Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●37
Punkte im Test: 13, 3, 13, 4, 13. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 9,2
●38
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 2, 14, 17, 14. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 7, 14, 14, 17
2. Median = mittlerer Wert = 14
3. Spannweite = 17 − 2 = 15
Ergebnis:
Median 14; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 14, 9, 11, 16. Team Süd: 8, 15, 3, 15, 4. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?

Schritt für Schritt

Team Nord geordnet: 9, 10, 11, 14, 16, Median 11
Team Süd geordnet: 3, 4, 8, 15, 15, Median 8
11 ist mehr als 8.

Team Nord geordnet: 9, 10, 11, 14, 16, Median 11
Team Süd geordnet: 3, 4, 8, 15, 15, Median 8
11 ist mehr als 8.

Ergebnis:

Team Nord (Median 11 gegen 8)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 259, 366, 281, 377, 252. Gruppe Falken: 245, 240, 302, 363, 370. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
So fängst du an:
Gruppe Adler: 259 + 366 + 281 + 377 + 252 = 1535, 1535 : 5 = 307
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 259 + 366 + 281 + 377 + 252 = 1535, 1535 : 5 = 307
2. Gruppe Falken: 245 + 240 + 302 + 363 + 370 = 1520, 1520 : 5 = 304
3. 307 ist mehr als 304.
Ergebnis:
Gruppe Adler (307 cm gegen 304 cm)
●2
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 36, 22, 24, 21, 22. Jungen: 39, 11, 6, 30, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Lösung zeigen
1. Mädchen geordnet: 21, 22, 22, 24, 36, Median 22
2. Jungen geordnet: 6, 11, 24, 30, 39, Median 24
3. 24 ist mehr als 22.
Ergebnis:
Jungen (Median 24 gegen 22)
★3
Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 40, 47, 52, 53, 23. Gruppe Falken: 46, 38, 28, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 40 + 47 + 52 + 53 + 23 = 215, 215 : 5 = 43
2. Gruppe Falken: 46 + 38 + 28 + 28 = 140, 140 : 4 = 35
3. 43 ist mehr als 35.
Ergebnis:
Gruppe Adler (43 min gegen 35 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 7, 41, 4, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.

Schritt für Schritt

Geordnet: 4, 5, 7, 8, 41
Median: 7
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Geordnet: 4, 5, 7, 8, 41
Median: 7
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Ergebnis:

Nein, der Median 7 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 8, 9, 2, 46. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
So fängst du an:
Mittelwert: 70 : 5 = 14
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
2. Geordnet: 2, 5, 8, 9, 46, Median 8
3. Der Wert 46 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (8 statt 14)
●5
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 7, 6, 46. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
1. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 46
2. Median: 7
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 7 passt besser
★6
Taschengeld in der Woche, in €: 9, 35, 5, 3, 3, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 60 : 6 = 10
2. Geordnet: 3, 3, 5, 5, 9, 35, Median 5
3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5 statt 10)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 52, 34, 51. Was braucht Lukas beim letzten Mal?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
Summe der bekannten: 11 + 52 + 34 + 51 = 148
175 − 148 = 27

Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
Summe der bekannten: 11 + 52 + 34 + 51 = 148
175 − 148 = 27

Ergebnis:

27 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 30, 15, 19. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
2. Summe der bekannten: 30 + 15 + 19 = 64
3. 72 − 64 = 8
Ergebnis:
8 Punkte
●8
Lukas möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 7, 17. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
2. Summe der bekannten: 5 + 7 + 17 = 29
3. 40 − 29 = 11
Ergebnis:
11 Treffer
★9
Der Mittelwert von 6 Weitsprüngen ist 331 cm. Bekannt sind 299, 328, 268, 331, 376. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 6 · 331 = 1986
2. Summe der bekannten: 299 + 328 + 268 + 331 + 376 = 1602
3. 1986 − 1602 = 384
Ergebnis:
384 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 29 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Schule am Park: 2940 = 0,725
Schule am See: 1620 = 0,8
Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.

Schule am Park: 2940 = 0,725
Schule am See: 1620 = 0,8
Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.

Ergebnis:

Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
So fängst du an:
Team Nord: 1750 = 0,34
Lösung zeigen
1. Team Nord: 1750 = 0,34
2. Team Süd: 1625 = 0,64
3. 0,64 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,64)
●11
In der Klasse 6a kommen 2 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Klasse 6a: 210 = 0,2
2. Klasse 6b: 1540 = 0,375
3. 0,375 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,375)
★12
In der Theater-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 40 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 10 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 610 = 0,6
2. Fußball-AG: 940 = 0,225
3. Chor-AG: 1020 = 0,5
4. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,6)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?

