert Schritte
  3. Mädchen (Median 38,5 gegen 31)
  4. Median (9 statt 14)
  5. Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5
  6. Nein, der Median 16,5 passt besser
  7. 56 min
  8. 4 Treffer
  9. 7 Treffer
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 7
  14. 7
  15. 4
  16. 0,308
  17. 0,362
  18. 0,167
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 8 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Gruppe Falken (332 cm gegen 316 cm)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 16)
  27. Nein, der Median 6 passt besser
  28. 8 Treffer
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 1425 = 0,56
  31. Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)
  32. Median (18 statt 57)
  33. 369 cm
  34. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  35. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  36. x̄ = 9,2
  37. Median 10; Spannweite 7