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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 15, 4, 12, 4, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 14, 4, 5, 13. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 5, 10, 13, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 14 − 4 = 10
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 14, 6, 3, 15. Team Süd: 17, 16, 18, 8, 6. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 3, 6, 7, 14, 15, Median 7
  2. Team Süd geordnet: 6, 8, 16, 17, 18, Median 16
  3. 16 ist mehr als 7.
  1. Team Nord geordnet: 3, 6, 7, 14, 15, Median 7
  2. Team Süd geordnet: 6, 8, 16, 17, 18, Median 16
  3. 16 ist mehr als 7.
Ergebnis:
Team Süd (Median 16 gegen 7)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 13, 8, 9, 16, 14. Jungen: 5, 13, 5, 12, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen46810121416
    So fängst du an:
    Mädchen: 13 + 8 + 9 + 16 + 14 = 60, 60 : 5 = 12
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 13 + 8 + 9 + 16 + 14 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Jungen: 5 + 13 + 5 + 12 + 10 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 12 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Mädchen (12 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 16, 8, 6, 4. Team Süd: 17, 18, 12, 12, 6. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 6 + 16 + 8 + 6 + 4 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Team Süd: 17 + 18 + 12 + 12 + 6 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 − 8 = 5
    Ergebnis:
    Team Süd, um 5 Treffer
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 7, 12, 16, 8. Jungen: 8, 17, 8, 3. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 17 + 7 + 12 + 16 + 8 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Jungen: 8 + 17 + 8 + 3 = 36, 36 : 4 = 9
    3. 12 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Mädchen (12 Treffer gegen 9 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 198, 25, 21, 18, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0255075100125150175200
Schritt für Schritt
  1. 198 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 290 : 5 = 58
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
  1. 198 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 290 : 5 = 58
  3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
Ergebnis:
Ausreißer 198, Mittelwert 58 statt 23

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 43, 340, 42, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 96 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    Geordnet: 23, 32, 42, 43, 340
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 23, 32, 42, 43, 340
    2. Median: 42
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 340.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 42 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 183, 25, 17, 10, 20. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 255 : 5 = 51
    2. Geordnet: 10, 17, 20, 25, 183, Median 20
    3. Der Wert 183 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 51)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 203, 27, 20, 12, 27. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 53 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 20, 27, 27, 29, 203
    2. Median: 27
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 203.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 27 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 31, 22, 52, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 37 = 185
  2. Summe der bekannten: 31 + 22 + 52 + 21 = 126
  3. 185 − 126 = 59
  1. Summe aller Werte: 5 · 37 = 185
  2. Summe der bekannten: 31 + 22 + 52 + 21 = 126
  3. 185 − 126 = 59
Ergebnis:
59 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 3, 4. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher2468101214161820?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 18 + 3 + 4 = 25
    3. 40 − 25 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 56, 40, 23. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
    2. Summe der bekannten: 56 + 40 + 23 = 119
    3. 148 − 119 = 29
    Ergebnis:
    29 min
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 17, 6, 18, 11, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 12 = 72
    2. Summe der bekannten: 17 + 6 + 18 + 11 + 15 = 67
    3. 72 − 67 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 37-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 30-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord37 von 50Team Süd30 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 3750 = 0,74
  2. Team Süd: 3040 = 0,75
  3. 0,75 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 3750 = 0,74
  2. Team Süd: 3040 = 0,75
  3. 0,75 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,75)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 7 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 25B8 von 10
    So fängst du an:
    Schule am Park: 725 = 0,28
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 725 = 0,28
    2. Schule am See: 810 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,8)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 28 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A28 von 50B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2850 = 0,56
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,7)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 12 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A12 von 25B8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1225 = 0,48
    2. Klasse 6b: 820 = 0,4
    3. 0,48 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,48)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 511?14Klasse 6141428gesamt251742
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 14.
  2. 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 14 = 17
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 14.
  2. 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 14 = 17
Ergebnis:
3

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 13 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 31 − 19 = 12
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 19 = 12
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 12 − 5 = 7
    3. Kontrolle: 13 + 6 + 5 + 7 = 31
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?520Jungen7512gesamt221032
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 20.
    2. 20 − 5 = 15
    3. Kontrolle mit der Spalte: 15 + 7 = 22
    Ergebnis:
    15
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
    RadBusgesamtKlasse 6a6410Klasse 6b11920gesamt171330
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1120 = 0,55
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,6)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer71949219
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 49 : 100 = 0,49
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 49 : 100 = 0,49
Ergebnis:
0,49

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11228150
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 150 : 500 = 0,3
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,3
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41934152
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 152 : 500 = 0,304
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,304
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer1533160
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 33 : 200 = 0,165
    3. 160 : 1000 = 0,16
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,16

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
  4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 14, 11, 7, 14. Team Süd: 10, 10, 6, 6, 8. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd67891011121314
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 9 + 14 + 11 + 7 + 14 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 10 + 10 + 6 + 6 + 8 = 40, 40 : 5 = 8
    3. 11 − 8 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Treffer
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 11, 14, 4, 10. Jungen: 11, 9, 9, 10, 11. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen468101214
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 14 − 4 = 10
    2. Jungen: 11 − 9 = 2
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 10)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 246, 26, 21, 26, 11. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 246 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 330 : 5 = 66
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 246, Mittelwert 66 statt 21
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 8 Treffer. Bekannt sind 13, 8, 4. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    2. Summe der bekannten: 13 + 8 + 4 = 25
    3. 32 − 25 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 32 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 38 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A32 von 40B38 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3240 = 0,8
    2. Klasse 6b: 3850 = 0,76
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 43 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 43100
    2. 43100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 43 : 100 = 0,43
    Ergebnis:
    43100 = 0,43

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 52, 31, 17, 34, 46. Gruppe Falken: 30, 11, 59, 39, 56. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (39 min gegen 36 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 5, 56, 9, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 12 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 4, 12, 12, 16. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher4681012141618?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 11 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B11 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?519Klasse 6b549gesamt19928
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41838174
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,348

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (12 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. Team Süd, um 5 Treffer
  3. Mädchen (12 Treffer gegen 9 Treffer)
  4. Nein, der Median 42 passt besser
  5. Median (20 statt 51)
  6. Nein, der Median 27 passt besser
  7. 15 Treffer
  8. 29 min
  9. 5 Treffer
  10. Schule am See (0,8)
  11. Fußball-AG (0,7)
  12. Klasse 6a (0,48)
  13. 7
  14. 15
  15. Klasse 6a (0,6)
  16. Nein, eher 0,3
  17. Nein, eher 0,304
  18. 0,16
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 2 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. fair (3 zu 3)
  23. fair (3 zu 3)
  24. fair (15 zu 15)
  25. Team Nord, um 3 Treffer
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 10)
  27. Ausreißer 246, Mittelwert 66 statt 21
  28. 7 Treffer
  29. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  30. 43100 = 0,43
  31. Gruppe Falken (39 min gegen 36 min)
  32. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  33. 16 Treffer
  34. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  35. 14
  36. 0,348
  37. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  38. x̄ = 7,6
  39. Median 10; Spannweite 10