Schritt für Schritt

Zeile Klasse 6: zusammen 22.
22 − 9 = 13
Kontrolle mit der Spalte: 13 + 4 = 17

Zeile Klasse 6: zusammen 22.
22 − 9 = 13
Kontrolle mit der Spalte: 13 + 4 = 17

Ergebnis:

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €

So richtig

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

○13
Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 18 Kinder aus Klasse 5. 9 Kinder aus Klasse 5 und 15 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
So fängst du an:
Kinder aus Klasse 6: 37 − 18 = 19
Lösung zeigen
1. Kinder aus Klasse 6: 37 − 18 = 19
2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 19 − 15 = 4
3. Kontrolle: 9 + 9 + 15 + 4 = 37
Ergebnis:
4
●14
Bei einer Umfrage machen 27 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 4 Mädchen und 6 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
1. Jungen: 27 − 13 = 14
2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 14 − 6 = 8
3. Kontrolle: 4 + 9 + 6 + 8 = 27
Ergebnis:
8
★15
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
Lösung zeigen
1. Klasse 5: 28 = 0,25
2. Klasse 6: 310 = 0,3
3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
Ergebnis:
Klasse 6 (0,3)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.

Schritt für Schritt

Treffer geteilt durch Würfe.
104 : 500 = 0,208

Treffer geteilt durch Würfe.
104 : 500 = 0,208

Ergebnis:

0,208

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
So fängst du an:
1 : 10 = 0,1
Lösung zeigen
1. 1 : 10 = 0,1
2. 89 : 500 = 0,178
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
Ergebnis:
Nein, eher 0,178
●17
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Lösung zeigen
1. Treffer geteilt durch Würfe.
2. 6 : 50 = 0,12
Ergebnis:
0,12
★18
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Lösung zeigen
1. 3 : 10 = 0,3
2. 87 : 200 = 0,435
3. 402 : 1000 = 0,402
4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,402

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?

Schritt für Schritt

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
Das sind 5 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
Das sind 5 Ergebnisse.

Ergebnis:

5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
So fängst du an:
Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 1 Ergebnis.
3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig
●20
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536
★21
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 2? Gib sie als gekürzten Bruch an.
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 2: 1 und 1
3. 1 von 36, also 136 = 136
Ergebnis:
136

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?

Schritt für Schritt

Anna: 2 von 6 Ergebnissen
Emre: 4 von 6 Ergebnissen
Emre gewinnt 2-mal so oft.
Anna braucht 2 Punkte je Treffer.

Anna: 2 von 6 Ergebnissen
Emre: 4 von 6 Ergebnissen
Emre gewinnt 2-mal so oft.
Anna braucht 2 Punkte je Treffer.

Ergebnis:

2 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht

Augensumme 7 → 1/11

So richtig

Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

○22
Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
So fängst du an:
Mila: 15 von 36 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)
●23
Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)
★24
Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Lösung zeigen
1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
3. 24 ist mehr als 12.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 39, 9, 14, 6, 22. Gruppe Falken: 21, 30, 29, 13, 7. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 39 + 9 + 14 + 6 + 22 = 90, 90 : 5 = 18
2. Gruppe Falken: 21 + 30 + 29 + 13 + 7 = 100, 100 : 5 = 20
3. 20 ist mehr als 18.
Ergebnis:
Gruppe Falken (20 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
●26
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 19, 24, 22, 18, 22. Jungen: 17, 25, 28, 7, 28. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 24 − 18 = 6
2. Jungen: 28 − 7 = 21
3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 21)
●27
Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 39, 20, 387, 57. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 387 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 535 : 5 = 107
3. Ohne ihn: 148 : 4 = 37
Ergebnis:
Ausreißer 387, Mittelwert 107 statt 37
●28
Tim möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 12 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 18, 18. Was braucht Tim beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
2. Summe der bekannten: 5 + 18 + 18 = 41
3. 48 − 41 = 7
Ergebnis:
7 Treffer
●29
Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Team Nord: 1240 = 0,3
2. Team Süd: 1225 = 0,48
3. 0,48 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,48)
●30
Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 21-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2150
2. 2150 lässt sich nicht kürzen.
3. Als Dezimalzahl: 21 : 50 = 0,42
Ergebnis:
2150 = 0,42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 8, 24, 19, 24, 10. Team Süd: 27, 21, 27, 15, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Taschengeld in der Woche, in €: 8, 3, 8, 9, 52. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Median (8 statt 16)
Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
33
Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 323 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 253, 270, 343, 362. Was braucht Mila beim letzten Mal?
Lösung zeigen
Ergebnis:
387 cm
Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.
34
Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 9 Mädchen und 9 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
6
Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.
35
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,402
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
36
Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Gruppe Adler (307 cm gegen 304 cm)
Jungen (Median 24 gegen 22)
Gruppe Adler (43 min gegen 35 min)
Median (8 statt 14)
Nein, der Median 7 passt besser
Median (5 statt 10)
8 Punkte
11 Treffer
384 cm
Team Süd (0,64)
Klasse 6b (0,375)
Theater-AG (0,6)
4
8
Klasse 6 (0,3)
Nein, eher 0,178
0,12
0,402
12 Ergebnisse, 1 davon günstig
536
136
fair (15 zu 15)
fair (15 zu 15)
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
Gruppe Falken (20 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 21)
Ausreißer 387, Mittelwert 107 statt 37
7 Treffer
Team Süd (0,48)
2150 = 0,42
Team Süd (21 Punkte gegen 17 Punkte)
Median (8 statt 16)
387 cm
6
0,402
fair (15 zu 15)
x̄ = 9,2
Median 14; Spannweite 15